浙江省杭州学军中学紫金港校区2023-2024学年高二上学期期末数学试题 Word版含解析.docx

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杭州学军中学2023学年高二第一学期期末考试数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）1.已知复数z满足，则（）A.2B.4C.D.【答案】C【解析】【分析】由条件求得，即可计算复数模.【详解】∵，，∴，，∴.故选：C.2.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求函数的定义域得出集合，求函数的值域得出集合，再求出即可.【详解】,,所以.故选：A.3.小港、小海两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小港每次购买50元葡萄，小海每次购买3千克葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则（）A.小港两次购买葡萄的平均价格比小海低B.小海两次购买葡萄的平均价格比小港低C.小港与小海两次购买葡萄的平均价格一样D.丙次购买葡萄的平均价格无法比较【答案】A【解析】【分析】根据题意计算出两人两次购买葡萄的平均价格，作差比较大小即可. 【详解】设两次葡萄单价分别为元/千克和元/千克，且，则小海两次均购买3千克葡萄，平均价格为元/千克，小港两次均购买50元葡萄，平均价格为元．因为，所以小港两次购买葡萄的平均价格比小海低．故选：A.4.已知直线与曲线相切，则实数k的值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】首先设切点为，利用导数的几何意义得到，从而得到直线方程为，再将切点代入直线求解即可.【详解】设切点为，，则，所以直线方程为.又因为在直线上，所以，解得.所以.故选：C5.已知向量，若与共线，则向量在向量上的投影向量为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据与共线，可得，求得，再利用向量在向量上 投影向量为，计算即可得解.【详解】由向量，，若与共线，则，所以，则，所以向量在向量上的投影向量为：，故选：D.6.已知数列为等比数列，公比为q，前n项和为，则“”是“数列是单调递增数列”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据等比数列的定义和数列单调的定义求解即可.【详解】因为数列为等比数列，公比为q，前n项和为，若，即，则，即数列是单调递增数列；若数列是单调递增数列，则，所以；所以“”是“数列是单调递增数列”的充要条件.故选：C.7.在三棱锥中，，且，则三棱锥外接球的表面积为（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据题意，由条件确定球心的位置，即可得到球的半径，再由球的表面积公式，即可得到结果.【详解】由题意可得，点在底面上射影是的中点，是三角形的外心，令球心为，因为，且，所以，又因为，所以，在直角三角形中，，即，解得，则三棱锥外接球的表面积为.故选：B8.设点，抛物线上的点P到y轴的距离为d．若的最小值为1，则（）A.6B.4C.3D.2【答案】C【解析】【分析】结合抛物线的定义得到关于的方程，解出即可.【详解】抛物线，则焦点，准线，最小时，即最小，根据抛物线的定义，，所以只需求的最小值即可，当为线段与抛物线交点时，最小，且最小值为，解得.故选：C. 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）9.下列表述正确的是（）A.如果，那么B.如果，那么C.如果，那么D.如果，那么【答案】BCD【解析】【分析】根据不等式的基本性质判断ABC，利用作差法判断D即可.【详解】A：由，得，若，，得，则，即；若，，得，则不成立，故A错误；B：若，则，故B正确；C：由，，得，则，所以，即，故C正确；D：若，则，所以，即，故D正确.故选：BCD10.已知双曲线的两个焦点分别为，且满足条件，可以解得双曲线的方程为，则条件可以是（）A.实轴长为4B.双曲线为等轴双曲线C.离心率为D.渐近线方程为【答案】ABD 【解析】【分析】根据双曲线实轴、离心率、渐近线方程等性质逐项分析即可.【详解】设该双曲线标准方程为，则.对于A选项，若实轴长为4，则，，符合题意；对于B选项，若该双曲线为等轴双曲线，则，又，，可解得，符合题意；对于C选项，由双曲线的离心率大于1知，不合题意；对于D选项，若渐近线方程为，则，结合，可解得，符合题意，故选：ABD.11.如图，在棱长为4的正方体中，E，F，G分别为棱的中点，点P为线段上的动点（包含端点），则（）A.存在点P，使得平面B.对任意点P，平面平面C.两条异面直线和所成的角为D.点到直线的距离为4【答案】ABD【解析】【分析】A选项当与重合时，用线面平行可得出，进而可得；B选项证明平面即可得出；选项C由正方体的性质和画图直接得出；选项D由余弦定理确定，之后求距离即可. 【详解】A：当与重合时，由题可知，，四边形为平行四边形，故，又平面，平面，则平面，故A正确；B：连接，平面，平面，，又，故，又平面，平面，又平面，故对任意点P，平面平面，故B正确；C：由正方体的结构特征可知，异面直线和所成的角即为和所成的角，由图可知为，故C错误； D：由正方体的特征可得，，所以点到直线的距离，故D正确；故选：ABD.12.设定义在上的函数的导函数分别为，若且为偶函数，则下列说法中正确的是（）A.B.C.的图象关于对称D.函数为周期函数，且周期为4【答案】AC【解析】【分析】对于A，根据为偶函数求出的表达式，然后给的表达式两边求导，然后取特值求解；对于D，根据和为偶函数找到的关系，求出周期；B：根据的性质，取特值求解；C：根据已知推导出.【详解】A：因为为偶函数，所以，所以，令，则，所以，故A正确；D：因为，所以，用代替原来的得，①又为偶函数，所以，用代替原来的得：，② 由①②得，③又，用代替原来的得：，④由③④联立得：，⑤用代替原来的得：，⑥⑥减去⑤得：，故为周期函数，且周期为，用代替原来的得：，⑦因为，用代替原来的得：，⑧因为，用代替原来的得：，⑨由⑦⑧⑨得：，用代替原来的得：，所以为周期函数，且周期为，故D错误；B：因为常函数为满足题意得一组解，但，故B错误；C：由，则，即，又，则，即，故C正确；故选：AC.【点睛】关键点点睛：对于抽象函数可任意赋值（符合已知条件）得到函数的周期，再根据周期性和奇偶性取特值代入求解.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.幸福指数是衡量人们对自身生存和发展状况的感受和体验，即人们的幸福感的一种指数.某机构从某社区随机调查了12人，得到他们的幸福指数（满分：10分）分别是，，，，，，，，，，，，则这组数据的下四分位数（也称第一四分位数）是________.【答案】【解析】【分析】由样本数据结合下四分位数的定义求解即可.【详解】将样本数据按从小到大排列可得，，，，又， 所以样本数据的下四分位数为，故答案为：.14.已知有100个半径互不相等的同心圆，其中最小圆的半径为1，在每相邻的两个圆中，小圆的切线被大圆截得的弦长都为2，则这100个圆中最大圆的半径是_____．【答案】10【解析】【分析】设这100个圆半径从小到大依次为，得且，则是以1为首项，1为公差的等差数列，结合等差数列的通项公式计算即可求解.【详解】设这100个圆的半径从小到大依次为，则，又每相邻的两个圆中，小圆的切线被大圆截得的弦长都为2，所以，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，，所以，所以，由，解得.故答案为：1015.设椭圆的右焦点为，点在椭圆外，、在椭圆上，且是线段的中点.若直线、的斜率之积为，则椭圆的离心率为______.【答案】##【解析】【分析】取线段的中点，连接，推导出，可得出，利用点差法可求得的值，由此可求得椭圆的离心率的值.【详解】如下图所示： 由题意可知，点为椭圆的左焦点，因为点、，易知点为线段的中点，又因为为的中点，所以，，取线段的中点，连接，则，所以，，所以，，故，设点、，则点，所以，，两个等式作差可得，可得，所以，，所以，椭圆的离心率为.故答案为：.16.已知数列满足，若，则_____．【答案】【解析】【分析】用累乘法，结合余弦函数的周期性求解. 【详解】因为的最小正周期为，且余，由已知可得，故答案为：.【点睛】关键点点睛：数列中带有三角函数且求数列中较大的某一项时，通常想到用周期函数的性质求解.四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.记的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．（1）求角C；（2）若的周长为20，面积为，求边c．【答案】17.18.7【解析】【分析】（1）根据正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式和同角的三角函数关系化简，即可求解；（2）根据三角形的面积公式可得，由余弦定理计算可得，结合计算即可求解.小问1详解】，由正弦定理，得，，，又，得，所以，即，由，解得；【小问2详解】由（1），得，则，由余弦定理，得，即， 得.又，所以，即，即，解得.18.已知A、B是抛物线上异于顶点的两个动点，直线与x轴交于P．（1）若，求P的坐标；（2）若P为抛物线的焦点，且弦的长等于6，求的面积．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）设直线的方程为，与抛物线方程联立，根据韦达定理及平面向量数量积公式可求得t的值，从而求出P的坐标；（2）设直线的方程为，与抛物线方程联立，根据韦达定理及弦长公式可求得的值，再求出点到直线的距离，从而求出的面积.【小问1详解】因为直线不垂直于y轴，设直线的方程为，，，由消去x得，，所以，，，由，得，解得，满足，所以直线方程为，令得，即P的坐标.【小问2详解】由题意知抛物线的焦点为，因为直线不垂直于y轴，设直线的方程为，点，由消去x得，， 所以，，，所以，解得，点到直线的距离为，所以,故的面积为.19.设a为实数，函数．（1）求的极值；（2）对于，都有，试求实数a的取值范围．【答案】（1）极大值为，极小值为（2）【解析】【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，由此可求得函数的极大值和极小值；（2）分析可知，利用导数求得函数在上的最小值，求出函数在上的最大值，可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.【小问1详解】函数的定义域为，，令，可得或，列表如下： 递增极大值递减极小值递增故函数的极大值为，极小值为.【小问2详解】对于，，都有，则.由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增，故当时，，因为，且，则在上恒成立，故函数在上单调递增，故，由题意可得，故.20.设正项等比数列的公比为，且，.令，记为数列的前项积，为数列的前项和.（1）若，，求的通项公式；（2）若为等差数列，且，求.【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）根据等比数列的性质求得，结合已知化简得，解得或，利用对数运算求得，即可求得通项公式；（2）利用等差数列的性质及对数运算得或，分类讨论建立方程求解即可.【小问1详解】因为，所以，解得，所以， 又，所以，整理化简得，解得或，所以或，又，所以或（舍去），所以，所以.【小问2详解】因为为等差数列，所以，即，解得或，所以或，所以或，①当时，，易知是等差数列，所以，，又，所以，所以，解得；②当时，，易知是等差数列，所以，，又，所以，解得，舍去；综上，.21.如图，在三棱锥中，平面平面，且，，点在线段上，点在线段上.（1）求证：； （2）若平面，求的值；（3）在（2）的条件下，求平面与平面所成角的余弦值.【答案】21.证明见解析22.23.【解析】【分析】（1）根据三角形全等，可证明线线垂直，进而可得线面垂直，进而可求证，（2）建立空间直角坐标系，利用向量即可求解.或者利用空间垂直关系的转化即可结合三角形的边角关系求解.（3）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解.【小问1详解】证明：过作直线于，连接.由题知，，即，又平面,平面，又平面，，即【小问2详解】方法一：平面平面，平面平面，平面平面.以为原点，以的长度为单位长度，以的方向分别为轴，轴，的正方向建立空间直角坐标系，如图，则.平面. 为中点，由题知设，，，又在中，，所以.方法二：平面.设，由知，.平面平面，平面平面平面，平面，又平面，又，平面.【小问3详解】由（2）知，平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则令则，，平面与平面所成角的余弦值为.22.已知椭圆过点，焦距为．过作直线l与椭圆交于C、D两点，直线分别与直线交于E、F．（1）求椭圆的标准方程；（2）记直线的斜率分别为，证明是定值； （3）是否存在实数，使恒成立．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）证明见解析（3）存在；【解析】【分析】（1）利用点在椭圆上和焦距列方程组解出即可；（2）设出两点坐标，表示出斜率，并设出直线方程与椭圆联立，消去，表示出韦达定理，代入的表达式中化简即可；（3）解方程组分别求出直线的交点坐标，再求出到直线的距离，结合已知面积关系表示出两三角面积的方程，再利用代入化简即可.【小问1详解】因为椭圆过点，焦距为，所以，所以椭圆的标准方程为.【小问2详解】证明：设，直线的斜率一定存在，设为，则，消去得到，， ，，故是定值.【小问3详解】设存在实数，使恒成立，由，，设到直线的距离为，到直线的距离为，则，①因为，所以，②把①代入②并化简可得，由上问可知，代入上式可得，所以. 【点睛】关键点点睛：①求曲线的标准方程常用待定系数法和曲线的性质列方程组求解；②证明斜率之和为定值时，首先用曲线上的点表示出斜率，再直曲联立，利用韦达定理化简斜率之和的表达式；