上海交通大学附属中学2021-2022学年高一下学期3月线上测试数学Word版含解析.docx

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交大附中高一线上测试数学试卷一、选择题（本大题满分100分）1.若，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用诱导公式化简已知条件，可求得的值，再将所求利用二倍角正弦公式展开，然后借助平方关系将其转化为分式齐次式，最后利用商数关系化简即可求解.【详解】解：∵，∴，∴，∴，故选：C2.若，且，则m的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先由求出的范围，即可得的范围，从而可得m的取值范围【详解】因为，所以，因，所以，解得， 故选：C3.函数在一个周期内的图象如图（其中，，），则函数的解析式为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】结合五点法求解析式．【详解】由图象，，，，．，，又，所以，故选：B.4.已知非零向量，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【答案】B【解析】【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.【详解】如图所示，,当时，与垂直，，所以成立，此时，∴不是的充分条件， 当时，，∴,∴成立，∴是的必要条件，综上，“”是“”的必要不充分条件故选：B.5.在中，，分别在线段，上，且，，点是线段的中点，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据向量的运算法则计算即可得出答案.【详解】如图，因为，.因为点是线段的中点，所以，因为，则.所以选项B，C，D错误，选项A正确.故选：A.6.已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可.【详解】由已知可得：.A：因为，所以本选项不符合题意；B：因为，所以本选项不符合题意；C：因为，所以本选项不符合题意；D：因为，所以本选项符合题意.故选：D.【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了两平面向量数量积为零则这两个平面向量互相垂直这一性质，考查了数学运算能力.7.平面向量与的夹角为，，，则（）A.B.2C.4D.12【答案】B【解析】【分析】根据向量模的公式直接计算结果.【详解】，，，.故选：B【点睛】本题考查向量数量积，向量的模，重点考查计算，属于基础题型,.8.已知向量，满足，，，则（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】计算出、的值，利用平面向量数量积可计算出的值.【详解】，，，.，因此，.故选：D.【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题.9.在边长为3的菱形中，，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】画出图形，根据条件得，然后由，进行数量积的运算即可．【详解】解：如图，，，，且，又， ．故选：．【点睛】本题考查了向量减法和数乘的几何意义，向量数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题．10.已知中，，，，为所在平面内一点，且满足，则的值为（）.A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用平面向量线性运算得到，再使用平面向量数量积运算法则进行计算.【详解】∵，∴，∴，∴，故选：B.11.已知平面向量满足，，则的最大值是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由已知可得，再结合向量的数量积的性质可求，最后代入即可求出答案.【详解】设得 即,故选：A12.已知函数，若在区间内有零点，则的取值范围是A.B.C.D.【答案】D【解析】【详解】将化简可得，由得，当时，，由题意知存在，，即，所以，由知，当时，，，，…，所以选D.点睛：本题主要考查了三角函数的化简，考查了三角函数的零点问题以及学生计算能力，难度一般；考查其性质时，首先应将其化为三角函数的一般形式，在化简过程中应注意降幂公式及辅助角公式的熟练运用，易得，由的范围，可得，即的取值范围，解出，根据可得结果.以下均为多选题13.下列选项正确的是（）A.B. C.若终边上有一点，则D.若一扇形弧长为2，圆心角为，则该扇形的面积为【答案】AB【解析】【分析】根据诱导公式，弧度制与角度制的转化公式，以及三角函数的定义，扇形面积公式，即可判断选项.【详解】，故A正确；，故B正确；若终边上有一点，则，故C不正确；若一扇形弧长为2，圆心角为，则该扇形的半径为，面积为，故D不正确.故选：AB14.已知，，那么的可能值为（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】由条件，结合sin2α+cos2α=1，求得，从而求得.【详解】解析：因为①，又sin2α+cos2α=1②，联立①②，解得或，因为，所以或3.故选：BD15.已知函数，下列说法正确的是（） A.为偶函数B.的最小正周期为C.所有的整数都是的零点D.在上单调递增【答案】AC【解析】【分析】作出函数的图象，即可判断.【详解】由可知，定义域为R，且，∴为偶函数，故A正确；又的最小正周期为1，故B错误；∵，∴所有整数都是的零点，故C正确；函数的图象如图所示，所以在上先增后减，故D错误.故选：．16.对于函数有（）A.图象关于点对称B.的图象过点C.的图象是由的图象向右平移个单位长度得到的D.的图象关于直线对称【答案】AD【解析】 【详解】对选项A，，的图象关于点对称，A正确；对选项B，，B错误；对选项C，的图象向右平移个单位长度，所得函数图象的表达式为，C错误；对选项D，，的图象关于直线对称，D正确．故选：AD17.下列命题中，正确的是（）A.若，且，则或B.若，则或C.若不平行的两个非零向量，，满足，则D.若与平行，则【答案】AC【解析】【分析】根据数乘运算的定义判断A；根据时，判断B；根据向量加减法的几何意义判断C；根据与平行且反向时的结果判断D.【详解】解：对于A选项，根据数乘运算的定义，A选项正确；对于B选项，当时，亦成立，B选项错误；对于C选项，若不平行的两个非零向量，，满足，则由向量加减法运算的几何意义得与是以非零向量，为邻边的菱形的对角线，故，即，故正确；对于D选项，当与平行且反向时，，故错误；故选：AC 18.在中，，，，则下列推导正确的是（）A.若，则是钝角三角形B.若，则是直角三角形C.若，则是等腰三角形D.若，则是直角三角形【答案】BCD【解析】【分析】由平面向量数量积的运算及余弦定理，逐一检验即可得解．【详解】解：在中，，对于A：若，即，则为锐角，则不一定为钝角三角形，故A错误；对于B：若，即则是直角，是直角三角形，故B正确；对于C：若，则，即，，取中点，则，所以，即，所以，即为等腰三角形，故C正确；对于D：若，即，即，即，即，，，为直角三角形，故D正确，故选：BCD．19.点O在所在的平面内，则以下说法正确的有（）A.若，则点O是的重心． B.若，则点O是的内心．C.若，则点O是的外心．D.若，则点O是的垂心．【答案】ABCD【解析】【分析】对A，通过判断为边上中线的三等分点可得；对B，通过判断点O在三角形各个角的平分线上可得；对C，通过判断可得；对D，通过判断，可得.【详解】对A，设为中点，由于，所以为边上中线的三等分点（靠近点D），所以点O是的重心，故A正确；对B，向量分别表示在边AC和AB上的单位向量和，记它们的差为向量，则当时，即时，点O在的平分线上，同理由可得点O在的平分线上，所以点O是的内心，故B正确；对C，是以为邻边的平行四边形的一条对角线，而是另一条对角线，则由可得该平行四边形为菱形，即，同理由可得 ，所以点O是的外心，故C正确；对D，由得，则，所以，同理可得，所以点O是的垂心，故D正确.故选：ABCD.20.在平行四边形中，若，则（）A.B.C.D.若【答案】ACD【解析】【分析】利用向量的线性运算、向量数量积的运算性质结合条件逐项判断即得.【详解】∵在平行四边形中，，∴分别为AB、AD的中点，∴，故A正确；因为，故B错误；因为，故C正确； 若，则，又，∴，∴∴，故D正确.故选：ACD.21.中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，，下列选项正确的是（）A.B.若，则有两解C.若为锐角三角形，则b取值范围是D.若D为边上的中点，则的最大值为【答案】BCD【解析】【分析】由数量积的定义及面积公式求得角，然后根据三角形的条件求解判断各ABC选项，利用，平方后应用基本不等式求得最大值，判断D．【详解】因为，所以，，又，所以，A错；若，则，三角形有两解，B正确；若为锐角三角形，则，，所以，，，，C正确；若D为边上的中点，则，，又，， 由基本不等式得，，当且仅当时等号成立，所以，所以，当且仅当时等号成立，D正确．故选：BCD．【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形的应用，掌握正弦定理、余弦定理、三角形面积公式是解题关键．在用正弦定理解三角形时可能会出现两解的情形，实际上不一定要死记结论，可以按正常情况求得，然后根据的大小关系判断角是否有两种情况即可．22.如图，在直角三角形中，，点在以为圆心且与边相切的圆上，则（）A.点所在圆的半径为2B.点所在圆的半径为1C.的最大值为14D.的最大值为16【答案】AC【解析】【分析】斜边BC上的高即为圆的半径；把求的最大值通过向量加法的三角形法则转化为求的最大值，从而判断出P，M，A三点共线，且P，M在点A的两侧时取最大值.【详解】设AB的中点为M，过A作AH垂直BC于点H，因为，所以，，所以由，得，所以圆的半径为2，即点所在圆的半径为2，所以选项A正确，B错误；因为，，， 所以，所以当P，M，A三点共线，且P，M在点A的两侧时，取最大值，且最大值为，所以的最大值为，所以选项C正确，D错误.故选：AC.23.在中，，，其中，均为边上的点，分别满足：，，则下列说法正确的是（）A.为定值3B.面积的最大值为C.的取值范围是D.若为中点，则不可能等于【答案】ABD【解析】【分析】对于A:利用和数量积的计算公式可求；对于B：利用面积公式和基本不等式即可判断；对于C：先判断出，结合的范围即可判断；对于D：利用求出范围，即可判断.【详解】设.对于A:因为，所以D为BC的中点.因为，所以， 即，所以.因为，所以，所以.故A正确；对于B：，又，当且仅当“"时,取“=”此时，所以.故B正确；对于C：因为，所以，所以.当时，D、E重合，取得最大值3.可知为锐角，当最大锐角时，最大，但无法取到.故C错误；对于D：若为中点，则.故D正确.故选：ABD.24.三角形蕴涵大量迷人性质，例如校本第19页有这么一个性质：若点在内部，用、、分别代表、、的面积，则有，现在假设锐角三角形顶点、、所对的边长分别为、、，为其垂心，为三角形外心，、、的单位向量分别为、、．则下列命题正确的有（） A.至少存在2022个三角形，使成立B.存在三角形，使C.对任意锐角三角形均有成立D.存在锐角三角形使得【答案】ABC【解析】【分析】先根据三角形相似得到，在结合已知条件证明出，即可判断C、D；对于A：取等边三角形，结合选项C的推导证明出，从而可以取2022个边长不等的正三角形，均符合.即可判断；对于B：在正三角形中，由外心、垂心合一，结合选项A的证明，可以证明出成立，即可判断.【详解】由可得，因为，所以，可得，即，同理可得：，所以，所以，所以故C正确，D错误；对于A：取等边三角形，有，由上面的推导过程可知：，所以，因为，所以. 所以可以取2022个边长不等的正三角形，均符合.故A正确；对于B：在正三角形中，外心、垂心重合，所以.而，由A的推导可知，，所以成立.即在正三角形中，成立.故B正确；故选：ABC.25.已知，则下列判断中，错误的是（）A.若，，且，则B.存在，使得的图像右移个单位长度后得到的图像关于轴对称C.若在上恰有7个零点，则的取值范围为D.若在上单调递增，则的取值范围为【答案】ABC【解析】【分析】首先利用二倍角公式及诱导公式将函数解析式化简，再根据正弦函数的性质一一判断即可；【详解】解：，周期．对于A：由条件知，周期为，，故A错误；对于B：函数图象右移个单位长度后得到的函数为，其图象关于轴对称，则，，故对任意整数，，故B错误；对于C：由，所以，所以，解得，故C不正确； 对于D：因为，所以，所以，，故D正确．故选：ABC．