四川省南充高级中学2023-2024学年高二下学期3月月考 数学 Word版含解析.docx

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南充高中高2022级第四学期第一次月考数学试卷（时间：120分钟总分150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.如果函数在处的导数为1，那么（）A.1B.C.D.2.数列，…的一个通项公式为（）A.B.C.D.3.已知数列为等差数列，且，则的值为（）A.2B.4C.6D.84.已知函数的导函数为，的图象如图所示，则（    ）A.B.C.D.5.已知圆，则直线与圆C（）A.相交B.相切C.相离D.相交或相切6.已知双曲线的左焦点为，过点的直线与轴交于点，与双曲线交于点(在轴右侧)．若是线段AF的中点，则双曲线的离心率是（）A.B.2C.D.3 7.斐波那契数列，又称黄金分割数列，该数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有着非常广泛的应用，在数学上，斐波那契数列是用如下递推方法定义的：，，已知是该数列的第100项，则（）A.98B.99C.100D.1018.已知定义在上的连续偶函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（    ）A.B.C.D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在高台跳水运动中，时运动员相对于水面的高度(单位：是，判断下列说法正确的是（）A.运动员在时的瞬时速度是B.运动员在时瞬时速度是C.运动员在附近以的速度上升D.运动员在附近以的速度下降10.在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是（）A.B.数列是等比数列C.D.数列是公差为的等差数列11.已知抛物线的焦点为，且，B，C三点都在抛物线上，则下列说法正确的是（）A.点的坐标为B.若直线过点F，O为坐标原点，则 C.若，则线段的中点到轴距离的最小值为D.若直线，是圆的两条切线，则直线的方程为三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.若函数导函数为，则__________.13.阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“通近法”得到椭圆的面积，除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知面积为的椭圆，以()的左焦点为，P为椭圆上任意一点，点Q的坐标为，则的最大值为___________.14.数列满足，前16项和为668，则__________.四、解答题：本大题共5小题，共13+15+15+17+17=77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15已知函数.（1）曲线在点P处的切线与直线互相垂直，求点P的坐标.（2）过点作曲线的切线，求此切线的方程.16.设正项数列的前项和为，，且满足_____．给出下列三个条件：①，；②；③．请从其中任选一个将题目补充完整，并求解以下问题．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．17.已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）若在上是增函数，求的取值范围；（3）讨论的单调性． 18.已知椭圆的上顶点为B，右焦点为F，点B、F都在直线上.（1）求椭圆的标准方程及离心率；（2）设直线与椭圆相切于第一象限内的点，不过原点且平行于的直线与椭圆交于不同的两点，，点关于原点的对称点为．记直线的斜率为，直线的斜率为，求的值．19.已知数列中，，().（1）证明：数列是等比数列，并求前项和；（2）令，求证： 南充高中高2022级第四学期第一次月考数学试卷（时间：120分钟总分150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.如果函数在处的导数为1，那么（）A.1B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据导数的定义可直接得到答案.【详解】因为函数在处的导数为1，根据导数的定义可知，故选：A.2.数列，…的一个通项公式为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据分子、分母还有正负号的变化，得到正确的选项.【详解】根据分子、分母还有正负号的变化，可知，.故选D.【点睛】本小题主要考查根据给定数列的前几项，猜想数列的通项公式.通过分子、分母还有正负号的变化，来得到正确的选项.属于基础题.3.已知数列为等差数列，且，则的值为（）A.2B.4C.6D.8 【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的性质即可得解.【详解】因为数列为等差数列，又，所以，则，所以.故选：B.4.已知函数的导函数为，的图象如图所示，则（    ）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据已知条件作出切线，利用导数的几何意义及斜率的定义即可得.【详解】依次作出函数在处的切线，如图所示：根据导数的几何意义及图形中切线的斜率可知，．故选：B.5.已知圆，则直线与圆C（）A.相交B.相切C.相离D.相交或相切【答案】A【解析】 【分析】由直线与圆的方程可知，该直线有定点必在圆内，即可得其位置关系.【详解】可化为，即该圆圆心为，半径为，由可得该直线过定点，有，即该定点必在圆内，故两者位置关系为相交.故选：A.6.已知双曲线的左焦点为，过点的直线与轴交于点，与双曲线交于点(在轴右侧)．若是线段AF的中点，则双曲线的离心率是（）A.B.2C.D.3【答案】C【解析】【分析】首先设双曲线的右焦点为，再结合几何关系，以及双曲线的定义，即可求得离心率.【详解】设双曲线的右焦点为．因为直线的斜率是，所以，所以．因为是线段AF的中点，所以．因为，所以．由双曲线的定义可得，则双曲线的离心率． 故选：C7.斐波那契数列，又称黄金分割数列，该数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有着非常广泛的应用，在数学上，斐波那契数列是用如下递推方法定义的：，，已知是该数列的第100项，则（）A.98B.99C.100D.101【答案】B【解析】【分析】变换得到，累加得到，得到答案.【详解】，因为，得，，，，累加得，是该数列第100项，即是该数列的第100项，故.故选：B.8.已知定义在上的连续偶函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（    ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】由变形得，即可构造，结合的奇偶性可得是上的奇函数且在上单调递减，则可对的符号分类讨论，可将化为关于的不等式，最后结合单调性求解即可【详解】当时，，∴，令，∴在上单调递减，又是定义在上的连续偶函数，∴是上的奇函数，即在上单调递减，∵，∴，当，即时，，∴；当，即时，，∴，则.故不等式的解集为.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在高台跳水运动中，时运动员相对于水面的高度(单位：是，判断下列说法正确的是（）A.运动员在时的瞬时速度是B.运动员在时的瞬时速度是C.运动员在附近以的速度上升D.运动员在附近以的速度下降【答案】BD【解析】 【分析】求出时的瞬时速度,再结合瞬时速度的概念判断.【详解】由已知，，的瞬时速度为，因此该运动员在附近以的速度下降，故选：BD．10.在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是（）A.B.数列是等比数列C.D.数列是公差为的等差数列【答案】ABC【解析】【分析】本题首先可根据得出，与联立即可求出、以及，A正确，然后通过即可判断出B正确，再然后通过等比数列求和公式即可判断出C正确，最后根据即可判断出D错误.【详解】因为数列是等比数列，所以，联立，解得或，因为公比为整数，所以、、，，，A正确，，故数列是等比数列，B正确；，C正确；，易知数列不是公差为的等差数列，D错误，故选：ABC.【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列与等比数列的相关性质，考查判断数列是否是等差数列与等比数列，考查等比数列求和公式的应用，考查计算能力，是中档题. 11.已知抛物线的焦点为，且，B，C三点都在抛物线上，则下列说法正确的是（）A.点的坐标为B.若直线过点F，O为坐标原点，则C.若，则线段的中点到轴距离的最小值为D.若直线，是圆的两条切线，则直线的方程为【答案】ABD【解析】【分析】对于A，将点代入抛物线，得到方程后再求解即可.对于B，联立方程组后，运用平面向量的坐标运算求解即可，对于C，运用焦半径公式结合基本不等式求解即可，对于D，运用几何法，设切线，求解方程即可.【详解】因为在抛物线上，所以，解得，所以，故A正确；显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，，，由得，所以，所以，所以，故B正确；因为（大于通径长），当且仅当B，C，F三点共线时，等号成立，所以，所以，即线段的中点到轴距离的最小值为，故错误；直线的斜率为，所以直线的方程为，即，又直线与圆相切，所以，整理得， 即.同理可得，所以直线的方程为，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.若函数的导函数为，则__________.【答案】【解析】【分析】计算出后代入计算即可得.【详解】，则.故答案为：.13.阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“通近法”得到椭圆的面积，除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知面积为的椭圆，以()的左焦点为，P为椭圆上任意一点，点Q的坐标为，则的最大值为___________.【答案】7【解析】【分析】根据题设且求参数，即得椭圆方程，再根据椭圆定义得，进而求其最大值.【详解】由题意且，又，可得，所以椭圆方程为，而，即Q在椭圆内，如下图， 若为右焦点，由，则，所以，而，所以的最大值为7.故答案为：714.数列满足，前16项和为668，则__________.【答案】【解析】【分析】根据,讨论n的奇偶性，可分别得到当为奇数时有，当为偶数时，从而结合前16项和为668，可得，结合列出等式，即可求得答案.【详解】由，当为奇数时，有，可得，，累加可得；当为偶数时，，可得，，，，可得，, ，，即．故答案为：．四、解答题：本大题共5小题，共13+15+15+17+17=77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数.（1）曲线在点P处的切线与直线互相垂直，求点P的坐标.（2）过点作曲线的切线，求此切线的方程.【答案】（1）或（2）或【解析】【分析】（1）借助导数的几何意义与直线垂直斜率间的关系计算即可得；（2）设出切点，借助导数的几何意义计算即可得.【小问1详解】，由题意可得，故，当时，，当时，，故点P的坐标为或；【小问2详解】设切点坐标为，则有，故，整理得，即，故或，当时，有，即， 当时，有，即，故此切线的方程为或.16.设正项数列的前项和为，，且满足_____．给出下列三个条件：①，；②；③．请从其中任选一个将题目补充完整，并求解以下问题．（1）求数列通项公式；（2）若，求数列的前项和．【答案】（1）所选条件见解析，（2）【解析】【分析】（1）选①：先利用对数运算和等比中项判定数列为等比数列，再利用等比数列的通项公式求其通项；选②：先利用及求出，再利用和的关系进行求解；选③：先利用求出，再类似利用和的关系进行求解；（2）用错位相减求和【小问1详解】选①：由得：，所以，又因为，因此数列为等比数列，设数列的公比为，则，由，解得或（舍去），所以； 选②：因为，当时，，又，所以，即，所以，所以当时，，两式相减得，即，所以数列是，公比为2的等比数列，所以；选③：因为，当时，，所以，即，当时，，两式相减，得，即，当时，满足上式．所以；【小问2详解】设数列的前项和，故， 两式相减得：，化简得，．故数列的前项和.17.已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）若在上是增函数，求的取值范围；（3）讨论的单调性．【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为（2）（3）答案见解析【解析】【分析】（1）利用导数法求函数的单调性的步骤即可求解；（2）将所求问题转化为不等式恒成立问题，利用一元二次不等式在区间恒成立的解决方法即可求解；（3）利用导数法求函数的单调性的步骤，注意分类讨论即可求解.【小问1详解】当时，，，令则，解得或（舍），当时，当时，所以的单调递增区间为，单调递减区间为.【小问2详解】因为， 所以,因为在上是增函数，所以在上恒成立，即在上恒成立，因为的对称轴为，当时，，则在上单调递增；当时，在上单调递增；当时，开口向下；综上，要使得在上恒成立，只需，解得，所以的取值范围为.【小问3详解】因为，所以,当时，，所以在上恒成立，所以在上单调递增；当时，令则，解得或（舍），当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减；综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减.18.已知椭圆上顶点为B，右焦点为F，点B、F都在直线上.（1）求椭圆的标准方程及离心率；（2）设直线与椭圆相切于第一象限内的点，不过原点且平行于的直线与椭圆交于不同的两点，，点关于原点的对称点为．记直线的斜率为，直线的斜率为，求的值．【答案】（1）椭圆的标准方程为，离心率；（2）【解析】【分析】（1）由条件列方程求，由此确定椭圆标准方程和离心率；（2）根据直线与椭圆相切，求出切点的坐标，再求出直线的斜率；根据，设出的方程，表示出、的坐标，得到的斜率，再探索的值.【小问1详解】设椭圆的半焦距为，由已知点的坐标为，点的坐标为，因为点B、F都在直线上，所以，，又，所以，，，所以椭圆的方程为：， 椭圆的离心率，【小问2详解】由消去并整理得：  ①由.此时方程①可化为：，解得：（由条件可知：、异号）设，则，.即，所以.因为，所以可设直线：（，）.由消去并整理得：，当时，方程有两个不相等的实根.设，，则，.因为，两点关于原点对称，所以，所以：.所以. 【点睛】方法点睛：在求的斜率时，还可以把看成直线与椭圆相交所得弦的中点，利用中点弦公式：，得到.19.已知数列中，，().（1）证明：数列是等比数列，并求前项的和；（2）令，求证：.【答案】（1）证明见解析，；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）将变形为，即可证明数列是以为首项，为公比的等比数列，然后求得，然后利用分组求和法可算出；（2）可得，然后可证明.【详解】（1）因为，所以.又，所以，从而，所以数列是以为首项，为公比的等比数列.所以，即； 所以.（2）由（1）可知，，所以.所以，.当时，.当时，【点睛】结论点睛：常见数列的求和方法：公式法（等差等比数列）、分组求和法、裂项相消法、错位相减法.