重庆市万州第二高级中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学 Word版含解析.docx

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2023-2024学年万二中高一下期入学考试试题（新结构题型）数学试卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．测试范围：人教A版2019必修第一册全册.第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列结论正确的是（    ）A.B.C.D.若，则【答案】C【解析】【分析】由数集的概念，元素与集合，集合与集合的关系，依次判断各选项即可.【详解】对于A，中不含有任何元素，是任何集合的子集，则，故A错误；对于B，表示有理数集，为无理数，则，故B错误；对于C，表示自然数集，表示整数集，则，故C正确；对于D，，则，故D错误.故选：C2.函数的定义域是（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据对数中真数大于零，分式中分母不等于零列不等式，解不等式即可得到定义域.【详解】由可得，又因为，所以函数的定义域为.故选：C.3.已知不等式的解集为或，则不等式的解集为（）A.B.C.D.或【答案】C【解析】【分析】根据给定的解集求出，再解一元二次不等式即得.【详解】由不等式的解集为或，得是方程的两个根，且，因此，且，解得，不等式化为：，解得，所以不等式为.故选：C4.已知幂函数的图象过点，则下列结论正确的是（　　）A.的定义域是B.在其定义域内为减函数C.是奇函数D.是偶函数【答案】D【解析】【分析】首先将点坐标代入得幂函数表达式进而得其定义域单调性，结合奇偶性的定义即可得解.【详解】由题意设幂函数，则，所以，，其定义域为全体实数，且它在内单调递增，又，所以是偶函数，故ABC错误，D正确.故选：D. 5.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据三角函数解不等式结合绝对值解不等式从而可判断充分性与必要性.【详解】可得，推不出；而可推出，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.6.已知，则的值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】以为整体，利用诱导公式和二倍角的余弦公式运算求解.【详解】∵，故选：D.7.若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】 【分析】要使函数是减函数，须满足求不等式组的解即可.【详解】若函数在上单调递减，则得，故选：C.【点睛】本题主要考查分段函数的单调性，考查函数的性质.8.悬链线指的是一种曲线，如铁塔之间悬垂的电线，横跨深涧的观光索道的电缆等等，这些现象中都有相似的曲线形态，这些曲线在数学上被称为悬链线，悬链线的方程为，其中c为参数，当时，该方程就是双曲余弦函数，类似的我们有双曲正弦函数，下列说法错误的是（）A.B.函数的值域C.，恒成立D.方程有且只有一个实根【答案】C【解析】【分析】直接计算即可判断A；分离常数，再根据指数函数及反比例函数的性质即可判断B；举出反例即可判断C；令，根据函数的单调性结合零点的存在性定理即可判断D.【详解】对于A，，故A正确；对于B，，因为，所以，所以，所以， 所以函数的值域，故B正确；对于C，因为，即，故C错误；对于D，，令，函数为增函数，且，而函数在上为增函数，所以函数是增函数，令，因为函数都是增函数，所以函数是增函数，又，所以函数有唯一零点，且在上，即方程有且只有一个实根，故D正确.故选：C.【点睛】方法点睛：判定函数的零点个数的常用方法：（1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果；（2）数形结合法：先令，将函数的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.以下四个命题，其中是真命题的有（）A.命题“”的否定是“”B.函数的图象中，相邻两条对称轴之间的距离是C.函数且的图象过定点D.若某扇形的周长为6cm，面积为2，圆心角为，则【答案】ACD【解析】【分析】对A：对原命题改量词，否结论，即可求得结果；对B：求得的最小正周期，再求结果即可；对C：根据对数函数恒过的定点，结合解析式，即可求得结果；对D：根据扇形的面积公式，结合已知条件，即可求得结果.【详解】对A：命题“”的否定是“”，故A正确；对B：的最小正周期为，故相邻两条对称轴之间的距离是，B错误；对C：，令，故可得，此时，故其恒过定点，C正确；对D：设扇形的半径为，由题可得，消去可得，解得或，又，故可得，故D正确.故选：ACD.10.若正实数a，b满足，则下列选项中正确的是（）A.有最大值B.有最小值C.的最小值是10D.【答案】AD【解析】【分析】利用可判断A；利用可判断B；展开后再利用基本不等式可判断C，由再利用指数函数的单调性可判断D． 【详解】对于A，∵，且，∴，当且仅当时取到等号，∴，∴有最大值，∴选项A正确；对于B，，∴，当且仅当时取到等号，∴B错误；对于C，，当且仅当即时取到等号，所以C不正确；对于D，∵，∴，∴D正确．故选：AD.11.已知函数，其中，，，是常数，若对任意恒有，则下列判断一定成立的有（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】取特殊值判断A，B，D，结合数量积的性质证明，判断C.【详解】因为，且对任意恒有，所以，A正确；当时，对任意恒有，但，，B错误，D错误；令，则，， ，所以，所以，所以，故，C正确；故选：AC【点睛】对于不等式恒成立问题，常利用一般与特殊的关系，通过取特殊值解决问题.第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数f(x+1)=x2+2x，则的解析式为________.【答案】【解析】【分析】令，则，代入可得的解析式.【详解】解：令，则，，所以，即.故答案为：.13.在平面直角坐标系中，动点在单位圆上沿逆时针方向作匀速圆周运动，点转一周的时间为12秒，若点的初始位置为，则经过秒钟，动点所处的位置的坐标为______．【答案】【解析】【分析】计算出运动秒钟时动点转动角，再利用诱导公式即可得解.【详解】点转一周的时间为秒，则经过秒钟，转了，设点的初始位置坐标为，则， 则经过秒钟，动点所处的位置的坐标为，即，所以经过秒钟，动点所处的位置的坐标为.故答案为：14.对于给定的区间，如果存在一个正的常数，使得都有，且对恒成立，那么称函数为上的“成功函数”.已知函数，若函数是上的“4成功函数”，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】方法一：先分析出为偶函数，为奇函数，所以为偶函数，且在R上单调递增，分，与三种情况，结合函数的单调性和对称性，得到实数的取值范围；方法二：先得到在R上单调递增，进而得到，变形后得到在上恒成立，分和两种情况，结合函数单调性得到答案.【详解】方法一：设，则定义域为R，且，故为偶函数，所以偶函数，定义域为R，且故为奇函数，且在上单调递增， 故在R上单调递增，若，则画出的图象如下：即在上单调递减，在上单调递增，由复合函数单调性满足“同增异减”，可知：在单调递减，在上单调递增，因为为偶函数，所以有在上恒成立，满足4成功函数，若，画出的图象如下：则在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，由复合函数单调性满足“同增异减”，可知：在单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，因为为偶函数， 所以只需任取，使得，由对称性可知，存在，使得，且，故满足，故满足在上为4成功函数，若时，画出的图象如下：则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，由复合函数单调性满足“同增异减”，可知：在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，因为为偶函数，故只需满足任取，使得，由对称性可知：存在，使得，所以要满足，结合，解得：，综上：实数的取值范围是.方法二：定义域为R，且故为奇函数， 由于在上单调递增，故在R上单调递增，由题意得，即，故，即在上恒成立，当时，，由于，故，当时，恒成立，当时，，故，综上，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】结论点睛：复合函数的单调性，先考虑函数的定义域，再拆分为内层函数和外层函数，利用同增异减来判断复合函数的单调性；复合函数的奇偶性，先考虑函数定义域是否关于原点对称，再拆分为内层函数和外层函数，利用“内偶则偶，内奇同外”进行判断，即若内层函数为偶函数，则复合函数为偶函数，若内层函数为奇函数，则复合函数的奇偶性取决于外层函数的奇偶性，若外层函数为奇函数，则复合函数为奇函数，若外层函数为偶函数，则复合函数为偶函数.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知.（1）化简；（2）已知，求的值.【答案】（1）；（2）3.【解析】【分析】（1）利用三角函数的诱导公式化简即得；（2）根据同角关系式结合条件即得. 【小问1详解】.【小问2详解】因为，所以，∴.16.函数.（1）请用五点作图法画出函数在上的图象；（先列表，再画图）（2）设，，当时，试研究函数的零点的情况.【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析【解析】【分析】（1）将表示为分段函数的形式，然后利用列表法画出的图象.（2）由转化为与的公共点个数，对进行分类讨论，由此求得零点的情况.【小问1详解】，按五个关键点列表：00100 03010描点并将它们用光滑曲线连接起来如下图所示：【小问2详解】因为，所以的零点个数等价于与图象交点的个数，设，，则当，即时，有2个零点；当，即时，有1个零点；当，即时，有0个零点.17.已知函数的图象经过点．（1）求的值，判断的单调性并说明理由；（2）若存在，不等式成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；是上的单调递增函数，理由见解析；（2）,【解析】【分析】（1）由函数经过点求的值，得到的解析式，用定义法证明函数的单调性；（2）根据函数的奇偶性和单调性，不等式转化为在,上有解，利用参数分离法结合基本不等式可求出实数的取值范围．【小问1详解】函数经过点， 所以，解得，即，，则是上的单调递增函数，理由如下：任取、x2∈R，且，则，则，所以，即，所以是定义域上的单调递增函数．【小问2详解】因为，故是奇函数且在上单调递增，则不等式等价于，所以，即，即存在,不等式有解，即在,上有解，由,，可得，由对勾函数性质易知：在单调递减，在单调递增，且，故在的最大值为，所以，即所以，即实数的取值范围是,．18.2020年一场突如其来的疫情让亿万中华儿女的心再一次凝结在一起，为控制疫情，让广大发热患者得到及时有效的治疗，武汉市某社区决定临时修建一个医院.医院设计平面图如图所示：矩形中， 米，米，图中区域为诊断区（、分别在和边上），、及区域为治疗区.受诊断区医疗设备的实际尺寸影响，要求的大小为.（1）若按照米的方案修建医院，问诊断区是否符合要求？（2）按照疫情现状，病人仍在不断增加，因此需要治疗区的面积尽可能的大，以便于增加床位，请给出具体的修建方案使得治疗区面积最大，并求出最大值.【答案】（1）不符合要求（2）按照修建，治疗区面积最大，最大值为（平方米）【解析】【分析】(1)依题意求即可判断.(2)设，用表示诊疗区域的面积即可.【小问1详解】当时，，所以因此诊断区不符合要求【小问2详解】设，则， 在中，，在中，，,所以，其中，所以，当且仅当即取等号故按照修建，治疗区面积最大，最大值为（平方米）.19.有如下条件：①对，，2，，均有；②对，，2，，均有；③对，，2，3，；若，则均有；④对，，2，3，；若，则均有.（1）设函数，，请写出该函数满足的所有条件序号，并充分说明理由；（2）设，比较函数，，值的大小，并说明理由；（3）设函数，满足条件②，求证：的最大值.（注：导数法不予计分）【答案】（1）选①④，理由见解析（2），理由见解析（3）证明见解析 【解析】【分析】（1）结合正弦函数的单调性判断①②，根据题意推出，，，且，即可判断，判断③；继而讨论和的情况，判断出，即可判断④；（2）构造时，在上单调递减，在上递增，利用函数单调性，即可比较大小；（3）结合正弦函数性质可得在上且递减，在上，，再结合函数的单调性，即可证明结论.【小问1详解】选①④理由：由在上单调递增，故①满足，②不满足；由，且，则，，，故，，，且，显然，故③错；由于，则，当，则，故，此时与的距离比与的距离小，且、在两侧，故；当，则，则：；综上，，故④对.所以，满足①④.；【小问2详解】由，则， 而时，在上单调递减，在上递增，所以，故.【小问3详解】由题意知，已知函数在给定区间内递减，在恒成立，当时，的增长率比大，故随着增大，变小；当时，递增，递减，故随增大，变小；综上，在上且递减，而在上，，显然，使在上递减，所以在上递减，则最大值，得证.【点睛】关键点点睛：（1）第（2）问中，要注意构造指数函数以及幂函数，利用它们的单调性比较大小；（2）第（3）中要结合以及的变化趋势判断函数的单调性.