河南省部分重点高中2023-2024学年高二下学期4月质量检测数学 Word版含解析.docx

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大联考·2023~2024学年度高二下学期第一次质量检测数学试卷全卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．过点且倾斜角为的直线方程为（）A．B．C．D．2．若抛物线上的一点A到焦点的距离为5，则点A的纵坐标是（）A．B．C．2D．43．已知，若三个向量共面，则实数：（）A．B．2C．3D．54．已知函数的极值为，则实数（）A．B．C．D．5．已知等差数列满足，则（）A．2B．4C．6D．86．已知椭圆的上顶点、左焦点、右顶点分别为A，F，B，且点A为的垂心，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．7．已知等比数列的前n项和为，公比，若关于n的不等式恒成立，则实数λ的最大值为（） A．16B．32C．64D．88．已知函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．数列3，，…的通项公式可能是（）A．B．C．D．10．已知函数，则（）A．在区间上单调递减B．的最小值为0C．的对称中心为D．方程有3个不同的解11．已知双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，A，B为双曲线上两点，且满足，为C上异于A，B的动点，则下列结论正确的是（）A．C的渐近线方程为B．双曲线C的焦点到渐近线的距离为C．当时，的面积为6D．设MA，MB的斜率分别为，则的最小值为24三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若函数的导函数为，且满足，则_______．13．已知A为圆上的动点，B为圆上的动点，P为直线上的动点，则的最小值为_______．14．已知数列满足，且，则数列中项的最小值为_______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15．（本小题满分13分） 已知函数的图象在点处的切线方程为．（1）求实数a，n的值；（2）求函数在区间上的最值．16．（本小题满分15分）若数列的前n项和满足．（1）证明：数列是等差数列；（2）设，求数列的前n项和．17．（本小题满分15分）如图，在三棱锥中，平面，E，F分别为PC，PD的中点．平面EFG与平面DCG的交线为l．（1）求证：；（2）求平面DFG与平面EFG的夹角的余弦值．18．（本小题满分17分）已知椭圆的左、右焦点分别为，过点作x轴的垂线与椭圆交于M，N两点，．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若椭圆C的上顶点为P，直线l与该椭圆交于A，B两点（异于上、下顶点），记直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，且，证明：直线l过定点，并求出该定点的坐标．19．（本小题满分17分）已知函数在处取得极值． （1）求的值；（2）设（其中），讨论函数的单调性；（3）若对，都有，求n的取值范围． 大联考·2023~2024学年度下学期第一次质量检测·高二数学参考答案、提示及评分细则题号1234567891011答案BDBABACDBCACACD一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．【答案】B【解析】过点，且倾斜角为的直线斜率为1，则，即．故选B．2．【答案】D【解析】抛物线的准线方程为，则，解得．故选D．3．【答案】B【解析】三个向量共面，存在实数，使，，故选B．4．【答案】A【解析】由题目条件可得：函数的定义域为．当时不符合题意，则，令，得；令，得．所以函数在区间上单调递增，在上单调递减．则是函数的极大值点，故，解得．故选A．5．【答案B】【解析】，故选B．6．【答案】A【解析】的垂心为点是以为直角顶点的直角三角形，与相似（为坐标原点），，解得或（舍），故选A．7．【答案】C【解析】由，得， 所以，故由可得，所以，由于，当且仅当，即时等号成立，故，故选C．8．【答案】D【解析】令，可得，则，即．令，则．因为，所以，则函数在区间上单调递增，所以，即．所以当时有两个不同的零点等价于方程有两个正实数解，即满足，故选D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．【答案】BC（全部选对得6分，选对1个得3分，有选错的得0分）【解析】对于A项，把代入，即得与数列不符，故A项错误；对于B项，把分别代入，即得与数列相符，故B项正确；对于C项，分别把代入，即得，故C项正确；对于D项，把代入，即得，与数列不符，故D项错误．故选BC．10．【答案】AC（全部选对得6分，选对1个得3分，有选错的得0分）【解析】对于A：，令或，令， 函数在上单调递增，在上单调递减，且，可画出函数的大致图象如图所示，故A正确；对于B：此函数无最小值，故B错误；对于C：，故C正确；对于D：根据图象可知有2个不同的解，故D错误，故选AC．11．【答案】ACD（全部选对得6分，选对1个得2分，选对2个得4分，有选错的得0分）【解析】由双曲线的方程可知，由题意可知，两点关于点对称，设，对于，渐近线方程，故A正确；对于B，，故B不正确；对于C，当时，为直角三角形，，故C正确；对于D，联立可得，由于，所以，由，当且仅当时取等号，故D正确．故选ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．【答案】【解析】由，得， 令，则，解得，所以．13．【答案】【解析】设关于直线的对称点为，则圆关于对称的圆的方程为，要使的值最小，则（其中为关于直线的对称圆上的点）三点共线，且该直线过两点，其最小值为．14．【答案】【解析】数列是以3为首项，2为公比的等比数列．，设时，数列的最小值为或．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15．【答案】（1）（2）在上的最大值为36，最小值为【解析】（1）由于，因此，根据题意得解得（2），当时，，当时，，在上单调递增，在上单调递减， ，在上的最大值为36，最小值为．16．【答案】（1）略（2）【解析】（1）证明：在数列中，，当时，，两式相减得，时，符合此式，，所以数列是首项为2，公差为1的等差数列；（2）由（1）知，，则，于是，两式相减得所以．17．【答案】（1）略（2）【解析】（1）证明：分别是的中点，，又平面平面平面，又平面，平面平面；（2）过点作的平行线，以为原点，所在的直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，则，设平面的法向量为，则解得，令，则，故是平面的一个法向量．，设平面的法向量为，则解得，令，则，故是平面的一个法向量．所以．所以平面与平面的夹角的余弦值为．18．【答案】（1）（2）直线过定点，证明略【解析】（1）根据题意将代入，得，则，，解得或（舍）． 由，得，椭圆的标准方程为；（2）①当直线斜率不存在时，设直线，则，此时直线为；②当直线斜率存在时，设直线，则直线与椭圆联立，，，，直线，此直线过定点，综上所述，直线过定点．19．【答案】（1）（2）详解见解析（3）【解析】（1），，又函数在处取得极值，，得，经检验符合题意， ；（2）根据题意得，①当时，当时，，当时，，所以在上单调递增，在单调递减；②当时，当时，，当时，，所以在，上单调递增，在上单调递减；③当时，，所以在上单调递增，无单调减区间；④当时，当时，，当时，，所以在，上单调递增，在上单调递减，综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减；当时在上单调递增；当时在上单调递增，在上单调递减；（3）由题意，原不等式，， 即当时，对任意，不等式恒成立，当时，原不等式等价于，设，则，设，因为，所以存在唯一，使得，即，当时，单调递减，当时，单调递增，故．，，，，，即，综上所述，的取值范围为．