安徽省芜湖市安徽师大附中2023-2024学年高二下学期第一次学情检测（2月）数学试题 Word版含解析.docx

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2023——2024学年高二下学期第一次学情检测数学试题考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.在复平面内，复数对应点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】【分析】利用复数的乘法求出复数，再确定复数对应的点所在的象限.【详解】因为，故对应点在第二象限.故选：B2.已知样本数据的均值为3，则样本数据的均值为（）A.B.6C.7D.12【答案】C【解析】【分析】由平均数的计算公式求解即可.【详解】因为样本数据的均值为，所求样本数据的均值为.故选：C.3.已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则的值为（）A.1B.3C.5D.7【答案】A 【解析】【分析】由题意可得，再根据等差数列的通项计算即可.【详解】∵成等比数列，∴，则，可得.故选：A.4.已知幂函数为偶函数，则（）A.1B.C.3D.【答案】D【解析】【分析】根据幂函数的概念和偶函数的性质求参数的值.【详解】因为为幂函数，所以得或，又因为是偶函数，所以.故选：D5.直线与抛物线交于两点，则（）A.6B.8C.10D.12【答案】B【解析】【分析】联立直线与抛物线的方程，由韦达定理可得，又因为抛物线的焦点在直线上，由抛物线的焦半径公式求解即可.【详解】联立，消去可得，设，，所以，又因为抛物线的焦点在直线上，.故选：B. 6.已知且，若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】若满足条件，则每一段上都为增函数，且在分界点处的函数值前一段的函数值不大于后一段的函数值，求解即可.【详解】函数在上单调递增，，，实数的取值范围为，故选：D.7.在空间直角坐标系中，已知，则点到直线的距离是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用空间向量法求出点到直线距离即可.【详解】，，.故选：A.8.如图，过双曲线的右焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线的左支于点.若，则双曲线的离心率为（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意求出的长，再利用双曲线定义和余弦定理求解即可.【详解】取双曲线左焦点为，连接，由与圆相切于点得，，令双曲线的焦距为，则，由得，由双曲线的定义得，，在中，；在中，由余弦定理得，整理得，即，所以，所以双曲线的离心率为.故选：B.【点睛】方法点睛：求解双曲线的离心率的方法如下:(1)定义法：通过已知条件列出方程组，求得的值，根据离心率的定义求解离心率的值； (2)齐次式法：由已知条件得出关于的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；(3)特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.点在圆上，点在圆上，则（）A.圆与圆有4条公切线B.的最大值为C.的最小值为D.最大值为【答案】ACD【解析】【分析】根据题意，由两圆的位置关系即可判断ABC，当与圆相切时最大，即可判断D【详解】因为圆心，半径，圆，即圆心，半径，则，所以两圆外离，所以两圆有四条公切线，正确；，，故错误，C正确：当与圆相切时最大，且，，则，所以最大值为，故正确.故选：ACD10.已知函数，其部分图象如图所示，则下列关于的结论正确的是（） A.B.在区间上单调递减C.的图象关于点对称D.的图象向右平移个单位长度可以得到函数图象【答案】AC【解析】【分析】根据已知条件求得的解析式，再结合三角函数的单调性、对称性、三角函数图象变换等知识确定结论错误的选项.【详解】由图可知，，，将点代入，由于，所以，所以，故A正确：，所以在区间上不单调，故B错误：得的图象关于点对称，故C正确：，故D错误.故选：AC.11.如图，在棱长为2的正方体中，点是线段上的动点.则（） A.与平面相交于点B.C.直线与直线所成角的范围是D.三棱锥的体积为定值是【答案】BCD【解析】【分析】对于选项A，由平面即可判断；对于选项B，由平面即可判断；对于选项C，过点作，则，直线与直线所成角为，由，即可判断选项；对于选项D，平面，由即可得到结果.【详解】对于选项A，因为平面，故错误；对于选项B，因为,且平面，所以平面，又因为平面，，故正确；对于选项C，当点与重合时，直线与直线所成角为；当点与不重合时，过点作交于点G，则，所以直线与直线所成角为，在中， 当点从点运动到时，越来越大，故;综上：直线与直线所成角的范围是，故C正确；对于选项D，因为，平面，平面，所以平面，所以，故正确.故选：BCD.第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.假设，且与相互独立，则________________.【答案】【解析】【分析】根据条件，利用和事件及相互独立事件同时发生的概率公式即可求出结果.【详解】因为，且与相互独立，所以，故答案为：.13.已知椭圆短轴长为4，焦距为，分别是椭圆的左、右焦点，若点为上的任意一点，的最小值为_____________________.【答案】【解析】【分析】根据椭圆定义，，则，利用基本不等式求解即可.【详解】， 当且仅当时等号成立，的最小值为，故答案为：.14.2024央视春晚魔术表演的背景是约瑟夫问题，这是一个经典的数学问题，用数学语言可描述为：将数字顺时针排列在圆周上，首先取走数字2，然后按照顺时针方向，每隔一个数字就取走一个数字，……直到圆周上只剩下一个数字，将这个数字记为.例如时，操作可知，则_____________________.【答案】65【解析】【分析】探索，，，，的关系，确定的值.【详解】由题意，圆周上顺时针排列时，可得，就是这个数中的第个；当圆周上顺时针排列时，第一轮操作将划去所有偶数，留下共个数，它们的第个数是，所以，是这个数中的第个；当圆周上顺时针排列时，第一轮操作将划去所有偶数，留下共个数，它们的第个数是，所以，是这个数中的第个；当圆周上顺时针排列时，第一轮操作将划去所有偶数，留下共个数，它们的第个数是，所以，是这个数中的第个；当圆周上顺时针排列时，第一轮操作将划去所有偶数，留下共个数，它们的第个数是，所以.故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知集合.（1）若，求;（2）若“”是“”充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）根据集合的交集，补集运算即可求解；（2）将充分不必要条件转化为真子集关系，即可列不等式组求解.【小问1详解】当时，，所以，所以或【小问2详解】因为“”是“”充分不必要条件，所以Ü时，，所以；时，，所以，综上，取值范围是16.已知数列的前项和为，若，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）（2） 【解析】【分析】（1）由与的关系求数列的通项公式；（2）利用“错位相减法”求数列前项的和.【小问1详解】当时，.当时，，用代替，可得：两式相减得：，又，所以是以3为首项3为公比的等比数列，所以.【小问2详解】，所以：两式相减得：，所以：.17.如图，在几何体中，底面为边长为2的正方形，平面.（1）证明：平面；（2）求二面角的大小.【答案】（1）证明见解析（2） 【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理和性质定理证明即可；（2）以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，由二面角的向量公式求解即可.【小问1详解】正方形，，又平面，，又，平面，平面【小问2详解】以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系所以，，设为平面的一个法向量，则，即，令，则，所以设为平面的一个法向量，，则，即，令，则，平面法向量为，计算得，所以二面角的大小为.18.已知圆，过定点作与轴不重合的直线交曲线于两点. （1）过点作与直线垂直的直线交曲线于、两点，求四边形面积的最大值；（2）设曲线与轴交于两点，直线与直线相交于点，试讨论点是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由.【答案】（1）（2）点在定直线上，定直线为【解析】【分析】（1）方法一：设点到直线距离分别为，结合弦长公式与基本不等式代入计算，即可得到结果；方法二：设直线，分别表示出，分与讨论，然后结合四边形的面积公式计算，即可得到结果；（2）根据题意，联立直线与圆的方程，结合韦达定理代入计算，即可证明.【小问1详解】法一：令点到直线距离分别为，则，，，当且仅时取到最大值7，法二：令，则，当时，，当且仅当时取到最大值7， 当时，综上，当时取到最大值7，【小问2详解】不妨记，令，，恒成立，，，，，所以点恒在定直线上.19.历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯（公元前375年——325年），大约100年后，阿波罗尼斯更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质：如图甲，从椭圆的一个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线表示与椭圆的切线垂直且过相应切点的直线.已知图乙中，椭圆中心在坐标原点，焦点为，由发出的光线经椭圆两次反射后回到经过的路程为.（1）点是椭圆上除顶点外的任意一点，椭圆在点处的切线为在上的射影满足，利用椭圆的光学性质求椭圆的方程； （2）在:（1）的条件下，设椭圆上顶点为，点为轴上不同于椭圆顶点的点，且，直线分别与椭圆交于点（异于点），，垂足为，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，延长，交于点，利用，求出，进而得到椭圆方程.（2）设直线，联立直线与，结合题干，得到点轨迹，求得的最小值.【小问1详解】由题知，延长，交于点，在中，，则且为中点，在中，，则，，即椭圆方程为.【小问2详解】 由对称性可知直线的斜率不为0，所以可设直线，联立直线与，则，①，②所以，令，得点横坐标，同理可得点横坐标，故，将代入上式整理得：，将②代入得，若，则直线，恒过不合题意；若，则，恒过，因为直线恒过，且与始终有两个交点，又，垂足为，所以点轨迹是以为直径的半圆（不含点，在直线下方部分），圆心，半径为1，所以，当且仅当点在线段上时，