新题型02 新高考新结构竞赛题型十五大考点汇总（原卷版）.docx

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学科网（北京）股份有限公司新题型02新高考新结构竞赛题型十五大考点汇总高考数学中会出现与竞赛相关的考点，本专题主要针对高考中的竞赛考点进行分类归纳【题型1集合中的竞赛考点】【例1】（2022·新疆·竞赛）设集合3a+b1≤a≤b≤4中的最大元素与最小元素分别为M，N，则M-N=．【变式1-1】（2022·浙江·竞赛）已知集合A=xx-nx-n2+n≤0,n∈N+，若集合A中恰有9个正整数，则n=.【变式1-2】（2021·全国·高三竞赛）已知集合M={1,2,3,⋯,1995}，A是M的子集，当x∈A时，19x∉A，则集合A元素个数的最大值为．【变式1-3】（2020·江苏·高三竞赛）设n∈N∗，欧拉函数φn表示在正整数1，2，3，…，n中与n互质的数的个数，例如1，3都与4互质，2，4与4不互质，所以φ4=2，则φ2020=．【变式1-4】（2021·全国·高三竞赛）设集合A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，满足下列性质的集合称为“翔集合”：集合至少含有两个元素，且集合内任意两个元素之差的绝对值大于2.则A的子集中有zxxk.com科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司zxxk.com学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司个“翔集合”.【题型2函数中的竞赛考点】【例2】（2018·吉林·高三竞赛）已知fx=2x+122x⋅x+1在−2018,0∪0,2018上的最大值为M，最小值为N，则M+N=（）A．3B．2C．1D．0【变式2-1】（2018·吉林·高三竞赛）已知函数fx满足：f1=14，4fxfy=fx+y+fx−yx,y∈R，则f2019=（）.A．12B．-12C．14D．-14【变式2-2】（2022·新疆·竞赛）已知f(x)=2x+lnx2+1+x-2-x+1011，则不等式f(2x+1)+f(x)>2022的解集为．【变式2-3】（2022·广西·统考竞赛）设y=fx是严格单调递增的函数，其反函数为y=gx．设x1，x2分别是方程fx+x=2和gx+x=2的解，则x1+x2=．【变式2-4】（2021·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考竞赛）设x>0，平面向量AB=0,1，BC=1,2，CD=log3x,log9x．若AC⋅BD=2，则x的值为．【题型3函数与方程中的竞赛考点】【例3】（2021·全国·高三竞赛）已知s､t是关于x的整系数方程ax2+bx+c=0(a>0)的两根，10,b>0，gx=lnx+2，若对∀x>−2，fx≥gx恒成立，则实数ba的取值范围为（    ）A．0,+∞B．1,+∞C．2,+∞D．[e,+∞)【变式5-3】（2020·全国·高三竞赛）已知首项系数为1的五次多项式f(x)满足：f(n)=8n,n=1,2,⋯,5，则f(x)的一次项系数为．【变式5-4】（2018·全国·高三竞赛）已知α、β、γ为方程5x3−6x2+7x−8=0的三个不同的根，则α2+αβ+β2β2+βγ+γ2γ2+γα+α2的值为．zxxk.com科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司zxxk.com学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【题型6三角函数中的竞赛考点】【例6】（2024上·全国·高三统考竞赛）给定k∈R，若∃m>0，∀x,y∈R满足cosx+kcosy=1，均有y≥m，则k的范围是（    ）A．(−∞,0)∪(2,+∞)B．(−∞,0]∪[2,+∞)C．[0,2]D．(0,2)【变式6-1】（2018·吉林·高三竞赛）已知fx=sinx2+cosx，则对任意x∈R，下列说法中错误的是（）A．fx≥13sinxB．fx≤xC．fx≤33D．fπ+x+fπ−x=0【变式6-2】（2021·全国·高三竞赛）函数f(x)=cosx的图象与直线y=kx(k>0)恰有四个不同交点，设四个交点中横坐标的最大值为α，则α⋅tanα=．【变式6-3】（2022·新疆·竞赛）已知二面角α-l-β的平面角为60°，A，D为直线l上的两点，射线DB在平面α内，射线DC在平面β内，已知∠BDA=45°,∠CDA=30°，则cos∠BDC等于．【变式6-4】（2021·全国·高三竞赛）在△ABC中，AC=5,1tanA2+1tanC2−5tanB2=0，则BC+AB的值为．【题型7向量中的竞赛考点】【例7】（2022·江苏南京·高三强基计划）已知向量a，b，c满足a=3，b=22，a⋅b=6，且a+cb+2c=0，则b+c最小值为.【变式7-1】（2020·浙江·高三竞赛）已知a，b为非零向量，且|a|=|a+b|=1，则|2a+b|+|b|的最大值为.【变式7-2】（2021·全国·高三竞赛）已知平面向量a､b､c，满足|a|=2,|b|=|c|=5,0<λ<1，若b⋅c=0，那么|a−b+λ(b−c)|+25c+(1−λ)(b−c)的最小值为.【变式7-3】（2021·全国·高三竞赛）已知平面单位向量a、b、c、x，且a+b+c=0，记y=|x−a|+|x−b|+|x−c|，则y的最大值为．【变式7-4】（2021·全国·高三竞赛）设P是△ABC所在平面内一点，满足PA+PB+PC=3AB，若△PAC的面积为1，则△PAB的面积为.【题型8数列中的竞赛考点】【例8】（2023·全国·高三专题练习）已知数列an满足a1=1，an+1=ln1+an，n∈N∗.下列说法错误的是（    ）zxxk.com科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司zxxk.com学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司A．an>an+1B．an<2an+1C．an≥12n−1D．3an>4an+1【变式8-1】（2023·全国·高三专题练习）已知数列{an}的各项都是正数且满足2an2−3an=an−1(n∈N∗，n⩾2)，Sn是数列{an}的前n项和，则下列选项中错误的一项是（    ）A．若{an}单调递增，则01C．当a=13时，a2020<1D．当a=14时，a2020>1【变式8-3】（2023·全国·高三专题练习）斐波那契数列又称“黄金分割数列”，在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列an可以用如下方法定义：an=an−1+an−2n≥3,n∈N∗，a1=a2=1，则i=12022ai2a2022i=1,2,⋅⋅⋅,2022是数列an的第（    ）项A．2020B．2021C．2022D．2023【变式8-4】（多选）（2023·全国·高三专题练习）数学史上有很多著名的数列，在数学中有着重要的地位.13世纪初意大利数学家斐波那契从兔子繁殖问题引出的一个数列Fn：1，1，2，3，5，8，13，……，称之为斐波那契数列，满足F0=1，F1=1，Fn+1=Fn+Fn−1n≥1.19世纪法国数学家洛卡斯提出数列Ln：2，1，3，4，7，11，18，……，称之为洛卡斯数列，满足L0=2，L1=1，Ln+1=Ln+Ln−1n≥1.那么下列说法正确的有（    ）A．Ln=2Fn−Fn−1n≥1B．Fn+1Fn−1−Fn2不是等比数列C．L0+L2+⋅⋅⋅+L2n=L2n+1+1D．Ln2+Ln+12=5F2n+1【题型9不等式中的竞赛考的】【例9】（2016·北京·高三强基计划）（多选）设函数f(x,y)=−6xy+72(x+y)−2，则minx∈[0,1]maxy∈[0,1]{f(x,y)}=（    ）A．0B．124zxxk.com科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司zxxk.com学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司C．−124D．miny∈[0,1]maxx∈[0,1]{f(x,y)}【变式9-1】（2023·全国·高三专题练习）设a,b,c为△ABC的三边，S为△ABC的面积，若a2+b2+2c2=8，则S的最大值为．【变式9-2】（2022·浙江·竞赛）设a，b，c，d∈R+，abcd=1，则∑1a2+941Σa的最小值为.【变式9-3】（2021·全国·高三竞赛）设a,b,c>0满足a−b+c+abc=0，则2a2+1−2b2+1+3c2+1的最大值是.【变式9-4】（2021·全国·高三竞赛）已知非负实数x、y、z满足4x2+4y2+z2+2z=3，则5x+4y+3z的最小值为．【题型10解析几何中的竞赛考点】【例10】（2024上·全国·高三统考竞赛）设双曲线Γ:x2−3y2=−3，A(0,2)，B，C在Γ上且直线BC经过A.设lB,lC分别为Γ在B，C处的切线，点D满足BD⊥lB,CD⊥lC，则D的轨迹方程是;若D的横纵坐标均为正整数，且二者之和大于2024，则D可以是.(写出1个即可).【变式10-1】（2023·湖北武汉·统考一模）设F为双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点，A，B分别为双曲线E的左右顶点，点P为双曲线E上异于A，B的动点，直线l：x＝t使得过F作直线AP的垂线交直线l于点Q时总有B，P，Q三点共线，则ta的最大值为.【变式10-2】（2022·江苏南京·高三强基计划）设F，l分别为双曲线x-4212-y212=1的右焦点与右准线，椭圆Γ以F和l为其对应的焦点及准线，过F作一条平行于y=3x的直线，交椭圆Γ于A､B两点，若Γ的中心位于以AB为直径的圆外，则椭圆离心率e的范围为.【变式10-3】（2021·全国·高三竞赛）已知▱ABCD的四个顶点均在双曲线x2−y24=1上，点P(0,1)在边AB上，且APPB=12，则▱ABCD的面积等于.【变式10-4】（2021·全国·高三竞赛）已知S(2,1)为椭圆Γ:x28+y22=1上的点，对椭圆Γ上的任意两点P、Q，用如下办法定义它们的“和”P+Q：过点S作一条平行于PQ（若点P与Q重合，则直线PQ表示椭圆Γ在P处的切线）的直线l与椭圆Γ交于不同于S的另一点，记作P+Q（若l与椭圆Γ相切，则规定S为P+Q）.并规定nP=P+P+⋯+P�n个.(1)若点P(22,0),Q(0,−2)，求P+Q、2P以及100P的坐标.(2)在椭圆Γ上是否存在不同于S的点P，满足3P=Szxxk.com科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司zxxk.com学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.【变式10-5】（2021·全国·高三竞赛）已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，其右焦点为F，过F作直线l交椭圆C1于A、B两点（l与x轴不重合），设线段AB中点为D，连结OD（O为坐标原点），直线OD交椭圆C1于M、N两点，若A、M、B、N四点共圆，且|MN||OD|=83，求椭圆C1的离心率．【题型11立体几何中的竞赛考点】【例11】（2023上·湖南邵阳·高三校联考阶段练习）已知三棱锥A−BCD中，AB=CD=32，AC=AD=BC=BD=5，空间中的动点M满足MA≥2MB，则平面BCD截M的轨迹形成的图形的面积为．【变式11-1】（2022·江苏徐州·统考模拟预测）已知A，B，C，D是半径为4的球面上四点，E，F分别为AB,CD的中点，AB=43，CD=27，则以EF为直径的球的最小表面积为；若A，B，C，D不共面，则四面体ABCD的体积的最大值为．【变式11-2】（2021·全国·高三竞赛）把半径为1的4个小球装入一个大球内，则此大球的半径的最小值为．【变式11-3】（2021·全国·高三竞赛）A、B、C、D是半径为1的球面上的4个点，若AB=CD=1，则四面体ABCD体积的最大值是．【变式11-4】（2021·全国·高三竞赛）正四面体ABCD中，点G为面ABC的中心，点M在线段DG上，且tan∠AMB=−3515，则DMDG=.【变式11-5】（2023·全国·统考竞赛）已知三棱柱Ω:ABC−A1B1C1的9条棱长均相等.记底面ABC所在平面为α.若Ω的另外四个面（即面A1B1C1，ABB1A1，ACC1A1，BCC1B1）在α上投影的面积从小到大重排后依次为23，33，43，53，求Ω的体积.【题型12排列组合中的竞赛考点】【例12】（2024上·全国·高三统考竞赛）设a1,a2,⋯,a9=1,2,⋯,9，且a2i−1>a2i5时，3x3+4y3+5z3=0(modp)必有一组非零解(x,y,z)∈ℤp∗∪03.zxxk.com科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司zxxk.com学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司