2024年新高考数学考前冲刺必刷卷02（江苏专用）解析版.docx

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2024年高考考前信息必刷卷02（江苏专用）数学试卷新题型新的试题模式与原模式相比变化较大，考试题型为为8（单选题）＋3（多选题）＋3（填空题）＋5（解答题），新的试题模式与原模式相比，各个题目的考查内容、排列顺序进行了大幅度的调整。所以在最后备考阶段，更精准把握考点，考试题型的结构和各种考试题型的分布，精准备考，提升效益。本套试卷第4题,用盆景为背景,看作圆台,数学中有些问题的原型来原于实际生活,理解用所学的圆台体积公式解決问题.第5题用微积分中的泰勒級数公式构造成阶乘问题,理解转化用三角函数中的弧度制与角度制转化来解決问题.第6题用“蚊香”为原型,构造成圆弧长，数列等知知识解決问题.第14题考查全概率问题.（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1.已知集合，，则的子集个数为（）.A.2B.3C.4D.1【答案】C【分析】根据直线与圆的位置关系求出集合的元素个数，再求解子集个数即可.【详解】集合表示直线上点的集合，集合表示圆上点的集合.圆的圆心坐标为，半径为3，点到直线的距离为,所以直线与圆相交，所以共有2个元素，所以的子集个数为.故答案为：4.2.已知x，y为正实数，且，则的最小值为（    ）A．24B．25C．D．学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【答案】B【分析】把变为，然后利用基本不等式中常数代换技巧求解最值即可.【详解】因为x，y为正实数，且，所以，当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为25.故选：B3.已知定义在R上的函数满足：，且时，，则关于的不等式的解集为（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据函数单调性和奇偶性则得到不等式，解出即可.【详解】任取，则，而时，，则，，所以在上单调递减，，，取，则，令，得，所以为上的奇函数，，即，则，解得故选：A.4.为努力推进“绿美校园”建设，营造更加优美的校园环境，某校准备开展校园绿化活动．已知栽种某绿色植物的花盆可近似看成圆台，圆台两底面直径分别为18厘米，9厘米，母线长约为7.5厘米．现有2000个该种花盆，假定每一个花盆装满营养土，请问共需要营养土约为（    ）（参考数据：）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 A．1.702立方米B．1.780立方米C．1.730立方米D．1.822立方米【答案】B【分析】利用圆台的结构特征求高，再由圆台体积公式求体积，即可求2000个该种花盆所需要的营养土.【详解】令（单位厘米），则花盆的高，所以花盆的体积为，故2000个该种花盆共需要营养土约为立方厘米，即1.780立方米.故选：B5.英国著名数学家布鲁克·泰勒（TaylorBrook）以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，泰勒级数用无限连加式来表示一个函数，如：，其中．根据该展开式可知，与的值最接近的是（    ）A．B．C．D．【答案】C【分析】观察题目将其转化为三角函数值，再将弧度制与角度制互化，结合诱导公式判断即可.【详解】原式，故选：C.6.蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上取长度为1的线段，作一个等边三角形，然后以点B为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点E，再以点A为圆心，为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为（    ）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司     A．B．C．D．【答案】D【分析】利用扇形弧长公式及等差数列求和公式计算即可.【详解】由题意每段圆弧的中心角都是，每段圆弧的半径依次增加1，则第段圆弧的半径为，弧长记为，则，所以.故选：D．7.已知向量满足与垂直，则的最小值为（    ）A．B．C．1D．3【答案】C【分析】向量垂直则数量积为零，由此求出，求，利用平方法转化为数量积进行计算．【详解】由与垂直，得，则，所以1，所以当时，的最小值为故选：C8.甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是（    ）A．，互斥B．C．D．【答案】C【分析】根据条件概率、全概率公式、互斥事件的概念等知识，逐一分析选项，即可得答案.【详解】因为每次只取一球，故，是互斥的事件，故A正确；由题意得，，，，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 ，故B，D均正确；因为，故C错误.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．设，为复数，下列命题中正确的是（　　）A．B．若，则与中至少有一个是0C．若，则D．【答案】ABD【分析】根据复数运算对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】设，，则，A选项正确.若，则，则或，所以与中至少有一个是0，B选项正确.若，则可能，C选项错误.，，D选项正确.故选：ABD10.在中，若，则（    ）A．对任意的，都有B．对任意的，都有C．存在，使成立D．存在，使成立【答案】AD【分析】根据给定条件，举例说明判断BD；构造函数，借助导数探讨单调性判断AC.【详解】在中，当时，，取，则，，，，则，B错，D对；学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 显然，即，则，令，，，因此函数在上单调递减，则，即，从而，A对，C错.故选：AD11.关于下列命题中，说法正确的是（    ）A．已知，若，，则B．数据，，，，，，，，，的分位数为C．已知，若，则D．某校三个年级，高一有人，高二有人.现用分层抽样的方法从全校抽取人，已知从高一抽取了人，则应从高三抽取人.【答案】BCD【分析】根据二项分布期望和方差公式可构造方程求得，知A错误；将数据按照从小到大顺序排序后，根据百分位数的估计方法直接求解知B正确；由正态分布曲线的对称性可求得C正确；根据分层抽样原则可计算得到高二应抽取学生数，由此可得高三数据，知D正确.【详解】对于A，，，，解得：，A错误；对于B，将数据从小到大排序为，，，，，，，，，，，分位数为第个数，即，B正确；对于C，，，C正确；对于D，抽样比为，高二应抽取人，则高三应抽取人，D正确.故选：BCD.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.球O的半径与圆锥M的底面半径相等，且它们的表面积也相等，则圆锥M的侧面展开图的圆心角大小为，球O的体积与圆锥M的体积的比值为．【答案】/120°学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【分析】设球O的半径及圆锥M的底面半径均为R，圆锥M的母线长为l，再根据球与圆锥的表面积公式求得，即可得圆锥M的侧面展开图的圆心角大小；根据勾股定理求得，再结合球与圆锥的体积公式分析体积比即可【详解】设球O的半径及圆锥M的底面半径均为R，圆锥M的母线长为l，则，所以，圆锥M的侧面展开图的圆心角大小为；球O的体积为，圆锥M的高，圆锥M的体积为，所以球O的体积与圆锥M的体积的比值为．故答案为：，13.在工业生产中轴承的直径服从，购买者要求直径为，不在这个范围的将被拒绝，要使拒绝的概率控制在之内，则至少为；（若，则）【答案】0.1/【分析】依题意得，则，由，得，即可求解.【详解】若，则）因为工业生产中轴承的直径服从，所以，则，由，得，则要使拒绝的概率控制在之内，则至少为.故答案为：##14.某羽毛球超市销售4种品牌（品牌，，，）的羽毛球，该超市品牌，，，的羽毛球的个数的比例为，品牌，，，的羽毛球的优品率分别为0.8，0.9，0.7，0.6．若甲不买这4个品牌中的1个品牌的羽毛球，他从其他3个品牌的羽毛球中随机选取1个购买，已知他买到的羽毛球为优品的概率大于0.8，则可推测他不买的羽毛球的品牌为（填入，，，中的1个）．【答案】D【分析】先确定不是品牌，再利用全概率公式分别计算不买ACD品牌的概率即可求解.【详解】因为他买到的羽毛球为优品的概率大于0.8，且0.8，0.9，0.7，0.6中只有，所以他不买的羽毛球品牌一定不是品牌．若他不买品牌的羽毛球，则他买到的羽毛球为优品的概率为学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 ．若他不买品牌的羽毛球，则他买到的羽毛球为优品的概率为．若他不买品牌的羽毛球，则他买到的羽毛球为优品的概率为．故答案为：D四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数的最小正周期为．(1)求的值，并写出的对称轴方程；(2)在中角的对边分别是满足，求函数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角函数的恒等变换化简函数，再根据周期求出的值,利用整体法即可求解对称轴.（2）把已知的等式变形并利用正弦定理可得，故，故，根据正弦函数的定义域和值域求出的取值范围．【详解】（1）．，．故令，解得，故对称轴方程为：（2）由得，．学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 ，，,．，，，16（15分）如图，在三棱锥中，平面平面，且，，点在线段上，点在线段上.(1)求证：；(2)若平面，求的值；(3)在（2）的条件下，求平面与平面所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）根据三角形全等，可证明线线垂直，进而可得线面垂直，进而可求证，（2）建立空间直角坐标系，利用向量即可求解.或者利用空间垂直关系的转化即可结合三角形的边角关系求解.（3）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解.【详解】（1）证明：过作直线于，连接.由题知，，即，又平面,平面，又平面，，即学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 （2）方法一：平面平面，平面平面，平面平面.以为原点，以的长度为单位长度，以的方向分别为轴，轴，的正方向建立空间直角坐标系，如图，则.平面.为中点，由题知设，，，又在中，，所以.方法二：平面.设，由知，.平面平面，平面平面平面，平面，又平面，又，平面.（3）由（2）知，平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则令则，，平面与平面所成角的余弦值为.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 17.（15分）设函数，（e为自然对数的底数）（1）若函数有两个极值点，求a的取值范围；（2）设函数，其中为的导函数，求证：的极小值不大于1.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）求得，根据有两个极值点，转化为与的图象的交点有两个，利用导数求得函数的单调性与极值，即可求解.（2）根据题意得到，求得，得到，进而求得的单调性与极值，再分和两种情况，结合函数的单调性和极值的运算，即可求解.【详解】（1）由题意，函数，可得，因为有两个极值点，即方程在有两个不同的解，即与的图象的交点有两个.由，当时，，单调递增；当时，，单调递减，有极大值.又因为时，；时，，当时，即时有两个解，所以（2）由函数可得，则，所以在单调递增，若时，当时，.在上单调递减；当时，.在上单调递增；所以在处取得极小值若，令，则；令，则所以在，有唯一解；若，令，则，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 令，则，所以在，有唯一解；所以在有唯一解，当时，，在单调递减；当时，，在单调递增；所以，令，则，由，可得，当时，，在单调递增；当时，，在单调递减，所以，即的极小值不大于1.18.（17分）已知首项为正数的等差数列的公差为2，前项和为，满足．(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前项和．【答案】(1)(2)当为偶数时，，当为奇数时，.【分析】（1）根据等差数列前和公式即可求出，则得到其通项公式；（2）分为奇数和偶数讨论并结合裂项求和即可.【详解】（1）由题意得是公差为2的等差数列，且，即，又因为，所以，所以数列的通项公式.（2）由（1）知，当为偶数时，，当为奇数时，，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 经检验，时，满足，综上，当为偶数时，，当为奇数时，.19.（17分）设抛物线，过焦点的直线与抛物线交于点，.当直线垂直于轴时，.  (1)求抛物线的标准方程.(2)已知点，直线，分别与抛物线交于点，.①求证：直线过定点；②求与面积之和的最小值.【答案】(1)(2)①证明见解析；②.【分析】（1）利用弦长求解p，即可求解抛物线方程；（2）（i）设直线方程，与抛物线联立，韦达定理找到坐标关系，表示出直线方程，即可求出定点；（ii）利用面积分割法求出两个三角形面积表达式，然后利用二次函数求最值即可.【详解】（1）由题意，当直线垂直于轴时，，代入抛物线方程得，则，所以，即，所以抛物线.（2）（i）设，，直线，与抛物线联立，得，因此，.设直线，与抛物线联立，得，因此，，则.同理可得.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 所以.因此直线，由对称性知，定点在轴上，令得，，所以直线过定点.（ii）因为，，所以，当且仅当时取到最小值.信息必刷卷02（江苏专用）（新结构高考专用）参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．12345678CBABCDCC二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．ABD10．AD11．BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．/120°13．0.1/14．D四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 15．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角函数的恒等变换化简函数，再根据周期求出的值,利用整体法即可求解对称轴.（2）把已知的等式变形并利用正弦定理可得，故，故，根据正弦函数的定义域和值域求出的取值范围．【详解】（1）．，．故令，解得，故对称轴方程为：（2）由得，．，，,．，，，16【答案】(1)证明见解析(2)(3)学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【分析】（1）根据三角形全等，可证明线线垂直，进而可得线面垂直，进而可求证，（2）建立空间直角坐标系，利用向量即可求解.或者利用空间垂直关系的转化即可结合三角形的边角关系求解.（3）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解.【详解】（1）证明：过作直线于，连接.由题知，，即，又平面,平面，又平面，，即（2）方法一：平面平面，平面平面，平面平面.以为原点，以的长度为单位长度，以的方向分别为轴，轴，的正方向建立空间直角坐标系，如图，则.平面.为中点，由题知设，，，又在中，，所以.方法二：平面.设，由知，.平面平面，平面平面平面，平面，又平面，又，平面.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 （3）由（2）知，平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则令则，，平面与平面所成角的余弦值为.17.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）求得，根据有两个极值点，转化为与的图象的交点有两个，利用导数求得函数的单调性与极值，即可求解.（2）根据题意得到，求得，得到，进而求得的单调性与极值，再分和两种情况，结合函数的单调性和极值的运算，即可求解.【详解】（1）由题意，函数，可得，因为有两个极值点，即方程在有两个不同的解，即与的图象的交点有两个.由，当时，，单调递增；当时，，单调递减，有极大值.又因为时，；时，，当时，即时有两个解，所以（2）由函数可得，则，所以在单调递增，若时，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 当时，.在上单调递减；当时，.在上单调递增；所以在处取得极小值若，令，则；令，则所以在，有唯一解；若，令，则，令，则，所以在，有唯一解；所以在有唯一解，当时，，在单调递减；当时，，在单调递增；所以，令，则，由，可得，当时，，在单调递增；当时，，在单调递减，所以，即的极小值不大于1.18.【答案】(1)(2)当为偶数时，，当为奇数时，.【分析】（1）根据等差数列前和公式即可求出，则得到其通项公式；（2）分为奇数和偶数讨论并结合裂项求和即可.【详解】（1）由题意得是公差为2的等差数列，且，即，又因为，所以，所以数列的通项公式.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 （2）由（1）知，当为偶数时，，当为奇数时，，经检验，时，满足，综上，当为偶数时，，当为奇数时，.19.【答案】(1)(2)①证明见解析；②.【分析】（1）利用弦长求解p，即可求解抛物线方程；（2）（i）设直线方程，与抛物线联立，韦达定理找到坐标关系，表示出直线方程，即可求出定点；（ii）利用面积分割法求出两个三角形面积表达式，然后利用二次函数求最值即可.【详解】（1）由题意，当直线垂直于轴时，，代入抛物线方程得，则，所以，即，所以抛物线.（2）（i）设，，直线，与抛物线联立，得，因此，.设直线，与抛物线联立，得，因此，，则.同理可得.所以.因此直线，由对称性知，定点在轴上，令得，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 ，所以直线过定点.（ii）因为，，所以，当且仅当时取到最小值.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司