湖南省长沙市雅礼中学2022-2023学年高三下学期月考检测 (八) 数学 Word版含解析.docx

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雅礼中学2023届高三月考试卷（八）数学试题注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，求（）A.B.C.D.或【答案】C【解析】【分析】解不等式化简集合A，求出函数的值域化简集合B，再利用交集的定义求解作答.【详解】解不等式得：，因此，因为当时，，有，因此，所以.故选：C2.下列说法正确的是（）A.“”是“”的充要条件B.“”是“”的必要不充分条件C.命题“”的否定形式是“”D.“”是“”的充分不必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用不等式的性质判断A的正误，利用正切函数的性质判断B的正误，利用命题的否定形式判断C的正误，利用对数的定义判断D的正误.详解】对A，若中，时也成立，故A错；对B，当时，，故，若，则，故B对；对C，存在量词命题的否定是，故C错；对D，若均为负数，则无意义，故D错.3.斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数1，1，2，3，5，8，…为边长比例的正方形拼成矩形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．如图，矩形是由若干符合上述特点的正方形拼接而成，其中，则图中的斐波那契螺旋线的长度为（）A.11πB.12πC.15πD.16π【答案】B【解析】【分析】根据斐波那契螺旋线的特点，首先求出正方形的边长，再由弧长公式求题图中斐波那契螺旋线的长度.【详解】不妨设正方形的边长为，则，解得，所以图中斐波那契螺旋线的长度为．故选：B．4.在平面直角坐标系中，已知点为角终边上一点，若，则（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据三角函数的定义求出与，再结合及求出，利用余弦差角公式求出答案.【详解】由题意得：，，，因为，所以，因为，所以，故，所以.故选：B5.已知直角三角形ABC中，，AB=2，AC=4，点P在以A为圆心且与边BC相切的圆上，则的最大值为（）A.B.C.D. 【答案】D【解析】【分析】建立如图所示的坐标系，根据可求其最大值.【详解】以为原点建系，，，即，故圆的半径为，∴圆，设中点为，，，∴，故选：D.6.已知，，，则的大小关系是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】将化为同底的对数形式，根据对数函数单调性可知；利用可得，由此可得结论.【详解】，， 又，；，，又，；综上所述：.故选：C.7.若函数只有一个极值点，则a的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求导由得或，进而分为函数的极值点和不为函数的极值点两种情况讨论求解即可.【详解】解：由题知，令得或因为函数只有一个极值点，故当为函数的极值点时，恒成立，即恒成立，令，，所以，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，故；当不为函数的极值点时，则为的一个根，此时，， 因为函数在上单调递减，上单调递增，且，，所以，存在使得，所以，当时，，当和时，，所以，只有一个极值点，满足题意.综上，a的取值范围是.故选：D8.已知双曲线：与抛物线：有公共焦点F，过F作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A，延长FA与抛物线相交于点B，若点A为线段FB的中点，双曲线的离心率为，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据几何关系，求得点的坐标，结合点在双曲线渐近线上，求得的等量关系，整理化简即可求得双曲线离心率.【详解】根据题意，作图如下： 因为双曲线和抛物线共焦点，故可得，又到的距离，即，又为中点，则，设点，则，解得；由可得，则由等面积可知：，解得，则，则，又点在渐近线上，即，即，又，联立得，即，解得，故.故选：B.二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.上级某部门为了对全市名初二学生的数学水平进行监测，将获得的样本数学水平分数数据进行整理分析，全部的分数可按照，，，，分成组，得到如图所示的频率分布直方图则下列说法正确的是（）A.图中的值为B.估计样本数据的分位数为C.由样本数据可估计全市初二学生数学水平分数低于分的人数约为D.由样本数据可估计全市初二学生数学水平分数分及以上的人数占比为 【答案】AB【解析】【分析】根据频率之和为1可判断A,由百分位数的计算可求解B,根据频率分布直方图可得每个分数段的占比，即可判断CD.【详解】对于A;频率分布直方图中小长方形的总面积为，组距为，故，解得，故A正确；对于B;设的百分位数为，落在区间中，即，解得，故B正确；对于C;分以下的人占比为，故全市初二学生数学水平分数低于分的人数约为，故C错误，对于D;分以下的人占比为，故D错误.故选：AB10.一个质地均匀的正四面体表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件A为“第一次向下的数字为偶数”，事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是（）A.B.事件A和事件B互为对立事件C.D.事件A和事件B相互独立【答案】ACD【解析】【分析】求得的值判断选项A；举反例否定选项B；求得的值判断选项C；利用公式是否成立判断选项D.【详解】选项A：.判断正确；选项B：事件B：第一次向下的数字为偶数,第二次向下的数字为奇数，则两次向下的数字之和为奇数.则事件A和事件B不是对立事件.判断错误；选项C：，则.判断正确；选项D：，又，, 则有成立，则事件A和事件B相互独立.判断正确.故选：ACD11.如图，正方体棱长为，是直线上的一个动点，则下列结论中正确的是（）A.的最小值为B.的最小值为C.三棱锥的体积不变D.以点为球心，为半径的球面与面的交线长【答案】ACD【解析】【分析】根据的最小值为等边三角形的高，可求得A正确；将与矩形沿翻折到一个平面内，可知所求最小值为，利用余弦定理可求得B错误；利用体积桥可求得三棱锥的体积为定值，知C正确；利用体积桥可求得点到平面的距离，根据交线为圆可求得交线长，知D正确.【详解】对于A，在中，，即是边长为等边三角形，的最小值为的高，，A正确； 对于B，将与矩形沿翻折到一个平面内，如图所示，则的最小值为；又，，，在中，由余弦定理得：，，即，B错误；对于C，平面，平面，；四边形为正方形，，又，平面，平面；，即三棱锥的体积不变，C正确；对于D，设点到平面的距离为，，，即，解得：， 以点为球心，为半径的球面与平面的交线是以为半径的圆，交线长为，D正确.故选：ACD.12.对于定义在区间上的函数，若满足：，且，都有，则称函数为区间上的“非减函数”，若为区间上的“非减函数”，且，，又当时，恒成立，下列命题中正确的有（）A.B.，C.D.，【答案】ACD【解析】【分析】利用已知条件和函数的性质对选项逐一判断即可得正确答案.【详解】A.因为，所以令得，所以，故A正确；B.由当，恒成立，令，则，由为区间上的“非减函数”，则，所以，则，，故B错误；C.，，而，所以，，由，，，则，则，故C正确； 当时，，，令，则，，则，即，故D正确.故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.的展开式中含项的系数为____________.【答案】【解析】【分析】先求展开式中项，然后乘以可得.【详解】展开式的通项为，令或，得（舍去），，所以展开式中含项为.故答案为：14.已知为抛物线上的一个动点，直线，为圆上的动点，则点到直线的距离与之和的最小值为________．【答案】【解析】【分析】首先得到圆心的坐标与半径，由抛物线方程得到焦点坐标与准线方程，依题意可得点到直线的距离，即可得到点到直线的距离与之和为，再数形结合得到的最小值.【详解】解：因为圆，所以，半径，抛物线的焦点，准线为直线， 则点到直线的距离，所以点到直线的距离与之和为，所以当、、、四点共线时，取得最小值，其最小值为.故答案为：15.已知三棱锥满足，平面，，若，则其外接球体积的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】取中点，过点作交于，说明为三棱锥外接球球心，再根据基本不等式和体积公式得，进而得其外接球半径即可得答案.【详解】解：如图，取中点，过点作交于，则，因为平面，所以平面，因为，所以， 所以，即为三棱锥外接球球心，为球的半径，因为，所以，，因为，当且仅当时等号成立，所以，，当且仅当时等号成立所以，球的半径，所以，，所以三棱锥外接球体积的最小值为故答案为：16.“数列”是每一项均为或的数列，在通信技术中应用广泛．设是一个“数列”，定义数列：数列中每个都变为“”，中每个都变为“”，所得到的新数列．例如数列，则数列．已知数列，且数列，，记数列的所有项之和为，则__________．【答案】【解析】【分析】设数列中，的个数为，的个数为，可利用表示出 ，两式分别作和、作差，结合等比数列通项公式可推导求得，从而得到，整理可得最终结果.【详解】设数列中，的个数为，的个数为，则，，两式相加得：，又，数列是以为首项，为公比的等比数列，；两式相减得：，又，数列是以为首项，为公比的等比数列，；，，，.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是能够根据所定义的变化规律，得到与所满足的递推关系，利用递推关系式证得数列和均为等比数列，从而推导得到的通项公式.四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知数列的前项的和为,且.（1）当时,求证数列为等比数列,并求的通项公式;（2）当时,不等式对于任意都成立,求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)退相减,得出递推式,再用构造法证明,最后求通项公式(2)恒成立问题,通过分离与转化为函数最值问题求解【小问1详解】 当时,当,则当两式相减得,即所以所以是首项为,公比为3的等比数列所以,所以【小问2详解】当时,,即当时,由,得,即对于任意都成立,令则因为在上单调递减,在上单调递增所以当时,,所以18.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A的大小；（2）若边上的中线，求面积的最大值．【答案】（1）（2） 【解析】【分析】（1）通过三角恒等变换和正弦定理化简即可.（2）将中线转化为向量的模长，从而求出的最大值，即可求出面积的最大值.【小问1详解】依题意有，又，，又，解得，，；【小问2详解】因为所以，当且仅当时成立，故面积的最大值为.19.如图，在四棱锥中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AD⊥DC，ABDC，AB=2AD=2CD=2，点E是PB的中点.（1）证明：平面EAC⊥平面PBC； （2）若直线PB与平面PAC所成角的正弦值为，求二面角P-AC-E的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质及勾股定理的逆定理可证出线面垂直，再由面面垂直的判定定理求证即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【小问1详解】∵平面，平面，∴.∵，由，且是直角梯形，∴，即，∴.∵，平面，平面，∴平面.∵平面，∴平面平面小问2详解】∵平面，平面，∴.由（1）知.∵，平面，平面，所以平面，∴即为直线与平面所成角.∴，∴，则 取的中点G，连接，以点C为坐标原点，分别以､､为x轴､y轴､z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，∴，，设为平面的法向量，则，令，得，，得设为平面的法向量，则，令，则，，得.∴.由图知所求二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.20.某数学兴趣小组为研究本校学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从学校抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下：语文成绩合计优秀不优秀数学成绩优秀503080不优秀4080120 合计90110200（1）根据独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？（2）在人工智能中常用表示在事件发生的条件下事件发生的优势，在统计中称为似然比.现从该校学生中任选一人，表示“选到的学生语文成绩不优秀”，表示“选到的学生数学成绩不优秀”请利用样本数据，估计的值.（3）现从数学成绩优秀的样本中，按分层抽样的方法选出8人组成一个小组，从抽取的8人里再随机抽取3人参加数学竞赛，求这3人中，语文成绩优秀的人数的概率分布列及数学期望.附：【答案】（1）认为数学成绩与语文成绩有关；（2）；（3）分布列见解析，.【解析】【分析】（1）零假设后，计算的值与比较即可；（2）根据条件概率公式计算即可；（3）分层抽样后运用超几何分布求解.【小问1详解】零假设：数学成绩与语文成绩无关.据表中数据计算得：根据小概率值的的独立性检验，我们推断不成立，而认为数学成绩与语文成绩有关；【小问2详解】 ∵，∴估计的值为；【小问3详解】按分层抽样，语文成绩优秀的5人，语文成绩不优秀的3人，随机变量的所有可能取值为.，，，，∴的概率分布列为：0123∴数学期望.21.已知椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线射向椭圆上任一点，经椭圆反射后必经过另一个焦点．若从椭圆的左焦点发出的光线，经过两次反射之后回到点，光线经过的路程为8，T的离心率为．（1）求椭圆T的标准方程；（2）设，且，过点D的直线l与椭圆T交于不同的两点M，N，是T的右焦点，且与互补，求面积的最大值．【答案】（1）（2）【解析】 【分析】（1）由题意，易知，再结合椭圆的离心率为求解；（2）根据与互补，得到，得到，联立直线MN与椭圆的方程，结合韦达定理求得，得到直线MN的方程为，再求得点到直线MN的距离d和，由求解.【小问1详解】解：由椭圆的性质可知，左焦点发出的光线，经过两次反射之后回到点，光线经过的路程为，解得．又椭圆的离心率为，得，所以，故，故椭圆T的标准方程为；【小问2详解】由题意得，设，．因为与互补，所以，即，化简整理，可得，设直线MN的方程为，得．联立直线MN与椭圆的方程得，整理得， ，可得，则，，所以，解得，故直线MN的方程为．点到直线MN的距离，，，所以，由，可得，，即．记，则，，所以，当且仅当，即，时，等号成立．故面积的最大值为．22.已知函数（a为非零常数），记（），．（1）当时，恒成立，求实数a的最大值； （2）当时，设，对任意的，当时，取得最小值，证明：且所有点在一条定直线上．【答案】（1）（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）转化为时求，令，利用导数求出可得答案；（2）求出，，可得，时，，当时，，利用导数求出时，取得最小值，且，可得答案；【小问1详解】由，，令，，时，，时，∴在上单调递减，上单调递增，∴，∴，即的最大值为；【小问2详解】解：，∴，，，， 时，，当时，，，令，当时，，单调递减，当时，，单调递增，∴时，取得最小值，且，∴为在定直线上运动；【点睛】方法点睛：对于求参数的取值范围的问题，可以转化为求函数最值的问题，本题考查了利用导数解决求参数、函数的最值、函数零点的问题，考查了学生分析问题、解决问题以及运算的能力，属于难题.