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《上海市奉贤区致远高级中学2021-2022学年高二下学期期中在线教学评估数学 Word版含解析.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
致远高中2021学年高二第二学期期中教学评估练习数学试题（完卷时间：120分钟满分：150分）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1–6题每题4分，第7–12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.已知等差数列，，，则_____．【1题答案】【答案】1【解析】【分析】利用等差中项的公式求解【详解】注意到，是的等差中项，故.故答案为：1.2.计算_______.【2题答案】【答案】【解析】【分析】根据无穷等比数列的求和公式直接即可求出答案.【详解】故答案为：3.抛物线y2=8x的焦点坐标是______【3题答案】【答案】(2,0)【解析】【详解】试题分析：一次项系数除以4得焦点横坐标或纵坐标，所以焦点考点：抛物线焦点点评：焦点
4.过抛物线()的焦点作与抛物线对称轴垂直的直线交抛物线于､两点，且，则___________.【4题答案】【答案】【解析】【分析】根据抛物线的焦半径公式表示出，再根据可直接求解出的值.【详解】设抛物线的焦点坐标为，由条件可知，所以，又，所以，故答案为：.【点睛】结论点睛：抛物线的焦半径公式如下（为焦准距）（1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；（2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则；（3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；（4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则.5.用数学归纳法证明“”，在验证成立时，等号左边的式子是______．【5题答案】【答案】【解析】【分析】将代入左边的式子即可求解.【详解】因为左边的式子是从开始，结束，且指数依次增加1所以，左边的式子为，故答案为：6.已知直线与抛物线有且只有一个公共点，则满足条件实数
的值组成集合_______.【6题答案】【答案】【解析】【分析】联立，消，分二次项系数等于0和不等于0两种情况讨论，结合根的判别式从而可得出答案.【详解】解：联立，消得，当时，，解得，此时直线与抛物线有且只有一个公共点，符合题意；当时，则，解得，综上所述或，所以满足条件的实数的值组成集合为.故答案为：.7.已知是双曲线右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为，设分别为双曲线的左、右焦点.若，则=_____.【7题答案】【答案】【解析】【分析】根据双曲线的渐近线方程,可求得.根据双曲线定义即可求得.【详解】因为双曲线的渐近线方程为,即所以,解得根据双曲线定义,是双曲线右支上的一点,满足
所以故答案为:【点睛】本题考查了双曲线的定义,标准方程及性质的简单应用,渐近线方程的应用,属于基础题.8.已知等比数列的前项和，则实数___________.【8题答案】【答案】【解析】【分析】由等比数列前n项和公式及已知条件，可得且，即可求k值.【详解】由题设，易知等比数列的公比为，根据等比数列前n项和公式，∴.故答案为：9.过点的圆与直线相切于点，则圆的方程为_________.【9题答案】【答案】.【解析】【分析】设圆的方程为，由条件列方程求即可.【详解】设圆的方程为，因为点在圆上，所以，又圆与直线相切于点，所以，，由-可得，所以，所以，，所以圆的方程为，
故答案为：.10.若数列的首项，且，则数列的通项公式为_______.【10题答案】【答案】【解析】【分析】依题意可得，利用累乘法计算可得；【详解】解：数列中，，，，．故答案为：．11.在平面直角坐标系中，已知圆上有且仅有四个点到直线的距离为1，则实数的取值范围是________.【11题答案】【答案】【解析】【详解】圆上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，该圆半径为2，即圆心O(0,0)到直线12x－5y＋c＝0的距离d<1，即<1，∴－130,b>0),则-=1.整理,得(b2-a2)x2+6a2x-9a2-a2b2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2==2×(-12),∴a2=-4a2+4b2,∴5a2=4b2.又a2+b2=9,∴a2=4,b2=5.∴双曲线E的方程为-=1.故选B.15.设｛an｝是等比数列，则“a1＜a2＜a3”是数列｛an｝是递增数列的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件、C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【15题答案】【答案】C【解析】【详解】或，所以数列｛an｝是递增数列若数列{an}是递增数列，则“a1＜a2＜a3”，因此“a1＜a2＜a3”是数列｛an｝是递增数列的充分必要条件，选C16.对于椭圆，若点满足，则称该点在椭圆内，在平面直角坐标系中，若点A在过点的任意椭圆内或椭圆上，则满足条件的点A构成的图形为（）A.三角形及其内部B.矩形及其内部C.圆及其内部D.椭圆及其内部【16题答案】
【答案】B【解析】【分析】由在椭圆上，根据椭圆的对称性，则关于坐标轴和原点的对称点都在椭圆上，即可得结论．【详解】设在过的任意椭圆内或椭圆上，则，，即，由椭圆对称性知，都在任意椭圆上，∴满足条件的点在矩形上及其内部，故选：B．【点睛】本题考查点到椭圆的位置关系．考查椭圆的对称性．由点在椭圆上，则也在椭圆上，这样过点的所有椭圆的公共部分就是矩形及其内部．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应写出必要的步骤．17.已知双曲线：.（1）求与双曲线有相同的焦点，且过点的双曲线的标准方程.（2）直线：分别交双曲线的两条渐近线于，两点.当时，求实数的值.【17题答案】【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)先求双曲线的焦点坐标，然后结合条件计算出双曲线的标准方程(2)设，构造新曲线方程，联立直线方程与曲线方程，求出两根之积，代入向量的表达式求出结果【详解】（1）双曲线的焦点坐标为，，设双曲线的标准方程为，
则解得∴双曲线的标准方程为.（2）双曲线的渐近线方程为，.设，.由，消去化简得，由，得.∵，，∴，即.【点睛】本题考查了求双曲线标准方程以及结合向量求参数的值，题目较为基础，需要掌握解题方法18.已知等差数列满足，．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设等比数列满足，，问：与数列的第几项相等？【18题答案】【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)128.【解析】【详解】试题分析：本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.（Ⅰ）利用等差数列的通项公式，将转化成和，解方程得到和的值，直接写出等差数列的通项公式即可；（Ⅱ）先利用第一问的结论得到和的值，再利用等比数列的通项公式，将和转化为和，解出和的值，得到的值，再代入到上一问等差数列的通项公式中，解出的值，即项数.
试题解析：（Ⅰ）设等差数列的公差为.因为，所以.又因为，所以，故.所以.（Ⅱ）设等比数列的公比为.因为，，所以，.所以.由，得.所以与数列的第项相等.考点：等差数列、等比数列的通项公式.19.已知数列的前n项和为，且．（1）证明：是等比数列；（2）求数列的通项公式，并求出使得成立的最小正整数n．【19题答案】【答案】（1）见解析；（2）；．【解析】【分析】（1）利用与的关系可得，构造成，利用等比数列的定义即可证出.（2）由（1）可得，从而可得的通项公式，代入即可求出，解不等式即可求解.【详解】（1）证明：当时，．
解方程，得，则．当时，．．，即，而，所以，故．是首项为，公比为的等比数列．（2），．由，得．即．解不等式，得．所以使得成立的最小正整数．【点睛】本题考查了与的关系、等比数列的定义、由递推关系式求通项公式，属于中档题.20.我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星（其半径）的中心为一个焦点的椭圆．如图，已知探测器的近火星点（轨道上离火星表面最近的点）到火星表面的距离为，远火星点（轨道上离火星表面最远的点）到火星表面的距离为．假定探测器由近火星点第一次逆时针运行到与轨道中心的距离为时进行变轨，其中分别为椭圆的长半轴、短半轴的长，求此时探测器与火星表面的距离（精确到）．【20题答案】
【答案】【解析】【分析】根据题意求出轨道方程为，设变轨时，探测器位于，则，结合轨道方程求出，再利用两点间的距离公式即可求解.【详解】设所求轨道方程为．．于是．所以所求轨道方程为．设变轨时，探测器位于，则．解方程组，得（由题意）．所以探测器在变轨时与火星表面距离为．所以探测器在变轨时与火星表面的距离约为.【点睛】本题考查了椭圆方程的应用，考查了考生的计算求解能力，属于基础题.21.已知椭圆的左、右焦点为、.（1）求以为焦点，原点为顶点的抛物线方程；（2）若椭圆上点满足，求的纵坐标；（3）设，若椭圆上存在两个不同点、满足，证明：直线过定点，并求该定点的坐标.【21题答案】【答案】（1）；（2）；（3）直线过定点.【解析】【分析】(1)由椭圆方程可求出左焦点的坐标,由此可求出抛物线的方程;(2)根据椭圆定义以及余弦定理可求出,再根据面积关系列式可求得结果;
(3)联立直线,与抛物线方程,消去得到关于的一元二次方程,根据韦达定理得到两根之和与两根之积,再根据向量相乘为0列式可解得,从而可得.【详解】(1)在椭圆中,,,所以,所以,所以,所以在抛物线中,所以,所以以为焦点，原点为顶点的抛物线方程为:,即.(2)设,,,在三角形中,,由余弦定理得:,所以得,得,又,所以,所以,即,解得:,所以;(3)直线的斜率显然存在,设直线的方程为:,联立,消去并整理得:,设,,则,即,,,因为,
所以,所以,所以,所以,化简得:,因为,所以,所以直线:过定点.【点睛】本题考查了椭圆的几何性质,抛物线的标准方程,余弦定理,三角形的面积公式,向量的数量积,直线过定点问题,运算求解能力.本题属于难题.
