吉林省四校2023-2024学年高二下学期期初联考数学试题（解析版）.docx

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2023-2024学年度高二下学期四校期初联考数学试题本试卷满分150分，共4页.考试时间为120分钟一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的，请仔细审题，认真做答）1.已知直线l的方向向量为，则l的倾斜角为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求出直线斜率，进而求出直线倾斜角即得.【详解】直线的一个方向向量为，则直线斜率为，所以直线的倾斜角为.故选：B.2.等差数列的前项和为.若，则（）A.8096B.4048C.4046D.2024【答案】B【解析】【分析】根据等差数列性质可得，再结合等差数列的求和公式从而可求解.【详解】由等差数列的性质可得，所以，所以.故B正确.故选：B.3.如图，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（）第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】建立适当空间直角坐标系后借助空间向量即可求夹角的正弦值.【详解】如图，以点为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，因为正方体的棱长为1，所以，所以，则，所以异面直线与所成角的余弦值为，所以正弦值为.故选：C.4.已知分别是椭圆左、右焦点，点在椭圆上，是坐标原点，且，则的面积等于（）A.B.C.D.第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 【答案】A【解析】【分析】设，列出方程组，从而可求解.【详解】设，则，消去得，所以的面积，故A正确.故选：A.5.如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为1，把图①，图②，图③，图④中图形的周长依次记为，，，，则=（　　）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】观察图形可得出为首项为，公比为的等比数列，即可求出.【详解】观察图形发现，从第二个图形开始，每一个图形的周长都在前一个的周长的基础上多了其周长的，即，所以为首项为，公比为的等比数列，故选：B.第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 6.已知直线与圆交于两点，则下列结论不正确的（）A.圆的面积为B.过定点C.面积的最大值为D.【答案】C【解析】【分析】将圆的方程整理成标准式，得到圆心和半径，即可求解圆面积判断A，直线整理成关于的方程，令其系数为0，即可得出直线过的定点，判断B；由，结合弦长公式与基本不等式，即可判断C；分别求出过点的弦长的最大值和最小值，即可判断D.【详解】对于A：圆即的圆心为，半径，故圆D的面积为，故A正确；对于B：将直线整理为：，令，解得，即直线过定点，故B正确；对于C：定点到圆心的距离，设点到直线的距离为，则，则，当且仅当，即时，等号成立，故的面积的最大值为，故C错误；对于D：当直线与垂直时，弦的长度最小，当直线过圆心时，弦的长度最大，所以可得，故D正确.故选：C.7.如图，已知抛物线，圆，过圆心的直线与抛物线和圆依次交于第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 ，则的最小值为（）A.14B.23C.18D.15【答案】A【解析】【分析】设点，分析可知，直线不与轴重合，设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用抛物线的焦半径公式以及基本不等式可求得的最小值.【详解】易知抛物线的焦点为，设点，圆的半径为1，由抛物线的定义可得，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，设直线的方程为，联立，可得，则，由韦达定理可得，所以，当且仅当时，即当或时，等号成立，因此的最小值为14，故A正确.第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 故选：A.8.意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这一列数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列说法正确的是（）A.B.是偶数C.D.【答案】D【解析】【分析】由题意可得，结合该递推关系对选项逐项计算判断即可得.【详解】由已知得数列满足递推关系，，对选项A：，故A错误；对选项B：观察数列可知，数列每三项都是奇、奇、偶重复循环，，不能被3整除，且奇数，所以也为奇数，故B错误；对选项C：若选项C正确，又，则，同理，依次类推，可得，显然错误，故C错误；对选项D：，所以，故D正确.故选：D.【点睛】关键点点睛：斐波那契数列问题的解决关键是熟练掌握其递推公式，，从而得解.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，两个选项每个选项3分，三个选项每个选项2分，有选错的得0分）第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 9.等差数列的前n项和为，若，，则（）A.公差为1B.的公差为2C.D.【答案】ACD【解析】【分析】列出方程组，求出等差数列的公差和首项，判断A，B；根据等差数列通项公式以及前n项和公式即可判断C，D.【详解】设的公差为d，由，，得，解得，故A正确，B错误；，，C，D正确.故选：ACD10.已知椭圆的长轴长为4，离心率为分别为椭圆的左、右焦点，过点的直线与椭圆相交于A，B两点，则下列说法正确的是（）A.椭圆的标准方程为B.椭圆上存在点，使得C.是椭圆上一点，若，则D.若的内切圆半径分别为，当时，直线的斜率【答案】ACD【解析】【分析】对于A，根据题意直接得到和进而得到即可得到椭圆方程；对于B，判断与椭圆是否有公共点即可判断是否存在满足题意的点；对于C，设，根据余弦定理得到，进而得到，结合三角形面积公式即可求解面积；对于D，设直线第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 ，将直线与椭圆方程联立，得到，根据得到，进而得到，从而求解直线斜率即可.【详解】对于A，因为椭圆的长轴长为，所以，又因为椭圆的离心率，所以，所以，所以椭圆，故A正确；对于B，若椭圆上存在点，使得，则点在圆上，又因为方程组无解，故B错误；对于C，设，则，在中，由余弦定理可得，因为，所以，所以，故C正确；对于D，，显然直线斜率不为0，设直线，第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 由，整理得：，恒成立，所以，依题意有，得，所以，即，同理可得，因为，所以，又因为，所以，因为，所以，解得，代入到，得，解得，所以直线的斜率为，故D正确.故选：ACD【点睛】方法点睛：本题考查解析几何的综合问题，此类问题常见的处理方法为：（1）几何法：通过图形特征转化，结合适当的辅助线与图形关系进而求解；（2）坐标法：在平面直角坐标系中，通过坐标的运算与转化，运用方程联立与韦达定理等知识，用坐标运算求解答案.11.在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，为线段上的一个动点，则（）A.三棱锥的体积为定值B.存在点，使得平面平面第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 C.当时，直线与所成角的余弦值为D.当为的中点时，三棱锥的外接球的表面积为【答案】ABD【解析】【分析】对于A项，由等体积法即可判断，对于B项，运用空间向量坐标法计算两个平面法向量平行求解即可，对于C项，运用空间向量坐标公式计算异面直线所成角余弦值即可，对于D项，由列方程求解即可.【详解】对于A项，因为平面平面，平面，所以平面，所以点到平面的距离为定值，又，的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，故A项正确；建立如图1所示的空间直角坐标系，则，，，对于B项，，，，第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 设，则．设平面的法向量为，由，令，可得．设平面的法向量为，由，令，可得．若平面平面，则，解得，故B项正确；对于C项，建立如图1所示的空间直角坐标系，当时，．设直线与所成的角为，则，即直线与所成角的余弦值为，故C项错误；对于D项，如下图，当为的中点时，．设三棱锥的外接球的球心为，半径为，第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 则，解得，所以三棱锥的外接球的表面积为，故D项正确．故选：ABD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，请仔细审题，认真做答）12.圆与圆的公共弦的长为_____________．【答案】【解析】【分析】利用两圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程，利用点线矩求出圆心到公共弦的距离，结合勾股定理计算即可求解.【详解】由，得，即两圆公共弦所在直线的方程为，圆，圆心为，半径为，则圆心到直线的距离为，所以公共弦长为.故答案为：13.在数列中，，则____________.【答案】6【解析】【分析】根据递推公式，并结合累乘法从而可求解.第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 【详解】因，故有，即得，所以.故答案为：6.14.设双曲线的左、右焦点分别为，过坐标原点的直线与交于点，，则的离心率为____________.【答案】【解析】【分析】由双曲线的对称性可得、且四边形为平行四边形，由题意可得出，结合余弦定理表示出与、有关齐次式即可得离心率.【详解】由双曲线的对称性可得，有四边形为平行四边形，令，则，由双曲线定义可知，故有，即，即，，则，即，故，则有，即，即，则，由，故.第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 故答案为：.四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）15.已知数列中，.（1）求的值；（2）证明：数列是等差数列；（3）求数列的通项公式.【答案】15.716.证明见解析17.【解析】【分析】（1）根据题意，令，即可求得的值；（2）根据题意，化简得到，结合等差数列的定义，即可得证；（3）由（2）求得，利用叠加法，结合等差数列的求和公式，即可求解.【小问1详解】数列中，，且，令，可得.【小问2详解】证明：由，当时，可得，则，又由，可得，所以是公差为3的等差数列，即数列是公差为3等差数列.【小问3详解】由（2）知，数列是首项为1，公差为3的等差数列，即，所以当时，第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 ，又满足上式，所以，即数列的通项公式为.16.已知抛物线的焦点为，直线与轴的交点为，与的交点为，且.（1）求的方程；（2）延长交抛物线于为坐标原点，求的面积；（3）延长交抛物线准线于，曲线是以为直径的圆，求点到的最小值.【答案】16.17.18.【解析】【分析】（1）设，代入抛物线方程，结合抛物线的定义，可得，进而得到抛物线方程；（2）根据两点求解直线方程，与椭圆方程联立，得坐标，即可根据两点距离公式以及点到直线的距离公式，结合三角形的面积公式，即可求解．（3）由（2）知直线方程，求得，然后利用点到圆上点的最值公式求解.【小问1详解】设，代入由中得，所以，由题设得，解得（舍去）或.所以的方程为；第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 【小问2详解】由（1）知，所以直线方程为，即，联立，结合图象，则，故，故，原点到直线的距离为，故.【小问3详解】由（2）知直线方程为，则因为，所以圆心，半径到曲线最小值为.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；（3）列出韦达定理；第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.17.去年某地产生生活垃圾为20万吨，其中8万吨垃圾以填埋方式处理，12万吨垃圾以环保方式处理，为了确定处理生活垃圾的预算，预计从今年起，每年生活垃圾的总量递增，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加5万吨.（1）请写出今年起第年用填埋方式处理的垃圾量的表达式；（2）求从今年起年内用填埋方式处理的垃圾量的总和；（3）预计今年起9年内，哪些年不需要用填埋方式处理生活垃圾.【答案】（1）（2）（3）第3到第9年【解析】【分析】（1）由的定义可知它是等比数列与等差数列之差，由此即可的解.（2）由等差数列、等比数列求和公式分组求和即可得解.（3）结合参考数据代入验算即可得解.【小问1详解】由题意可知.【小问2详解】由（1）可知，化简可得.【小问3详解】当时，当时，当时，第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 ……当时，所以第3到第9年不需要.18.如图，在三棱柱中，底面侧面.（1）证明：平面；（2）若，求三棱锥的体积；（3）在（2）的条件下，求平面与平面的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）由面面垂直的性质得到平面，再由线面垂直的判定定理即可证明结论.（2），再求点到平面的距离，转化为求平面与平面间距离，进而即可求解；.（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解平面与平面夹角的余弦值.【小问1详解】平面平面平面，平面平面，平面，平面，，第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 四边形为菱形，，平面，平面.【小问2详解】因为，所以是等边三角形过做垂直于于点因为平面平面，所以又于所以平面平面与平面间距离大小为，即到平面的距离为..【小问3详解】以为原点，及平面过点的垂线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，所以，平面，即为平面的法向量，设平面的法向量为，第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 则，即，令，可得，，平面与平面的夹角的余弦值为19.已知动圆经过定点，且与圆：内切.（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）设轨迹与轴从左到右的交点为，，点为轨迹上异于，的动点，设交直线于点，连接交轨迹于点，直线，的斜率分别为，.①求证：为定值；②证明：直线经过轴上的定点，并求出该定点的坐标.【答案】19.20.①证明见解析；②证明见解析；【解析】【分析】（1）设出动圆的半径，然后由几何关系可得并结合椭圆的定义即可求解.（2）①分别求出的坐标，设，，利用数型结合分别求出，从而求解；②中设出直线方程，然后与椭圆方程联立，再利用根与系数的关系及①中结论，即可求解.【小问1详解】设动圆的半径为，由题意得圆的圆心为，半径，所以，，则，所以动圆圆心的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆.因此动圆圆心的轨迹的方程为.第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 【小问2详解】①设，，.由（1）可知，，如图所示，所以，，又因为，即，于是，所以，又，则，因此为定值.②设直线的方程为，由①中知，，由得，，由根与系数的关系得由①可知，，即，代入化简得，解得或(舍去)，所以直线的方程为，所以直线经过轴上的定点，定点坐标为.第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司 【点睛】关键点点睛：（2）问①中利用数型结合及转化从而求出为定值；②中利用直线与椭圆联立消元后利用根与系数关系及①中结论建立等式，从而求解.第22页/共22页学科网（北京）股份有限公司