陕西省咸阳市实验中学2022-2023学年高二下学期第二次月考 数学（理） Word版含解析.docx

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咸阳市实验中学2022~2023学年度高二第二学期第二次月考数学（理科）试题注意事项：1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收．第Ⅰ卷（选择题　共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知复数z满足（i为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.的计算结果精确到0.001的近似值是（）A.0.930B.0.931C.0.932D.0.9333.若为正整数，则乘积（）A.B.C.D.4.函数的导函数在区间上的图象大致为（）A.B.C.D.5.用模型拟合一组数，若，，设，得变换后的线性回归方程为，则（） A.12B.C.D.76.一个矩形铁皮的长为，宽为，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，若记小正方形的边长为，小盒子的容积为，则（）A.当时，V取得最小值B.当时，V取得最大值C.当时，V取得最小值D.当时，V取得最大值7.已知,是的导函数，即，…，，，则（）A.B.C.D.8.如图，这是第24届国际数学家大会会标的大致图案，它是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.现给这5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，且每个区域只涂一种颜色.若有5种颜色可供选择，则恰用4种颜色的概率是（）A.B.C.D.9.一次数学考试共有8道判断题，每道题5分，满分40分．规定正确的画√，错误的画╳．甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如表所示，则m的值为（　　）题号学生12345678得分甲╳√╳√╳╳√╳30乙╳╳√√√╳╳√25丙√╳╳╳√√√╳25丁╳√╳√√╳√√m A.35B.30C.25D.2010.某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（）A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B.该棋手在第二盘与甲比赛，p最大C.该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D.该棋手在第二盘与丙比赛，p最大11.、两组各3人独立的破译某密码，组每个人译出该密码的概率均为，组每个人译出该密码的概率均为，记、两组中译出密码的人数分别为、，且，则（）A，B.，C，D.，12.已知，，满足，，则（）A.B.CD.第Ⅱ卷（非选择题　共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.函数在区间上的平均变化率为______．14.电子设备中电平信号用电压的高与低来表示，高电压信号记为数字1，低电压信号记为数字0，一串由0和1组成的不同排列代表不同的电平信号，所用数字只有0和1，例如001100就是一个电平信号．某电平信号由6个数字构成，已知其中至少有4个0，则满足条件的电平信号种数为______．15.已知直线与曲线相切，切点为，与曲线也相切，切点是，则的值为______．16.骰子通常作为桌上游戏的小道具，最常见的骰子是一个质地均匀的正方体，六个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6．现有一款闯关游戏，共有4关，规则如下：在第关要抛掷骰子n次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于，则算闯过第n关．假定每次闯关互不影响．甲连续挑战前两关并过关的概率为______；若甲直接挑战第3关时，记事件“三次点数之和等于15”，“至少出现一次5点”，则______． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.某中学为了丰富学生课余生活,欲利用每周一下午的自主活动时间,面向本校高二学生开设“厨艺探秘”“盆景栽培”“家庭摄影”“名画鉴赏”四门选修课,由学生自主申报,每人只能报一门,也可以不报．该校高二有两种班型－文科班和理科班（各有2个班）,据调查这4个班中有100人报名参加了此次选修课,报名情况统计如下:厨艺探秘盆景栽培家庭摄影名画鉴赏文科1班115146文科2班127114理科1班3193理科2班5162（1）若把“厨艺探秘”“盆景栽培”统称为“劳育课程”,把“家庭摄影”“名画鉴赏”统称为“美育课程”．请根据所给数据,完成下面的2×2列联表:报名班型课程合计“劳育课程”“美育课程”文科班理科班合计（2）根据（1）列联表中所填数据,判断是否有99%的把握认为课程的选择与班型有关．附:．0.500.400250.150.100.050.0250.01000.0050.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.63577.879 18.已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，求函数在区间上的最值．19.为了弘扬中华优秀传统文化，加强对学生的美育教育，某校开展了传统艺术书画知识趣味竞赛活动.一共3题，答题规则如下，每队2人，其中1人先答题，若回答正确得10分，若回答错误，则另一人可补答，补答正确也得10分，得分后此队继续按同样方式答下一题；若2人都回答错误，则得0分且不进入下一题，答题结束.已知第一队含有甲、乙两名队员，其中甲答对每道题目的概率为，乙答对每道题目的概率为，每道题都是甲先回答，且两人每道题目是否回答正确相互独立.甲乙两人回答正确与否也互相独立.（1）求第一队答对第1题的概率；（2）记为第一队获得的总分，求随机变量的分布列和数学期望.20.如图是某机构统计的某地区2016年至2022年生活垃圾无害化处理量y（单位：万吨）的折线图．注：年份代码1-7分别对应年份2016-2022．（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2024年该地区生活垃圾无害化处理量．参考数据：，，，，．参考公式：相关系数，当 时认为两个变量有很强的线性相关关系；回归方程中斜率和截距的最小乘估计公式分别为，．21.已知函数．（1）证明：当时，；（2）若，，求函数的零点个数．22.已知（1）当时，求在处的切线方程；（2）讨论函数极值点的个数；（3）当时，恒成立，求的取值范围. 咸阳市实验中学2022~2023学年度第二学期第二次月考高二数学（理科）试题注意事项：1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收．第Ⅰ卷（选择题　共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知复数z满足（i为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】【分析】先利用复数的除法求解出，然后由共轭复数求出，再结合复数的几何意义从而可求解.【详解】由题意知，所以，则在复平面内对应的点位于第二象限，故B正确.故选：B.2.的计算结果精确到0.001的近似值是（）A.0.930B.0.931C.0.932D.0.933【答案】C【解析】【分析】由二项式定理求解【详解】.故选：C 3.若为正整数，则乘积（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】直接由排列数的公式得解.【详解】由题得，所以乘积.故选：D4.函数的导函数在区间上的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用函数奇偶性，特殊点的函数值排除求解即可.【详解】易得，而，故，故是奇函数，排除A,D，而，排除B，故C正确.故选：C5.用模型拟合一组数，若，，设，得变换后的线性回归方程为，则（）A.12B.C.D.7【答案】B【解析】 【分析】由已知，可根据，先计算出，然后把样本中心点带入线性回归方程为中计算出，从而得到线性回归方程，然后将方程化为指数形式，通过待定系数法分别对应出、的值，即可完成求解.【详解】由已知，，所以，，，所以，由题意，满足线性回归方程为，所以，所以，此时线性回归方程为，即，可将此式子化为指数形式，即为，因为模型为模型，所以，，所以.故选：B.6.一个矩形铁皮的长为，宽为，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，若记小正方形的边长为，小盒子的容积为，则（）A.当时，V取得最小值B.当时，V取得最大值C.当时，V取得最小值D.当时，V取得最大值【答案】B【解析】【分析】求出小盒子的容积，通过求导判断函数的极值情况即可求解.【详解】小盒子容积为，则，令，解得或（舍），当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得极大值也是最大值，无极小值，故B正确.故选：B.7.已知,是的导函数，即，…，，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据已知条件，结合导数的求导法则，推出是以4为周期的函数，即可求解．【详解】，则，，，，故是以4为周期的函数，故选：A8.如图，这是第24届国际数学家大会会标的大致图案，它是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.现给这5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，且每个区域只涂一种颜色.若有5种颜色可供选择，则恰用4种颜色的概率是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】 【分析】先求用5种颜色任意涂色的方法总数，再求恰好用完4种颜色涂色的方法总数，最后按照古典概型求概率即可.【详解】若按要求用5种颜色任意涂色：先涂中间块，有5种选择，再涂上块，有4种选择.再涂下块，若下块与上块涂相同颜色，则左块和右块均有3种选择；若下块与上块涂不同颜色，则下块有3种选择，左块和右块均有2种选择.则共有种方法.若恰只用其中4种颜色涂色：先在5种颜色中任选4种颜色，有种选择.先涂中间块，有4种选择，再涂上块，有3种选择.再涂下块，若下块与上块涂相同颜色，则左块有2种选择，为恰好用尽4种颜色，则右块只有1种选择；若下块与上块涂不同颜色，则下块有2种选择，左块和右块均只有1种选择.则共有种方法，故恰用4种颜色的概率是.故选：C.9.一次数学考试共有8道判断题，每道题5分，满分40分．规定正确的画√，错误的画╳．甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如表所示，则m的值为（　　）题号学生12345678得分甲╳√╳√╳╳√╳30乙╳╳√√√╳╳√25丙√╳╳╳√√√╳25丁╳√╳√√╳√√mA.35B.30C.25D.20【答案】B【解析】 【分析】通过分析甲、乙、丙三人的答案以及得分情况，推理得出这8道判断的答案，从而可得结果.【详解】因为乙、丙第2，5题答案相同，且总得分相同，所以第2，5两题答案正确，又因为甲得分30分即甲错两题且第2题、第5题答案均与乙丙不同，故其余6题答案均正确，故而这8道判断的答案分别是：╳╳╳√√╳√╳，对比丁的答案，可知其2、8两题错误，故得分m＝6×5＝30，故选：B.10.某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（）A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B.该棋手在第二盘与甲比赛，p最大C.该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D.该棋手在第二盘与丙比赛，p最大【答案】D【解析】【分析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率；该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率；该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两盘的概率.并对三者进行比较即可解决【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为，则此时连胜两盘的概率为则；记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为，则记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为则则 即，，则该棋手在第二盘与丙比赛，最大.选项D判断正确；选项BC判断错误；与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误.故选：D11.、两组各3人独立的破译某密码，组每个人译出该密码的概率均为，组每个人译出该密码的概率均为，记、两组中译出密码的人数分别为、，且，则（）A.，B.，C.，D.，【答案】B【解析】【分析】由题意分析，均服从二项分布，利用二项分布的均值和方差公式直接求得.【详解】由题意可知：服从二项分布，所以.同理：服从二项分布，所以.因为，所以，所以.对于二次函数，对称轴，所以在上函数单调递减，所以当时，有，即.故选：B12.已知，，满足，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】 【分析】先根据题意以及对数函数性质可以判断出，然后构造函数，求导后判断函数的单调性即可对B、D判断；构造函数，求导后判断函数的单调性即可对A、C判断.【详解】又，，，若，则不满足条件，若、时，，不满足条件当、时，成立；又函数的图像恒在上方，设，，，对B、D：构造函数，，令，（），且在定义域内单调递增，故因此可知，时单调递增，即，故B错误；故D正确.对A、C：构造函数，，所以，令，则在时恒成立，所以区间上单调递减，且，，所以存在，使，当，，当，，所以在区间上单调递增，在上单调递减，即在区间上不单调，所以，无法比较大小，故A、C错误；故选：D. 第Ⅱ卷（非选择题　共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.函数在区间上的平均变化率为______．【答案】【解析】【分析】根据平均变化率公式及对数的运算法则计算可求解.【详解】在区间上的平均变化率为.故答案为：.14.电子设备中电平信号用电压的高与低来表示，高电压信号记为数字1，低电压信号记为数字0，一串由0和1组成的不同排列代表不同的电平信号，所用数字只有0和1，例如001100就是一个电平信号．某电平信号由6个数字构成，已知其中至少有4个0，则满足条件的电平信号种数为______．【答案】22【解析】【分析】依据题意确定有类，再依据分类加法计数原理求解即可.【详解】依据题意，办法有类，若6个数字中有个0，故有种，若6个数字中有个0，故有种，若6个数字中有个0，故有种，由分类加法计数原理得共有种.故选：2215.已知直线与曲线相切，切点为，与曲线也相切，切点是，则的值为______．【答案】1【解析】【分析】根据导数求出切线的斜率，得到切线方程，根据两切线相同列出等式即可得解.【详解】设直线与曲线相切于，又，所以直线的斜率为，则处的切线方程为，即；直线与曲线相切于，， 可得切线方程为，即，因为直线与两条曲线都相切，所以两条切线相同，则且，则，即可得，解得，故答案为：.16.骰子通常作为桌上游戏的小道具，最常见的骰子是一个质地均匀的正方体，六个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6．现有一款闯关游戏，共有4关，规则如下：在第关要抛掷骰子n次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于，则算闯过第n关．假定每次闯关互不影响．甲连续挑战前两关并过关的概率为______；若甲直接挑战第3关时，记事件“三次点数之和等于15”，“至少出现一次5点”，则______．【答案】①.②.##0.7【解析】【分析】利用独立事件乘法公式结合条件概率公式求解即可.【详解】闯第1关时，，且基本事件为6，故概率为，闯第2关时，，且基本事件为，故通过概率为，因每次闯关互不影响，则两个事件相互独立，故由独立事件乘法公式得概率为；而抛次的基本事件为，事件包含共7个基本事件，故，而满足的有共10个基本事件，故，由条件概率公式得.故答案为：；三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.某中学为了丰富学生的课余生活,欲利用每周一下午的自主活动时间,面向本校高二学生开设“ 厨艺探秘”“盆景栽培”“家庭摄影”“名画鉴赏”四门选修课,由学生自主申报,每人只能报一门,也可以不报．该校高二有两种班型－文科班和理科班（各有2个班）,据调查这4个班中有100人报名参加了此次选修课,报名情况统计如下:厨艺探秘盆景栽培家庭摄影名画鉴赏文科1班115146文科2班127114理科1班3193理科2班5162（1）若把“厨艺探秘”“盆景栽培”统称为“劳育课程”,把“家庭摄影”“名画鉴赏”统称为“美育课程”．请根据所给数据,完成下面的2×2列联表:报名班型课程合计“劳育课程”“美育课程”文科班理科班合计（2）根据（1）列联表中所填数据,判断是否有99%的把握认为课程的选择与班型有关．附:．0.500.400.250.150.100.050.0250.01000.0050.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.63577.879【答案】（1）列联表见解析（2）没有99%的把握认为“劳育课程”“美育课程”的选择与文理科有关．【解析】 【分析】补全列联表,再算出的值与6.635进行比较即可得出结论.【小问1详解】由题意,列联表如下:报名班型课程合计“劳育课程”“美育课程”文科班353570理科班102030合计4555100【小问2详解】假设:“劳育课程”“美育课程”的选择与文理科无关.∵,∴根据小概率值的独立性检验,可以推断不成立,即没有99%的把握认为“劳育课程”“美育课程”的选择与文理科有关．18.已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，求函数在区间上的最值．【答案】（1）答案见解析（2）最小值为，最大值为【解析】【分析】（1）根据条件得到，分，和三种情况讨论导函数的符号，即可得出结论；（2）求出函数的导函数，根据导函数的符号求出函数的单调区间，再根据函数的单调性即可求得函数在区间上的最值.【小问1详解】因为，所以，①当时，恒成立，此时在R上单调递增； ②当时，由，解得或，由，得到，此时在，上单调递增，在上单调递减；③当时，由，解得或，由，得到，此时在，上单调递增，在上单调递减．【小问2详解】当时，，则，由，得到或，所以在上单调递减，在上单调递增．又，，，所以当时，函数在上的最小值为0，最大值为5．19.为了弘扬中华优秀传统文化，加强对学生的美育教育，某校开展了传统艺术书画知识趣味竞赛活动.一共3题，答题规则如下，每队2人，其中1人先答题，若回答正确得10分，若回答错误，则另一人可补答，补答正确也得10分，得分后此队继续按同样方式答下一题；若2人都回答错误，则得0分且不进入下一题，答题结束.已知第一队含有甲、乙两名队员，其中甲答对每道题目的概率为，乙答对每道题目的概率为，每道题都是甲先回答，且两人每道题目是否回答正确相互独立.甲乙两人回答正确与否也互相独立.（1）求第一队答对第1题的概率；（2）记为第一队获得的总分，求随机变量的分布列和数学期望.【答案】（1）（2）分布列见解析，数学期望为【解析】【分析】（1）根据题意可知答对第一题分为两种情况：甲先答对或甲先答错乙补答对，结合独立事件的乘法公式即可求解；（2）根据题意可得，利用独立事件的乘法公式求出对应的概率，进而求解. 【小问1详解】设甲、乙答对每题的事件为、，则，所以，答对第一题分两种情况：甲先答对，甲先答错乙补答对，所以答对第一题的概率为.【小问2详解】由题意得，，，，，.所以的分布列为：X0123P数学期望为.20.如图是某机构统计的某地区2016年至2022年生活垃圾无害化处理量y（单位：万吨）的折线图．注：年份代码1-7分别对应年份2016-2022． （1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2024年该地区生活垃圾无害化处理量．参考数据：，，，，．参考公式：相关系数，当时认为两个变量有很强的线性相关关系；回归方程中斜率和截距的最小乘估计公式分别为，．【答案】（1）答案见解析（2），1.82万吨．【解析】【分析】（1）将数据代入公式，计算出，得到结论；（2）计算出，求出线性回归方程，代入计算预测2024年该地区生活垃圾无害化处理量.【小问1详解】，，，，，，又，，y与t有很强的线性相关关系，可以用线性回归模型拟合y与t的关系．【小问2详解】由（1）得， 又，，y关于t的回归方程为．，将2024对应的代入回归方程得：，预测2024年该地区生活垃圾无害化处理量将约万吨．21.已知函数．（1）证明：当时，；（2）若，，求函数的零点个数．【答案】（1）证明见解析（2）有且仅有一个零点．【解析】【分析】（1）构造函数证明不等式即可.（2）求导得到单调性，结合零点存在性定理证明即可.【小问1详解】当时，等价于．设，当时，，单调递增，故，即，即．当时，．【小问2详解】定义域为，．若，当或时，；当时，，故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．易知，函数在上没有零点．，，，， 当满足且时，由上问可知，函数在上有一个零点．综上，有且仅有一个零点．22.已知（1）当时，求在处的切线方程；（2）讨论函数极值点的个数；（3）当时，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）（2）答案见解析（3）【解析】【分析】（1）由函数解析式求，利用导数几何意义求切线斜率，利用点斜式求切线方程；（2）讨论，利用导数确定函数的单调性，根据极值点的定义求函数的极值点的个数.（3）讨论，利用导数研究函数在上的单调性，根据单调性确定函数值的变化规律，结合，确定的取值范围.【小问1详解】当时，，，切点为.所以，所以函数在处的切线，所以切线方程为．即.【小问2详解】函数的定义域为，因为，令，则，因为，令，解得，当时，即在单调递减 当时，即在单调递增因此①当时，，函数单调递增，所以函数无极值点；②当时，因为，即，因此函数在上有唯一零点当时，，因此函数在上有唯一零点，当时，，即，所以函数在上单调递增，当时，，即，所以函数在上单调递减，当时，，即，所以函数在上单调递增，又，所以当时，函数有两个极值点；综上，当时，函数无极值点；当时，函数有两个极值点；【小问3详解】因为，令，则，因为在区间单调递增，又，①当时，，所以在上单调递增，所以，即，在上单调递增，又，所以，符合题意．②当时，令，解得，当时，，所以在上单调递减，，在上单调递减，所以时，，不符合题意，所以的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：(1)可导函数在点处取得极值的充要条件是，且在左侧与右侧的符号不同．(2)若在内有极值，那么在内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减函数没有极值．