河北省邢台市部分重点高中2023-2024学年高二上学期1月期末考数学Word版含解析.docx

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2023—2024学年高二第一学期考试数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.双曲线的渐近线方程为（）A.B.C.D.2.已知某数列为，按照这个规律，则该数列第10项是（）A.B.C.D.3.等差数列的前项和为，公差，则（）A.B.C.D.4.已知抛物线：的焦点为，点在上，，则直线的斜率为（）A.B.C.D.5.现有一根4米长的木头，第一天截掉它的，以后每一天都截掉它前一天留下的木头的，到第天时，共截掉了米，则（）A.5B.6C.7D.86.已知为圆上一动点，为圆上一动点，则的最小值为（）A.4B.3C.2D.17.在等比数列中，是方程的两个实根，则（）A.-5B.±5C.5D.258.已知是抛物线上的两点，与关于轴对称，，则的最小值为（） A.9B.C.D.8二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知等差数列的前项和为，公差为，且，则（）A.B.C.D.10.已知直线与圆交于两点，为优弧上的一点（不包括），若，则的值可能为（）A.2B.-4C.1D.-311.已知数列的前项和为，则（）A.B.为等比数列C.D12.已知椭圆C：，直线与C交于，两点，若，则实数取值可以为（）A.B.C.3D.4三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知数列的前项和为，且，则__________.14.若点到抛物线的准线的距离为3，请写出一个的标准方程：__________.15.已知等差数列的前项和为，若，则__________.16.已知正项等比数列的前项和为，则该数列的公比__________，的最大值为__________. 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知等比数列的前项和为，公比.（1）求；（2）若在与之间插入3个数，使这5个数组成一个等差数列，试问在这5个数中是否存在3个数可以构成等比数列？若存在，找出这3个数；若不存在，请说明理由.18.已知椭圆：的长轴长是短轴长的倍.（1）求方程；（2）若倾斜角为的直线与交于，两点，线段的中点坐标为，求.19.已知数列满足.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和.20.已知中心为坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线经过两点.（1）求离心率；（2）若直线与交于两点，且，求.21.已知点，，设，当时，线段的中点为，关于直线的对称点为.例如，为线段的中点，则，.（1）设，证明：是等比数列.（2）求数列的通项公式.22.已知抛物线的焦点为F，且A，B，C三个不同的点均在上.（1）若直线AB的方程为，且点F为的重心，求p的值；（2）设，直线AB经过点，直线BC的斜率为1，动点D在直线AC上，且，求点D的轨迹方程. 2023—2024学年高二第一学期数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.双曲线的渐近线方程为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据双曲线的方程和几何性质可得答案．【详解】由双曲线可得，，所以渐近线方程为.故选：B.2.已知某数列为，按照这个规律，则该数列的第10项是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，得到数列的一个通项公式，代入即可求解.【详解】由题意，数列，可化为，所以数列的一个通项公式为，所以该数列的第10项是.故选：D.3.等差数列的前项和为，公差，则（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】分析】由前项和公式代入得.【详解】由题意得，则.故选：D.4.已知抛物线：的焦点为，点在上，，则直线的斜率为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用抛物线定义求得的值，得出焦点坐标和，即可得出结果.【详解】因为，所以，解得，则，，所以直线的斜率为．故选：D5.现有一根4米长的木头，第一天截掉它的，以后每一天都截掉它前一天留下的木头的，到第天时，共截掉了米，则（）A.5B.6C.7D.8【答案】B【解析】【分析】由题意，归纳出截掉的长度和天数成等比数列，根据等比数列求解即可.【详解】设第天截掉的木头长度为，则是首项为2，公比为的等比数列，则该等比数列的前项和.由，得，得.故选：B. 6.已知为圆上一动点，为圆上一动点，则的最小值为（）A.4B.3C.2D.1【答案】C【解析】【分析】先判断两个圆的位置关系为内含，得的最小值为大圆的半径减去圆心距再减去小圆的半径.【详解】由题意得圆的圆心为，得，圆与圆的半径之差为，所以圆与圆的位置关系为内含，所以的最小值为.故选：C.7.在等比数列中，是方程的两个实根，则（）A.-5B.±5C.5D.25【答案】A【解析】【分析】由题意可得，再结合等比数列的性质即可得出答案.【详解】由题意得，得，则.由，得.故选：A.8.已知是抛物线上的两点，与关于轴对称，，则的最小值为（）A.9B.C.D.8【答案】B【解析】【分析】利用设的坐标，表示，根据题意消去多余的未知量，利用函数求最值.【详解】设，则，所以 因为，所以当时，取得最小值，且最小值为.故选：B二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知等差数列的前项和为，公差为，且，则（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】利用等差数列的性质及求和公式计算即可一一判定选项.【详解】由，得，故A、B正确；因为，所以公差.故C错误，D正确.故选：ABD10.已知直线与圆交于两点，为优弧上的一点（不包括），若，则的值可能为（）A.2B.-4C.1D.-3【答案】CD【解析】【分析】由圆心到直线的距离，由结合，求出进而求解.【详解】由，得，取的中点，连接，如图，则.由，得，则，所以圆心到直线的距离，得或，故C、D正确. 故选：CD.11.已知数列的前项和为，则（）A.B.为等比数列C.D.【答案】ACD【解析】【分析】选项A，代入递推关系可得；选项B，递推关系变形可得，从而可得为等差数列；选项C，由错位相减法数列求和得，可得；选项D，将代入可得，令可求.【详解】选项A，由题意得，A正确；选项B，将两边同时除以，得，即，则是首项为，公差为的等差数列，不是等比数列，错误；选项C，由，得，所以①， 则②，①-②得，，，即，则，C正确；选项D，因为，所以，D正确.故选：ACD.12.已知椭圆C：，直线与C交于，两点，若，则实数的取值可以为（）A.B.C.3D.4【答案】CD【解析】【分析】将点和点代入椭圆方程组成方程组，利用和点在直线上消去多余未知数，化简得到用表示的关系式，因为表示过定点斜率为的直线，所以直线不与轴重合，因为点在椭圆上，根据椭圆性质得到，从而解得范围选出答案.【详解】由，得．因为点，在椭圆上，所以消去得，解得．因为直线斜率存在为，所以，所以，显然，解得． 故选：CD【点睛】关键点睛：本题的关键是将交点代入椭圆，利用已知消元得到关于的表达式，根据的范围求出的范围.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知数列的前项和为，且，则__________.【答案】4【解析】【分析】根据前项和的性质可知，，代入数据即可.【详解】由题意得.故答案为：414.若点到抛物线的准线的距离为3，请写出一个的标准方程：__________.【答案】（本题答案不唯一，任选一个即可）【解析】【分析】由抛物线的定义即可得抛物线方程.【详解】由题意得抛物线的准线可能为直线，所以的标准方程可能为.故答案为：（答案不唯一，中任选一个即可）.15.已知等差数列的前项和为，若，则__________.【答案】46【解析】【分析】由等差数列性质构造等差数列，则由新数列的前两项依次求解可得. 【详解】由等差数列的性质可知成等差数列，即1，8，成等差数列，且公差为，所以，得.故答案为：.16.已知正项等比数列的前项和为，则该数列的公比__________，的最大值为__________.【答案】①.##②.1024【解析】【分析】根据等比数列的通项公式，结合等比数列的前项和公式、指数函数的单调性进行求解即可.【详解】由题意得，则，得.因为，所以.易得，则，所以.当时，，当时，，所以.故答案为：；四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知等比数列的前项和为，公比.（1）求；（2）若在与之间插入3个数，使这5个数组成一个等差数列，试问在这5个数中是否存在3 个数可以构成等比数列？若存在，找出这3个数；若不存在，请说明理由.【答案】（1）36（2）存在，4，12，36【解析】【分析】（1）由等比数列的前n项和公式，计算，再求出；（2）设该等差数列为，求出公差和插入的三个数，判断是否存在3个数成等比数列.【小问1详解】由，得，所以.【小问2详解】设这5个数组成的等差数列为，则，，得该数列的公差，所以，，.因为，所以，，成等比数列，即这3个数为4，12，36.18.已知椭圆：的长轴长是短轴长的倍.（1）求的方程；（2）若倾斜角为的直线与交于，两点，线段的中点坐标为，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据条件确定的值，即得椭圆的标准方程；（2）涉及中点弦问题，可以考虑“点差法”解决问题.【小问1详解】由题意可得，得，所以的方程为.小问2详解】由题意得. 设，，依题意可得，且，由得，则，解得.经检验，点在椭圆内.所以为所求.19.已知数列满足.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用可得答案；（2）利用裂项相消求和可得答案.【小问1详解】当时，，当时，由，①得，②①-②得，即，经检验，也符合，所以； 【小问2详解】由题意得，所以.20.已知中心为坐标原点，焦点在坐标轴上双曲线经过两点.（1）求的离心率；（2）若直线与交于两点，且，求.【答案】（1）（2）或【解析】分析】（1）设双曲线方程，由已知点坐标代入待定系数，再由方程确定求出离心率；（2）联立直线与双曲线方程，由韦达定理代入弦长公式得关于的方程求解即可.【小问1详解】由题意，设，由双曲线经过两点，得，得，即，则，所以的离心率为.【小问2详解】设，由，得，依题意可得，且，即. 由韦达定理得，所以，整理得，解得或.21.已知点，，设，当时，线段的中点为，关于直线的对称点为.例如，为线段的中点，则，.（1）设，证明：是等比数列.（2）求数列的通项公式.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用等比数列的定义证明；（2）利用累加法求数列的通项公式.【详解】（1）证明：当时，线段的中点为，，则.由得，所以，即.因为，所以是以2为首项，为公比的等比数列. （2）解：由（1）知，即，则，，…，，将以上各式相加得.因为，所以.当时，也符合上式，故.22.已知抛物线的焦点为F，且A，B，C三个不同的点均在上.（1）若直线AB的方程为，且点F为的重心，求p的值；（2）设，直线AB经过点，直线BC的斜率为1，动点D在直线AC上，且，求点D的轨迹方程.【答案】（1）8；（2）（且）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用三角形重心坐标公式用p表示出点的坐标，再代入计算即得.（2）借助抛物线方程设出点的坐标，结合直线方程求出直线经过的定点，进而确定点D的轨迹并求出方程即得.【小问1详解】抛物线的焦点，设，由消去x得，则，， 由点F是的重心，得，则，而点C在上，于是，又，所以.【小问2详解】当时，的方程为，设，，，直线的斜率，同理得直线的斜率，直线的斜率，直线AB的方程为，化简得.而直线AB过点，即，显然，则，又，即，于是，整理得，直线AC的方程为，化简得，将代入，得，令，得，直线AC过定点，设线段ME的中点为G，则G的坐标为，因为D在直线AC上，且，因此D在以G为圆心，EM为直径的圆上运动，因为，所以D的轨迹方程为（且）. 【点睛】结论点睛：点是抛物线上两点，则直线斜率；点是抛物线上的两点，则直线斜率.