湖南省衡阳市2023-2024学年高三上学期1月期末联考试题 数学 Word版含解析.docx

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2024届高三统一考试试题数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（）A.B.C.D.2.下列函数的最小正周期为，且在上单调递减的是（）A.B.C.D.3.某旅游团计划去湖南旅游，该旅游团从长沙､衡阳､郴州､株洲､益阳这5个城市中选择4个（选择的4个城市按照到达的先后顺序分别记为第一站､第二站､第三站､第四站），且第一站不去株洲，则该旅游团四站的城市安排共有（）A.96种B.84种C.72种D.60种4.在复数范围内，是方程的两个不同的复数根，则的值为（）A.1B.C.2D.或25.星等是衡量天体光度的量.为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕佮斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念，例如：2等星的星等值为2.已知两个天体的星等值和它们对应的亮度满足关系式，则（）A.3等星的亮度是0.5等星亮度的倍B.0.5等星的亮度是3等星亮度的倍C.3等星的亮度是0.5等星亮度的10倍D.0.5等星的亮度是3等星亮度的10倍 6.已知是抛物线上的两点，为的焦点，，点到轴的距离为，则的最小值为（）A.9B.10C.D.7.若函数与图象的交点为，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（）A.4B.6C.D.8.在正三棱台中，，二面角为，则该三棱台的体积为（）A.B.C.D.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知半径为的圆的圆心在直线上，且圆与直线相切，则圆的圆心坐标可能为（）A.B.C.D.10.若三个不同的平面两两相交，且，则交线的位置关系可能是（）A.重合B.相交于一点C.两两平行D.恰有两条交线平行11.已知平行四边形的面积为，且，则（）A.的最小值为2B.当在上的投影向量为时，C.的最小值为D.当在上的投影向量为时，12.已知函数的定义域为，函数是定义在上的奇函数，函数），则必有（） A.B.C.D.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若，则__________.14.已知椭圆的周长，其中分别为椭圆的长半轴长与短半轴长.现有如图所示的椭圆形镜子，其外轮廓是椭圆，且该椭圆的离心率为，长轴长为，则这面镜子的外轮廓的周长约为__________cm.（取3.14，结果精确到整数）15.某中学高一､高二､高三的学生人数比例为，假设该中学高一､高二､高三的学生阅读完《红楼梦》的概率分别为，若从该中学三个年级的学生中随机选取1名学生，则这名学生阅读完《红楼梦》的概率不大于0.233，已知该中学高三的学生阅读完《红楼梦》的概率不低于高一的学生阅读完《红楼梦》的概率，则的取值范围是__________.16.若为正整数，记集合中的整数元素个数为，则数列的前62项和为__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）已知某超市销售的袋装食用盐的质量（单位：）服从正态分布，且0.15.某次该超市称量了120袋食用盐，其总质量为的值恰好等于这120袋食用盐每袋的平均质量（单位：）.（1）若从该超市销售的袋装食用盐中随机选取2袋，设这2袋中质量不小于的袋数为，求的分布列；（2）若从该超市销售的袋装食用盐中随机选取（为正整数）袋，记质量在的袋数为，求满足的的最大值.18.（12分）在平面四边形中，平分. （1）证明：与相等或互补.（2）若，求内切圆的半径.19.（12分）在数列中，且.（1）证明：是等差数列.（2）设的前项和为，证明：.20.（12分）在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，直线与平面交于点.（1）求的长；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.21.（12分）在平面直角坐标系中，，动点满足，点的轨迹记为曲线.（1）求的方程.（2）已知，过点的直线（斜率存在且斜率不为0）与交于两点，直线与交于点，若为圆上的动点，试问是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.22.（12分）已知函数.（1）证明：当时，对恒成立.（2）若存在，使得，比较与的大小，并说明理由. 2024届高三统一考试试题数学参考答案1.A【解析】本题考查集合的交集，考查数学运算的核心素养.因为，所以，所以.2.C【解析】本题考查三角函数的周期，考查数学运算的核心素养.的最小正周期均为，但在上不单调递减，的最小正周期为，且在上单调递减，的最小正周期为.3.A【解析】本题考查排列组合的实际应用，考查应用意识与逻辑推理的核心素养.因为第一站不去株洲，所以第一站可以从长沙､衡阳､郴州､益阳这4个城市中选择1个，共有4种选择，所以该旅游团四站的城市安排共有种.4.D【解析】本题考查复数方程的求解与复数的模，考查数学运算的核心素养.由，得.因为，所以或-1，所以的值为或2.5.D【解析】本题考查对数运算的实际应用，考查应用意识与逻辑推理的核心素养.当时，，则，则，所以0.5等星的亮度是3等星亮度的10倍.6.A【解析】本题考查抛物线的定义的应用，考查直观想象与逻辑推理的核心素养.因为的准线方程为，所以.因为，所以，当且仅当在线段上时，等号成立，所以的最小值为9.7.B【解析】本题考查导数的几何意义，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.由，得，设，则，所以为增函数，因为，所以.，则，所以曲线在点处的切线方程为，令，得，令，得，则所求三角形的面积为.8.B【解析】本题考查正棱台的体积与二面角，考查空间想象能力与运算求解能力.如图，取的中点，取的中点，连接， 则，所以二面角的平面角为，则.设上底面与下底面的中心分别为，连接，则.过点作，垂足为，则，则，则，故该三棱台的体积为.9.AC【解析】本题考查直线与圆的位置关系，考查数学运算的核心素养.依题意可设圆的圆心坐标为，则，解得或，所以圆的圆心坐标为或.10.ABC【解析】本题考查立体几何初步中的点､线､面的位置关系，考查空间想象能力.如图，交线的位置关系可能是重合.由三棱锥的三个侧棱相交于一点，可知交线的位置关系可能是相交于一点.由三棱柱的三个侧棱两两平行，可知交线的位置关系可能是两两平行.若有两条交线互相平行，则可证它们均与第三条直线平行，所以交线的位置关系不可能是恰有两条交线平行.11.ACD【解析】本题考查平面向量的综合与基本不等式，考查逻辑推理与直观想象的核心素养. 因为，所以.设，则，解得，则，当且仅当时，等号成立，A正确.因为，所以，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为C正确.如图，过点作，垂足为，则在上的投影向量为，当在上的投影向量为时，.因为，所以，得，则错误，D正确.12.ABD【解析】本题考查函数的奇偶性与抽象函数，考查数学抽象与逻辑推理的核心素养.由条件可知.因为，所以，且，可得，所以均正确.取，则 ，此时满足是定义在上的奇函数，，所以未必成立.13.【解析】本题考查三角恒等变换，考查数学运算的核心素养.因为，所以，依题意得，所以，解得.14.211【解析】本题考查椭圆的性质，考查应用意识与数学运算的核心素养.因为，所以.因为长轴长为，所以，故.15.【解析】本题考查全概率公式的实际应用，考查应用意识与数学运算的核心素养.若从该中学三个年级的学生中随机选取1名学生，则这名学生阅读完《红楼梦》的概率为，解得.因为该中学高三的学生阅读完《红楼梦》的概率不低于高一的学生阅读完《红楼梦》的概率，所以.故的取值范围是.16.3841【解析】本题考查数列与不等式的交汇，考查逻辑推理的核心素养与分类讨论的数学思想..当时，；当时，；当时，.因为，所以.又，所以.故数列的前62项和为.17.解：（1）依题意可得，则， 的可能取值为，，所以的分布列为0120.250.50.25（2）因为，所以.依题意可得，所以.因为，所以，又为正整数，所以的最大值为199.18.（1）证明：在中，，在中，.因为平分，所以.又，所以，所以与相等或互补.（2）解：因为，所以与互补.在中，，在中，，所以.又，所以，则.所以的面积，故内切圆的半径.19.证明：（1）因为，所以，所以， 所以是公差为1的等差数列.（2）因为，所以，由（1）知，则.设，则，所以，则.所以.20.解：（1）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以.设，则.设平面的法向量为，则令，得.依题意可得，解得. 所以.（2）因为，所以.设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.21.解：（1）因为，所以根据双曲线的定义可知点的轨迹为以为焦点，实轴长为6的双曲线的左支.由，得，所以的方程为.【注】的方程也可以写为.（2）由题意可设的方程为，设，联立得则.直线，直线，联立与， 得，解得，故点在定直线上.因为圆的圆心到直线的距离为，所以的最小值为.22.（1）证明：设函数，则，当时，，所以为增函数，所以..因为，所以，当时，，所以，所以在上为增函数，故，即当时，对恒成立.（2）解：.证明如下：不妨设，由，得，所以要证明，只需证，即证即证. 设函数，则.（方法一）设函数，则.当时，；当时，.所以，所以.易证，所以，所以在上单调递减，又，所以，则从而得证.（方法二）设函数，则，当时，，当时，.所以，所以.所以，因为此连不等式的两个等号的取等条件不同，所以，从而，所以，所以在上单调递减.又，所以，则，