四川省泸州市泸县第四中学2022-2023学年高二下学期期末数学文科试题 Word版含解析.docx

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泸县第四中学2023年春期高二期末考试文科数学试卷第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数（为虚数单位），则下列命题正确的是（）A.是纯虚数B.的实部为2C.的共轭复数为D.的模为【答案】D【解析】【分析】根据纯虚数、复数的实部、共轭复数以及复数模的定义逐项判断即可.【详解】解：复数（为虚数单位）显然不是纯虚数，的实部是1，的共轭复数为，，故D正确，故选：D.【点睛】考查纯虚数、复数的实部、共轭复数以及复数模的定义的应用，基础题.2.已知命题p：对，有，则为（）A.对，有B.对，有C.，使得D.，使得【答案】C【解析】【分析】利用全称命题的否定为特称命题可写出命题p的否定.【详解】根据全称命题p：对，有的否定为特称命题，即：，使得.故选：C【点睛】本题考查了含有全称量词的命题的否定，属于基础题.3.某校有高三学生1200名，现采用系统抽样法从中抽取200名学生进行核酸检测，用电脑对这1200名学生随机编号1，2，3，…，1200，已知随机抽取的一个学生编号为10，则抽取的学生最大编号为（） A.2004B.1198C.1192D.1086【答案】B【解析】【分析】首先求出分段间隔，再根据系统抽样规则计算可得.【详解】根据系统抽样法可知，分段间隔为，编号共分为段，编号属于第段，所以最大编号在第段，号码为．故选：B4.已知函数的导函数的图象如图所示，则关于的结论正确的是A.在区间上为减函数B.在处取得极小值C.在区间，上为增函数D.在处取得极大值【答案】B【解析】【分析】结合图象，求出函数的单调区间和极值点即可．【详解】由图象得：在递减，在递增，在递减，故在取极小值，在取极大值，故选：B.【点睛】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及数形结合思想，是一道常规题．5.“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在《九章算术注》中提出割圆术，并作为计算圆的周长、面积以及圆周率的基础.刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.1415和3.1416这两个近似数值，这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据.如图，当分割到圆内接正六边形时，某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点，计算得出该点落在正六边形内的频率为0.8269，那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为（参考数据：） A.3.1419B.3.1417C.3.1415D.3.1413【答案】A【解析】【分析】先设圆的半径为，表示出圆的面积和正六边形的面积，再由题中所给概率，即可得出结果.【详解】设圆的半径为，则圆的面积为，正六边形的面积为，因而所求该实验的概率为，则.故选A【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型，熟记概率计算公式即可，属于常考题型.6.已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为（）A.B.C.或D.【答案】C【解析】【分析】根据长轴长以及离心率，可求出，，再由，进而可求出结果.【详解】由题意知，，，所以，，∴，又因为椭圆的对称轴是坐标轴，则焦点可能在或轴上.∴椭圆方程：或故选：C7.已知曲线在点处的切线方程为，则 A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．【详解】详解：，将代入得，故选D．【点睛】本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．8.直线与抛物线交于，两点，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】焦点弦长度等于.【详解】抛物线的焦点为在直线上，故是抛物线的焦点弦，则由得：，所以，，所以，故选：D.9.已知函数在处取得极大值10，则的值为（）A.B.或2C.2D.【答案】A【解析】【分析】求导，根据题意得到，代入数据解得答案，再验证排除即可.【详解】，则， 根据题意：，解得或，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，故处取得极小值，舍去；当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，故处取得极大值，满足.故.故选：A.【点睛】本题考查了根据极值求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力，多解是容易发生的错误.10.设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为A.B.C.2D.【答案】A【解析】【分析】准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率．【详解】设与轴交于点，由对称性可知轴，又，为以为直径的圆的半径，为圆心．，又点在圆上，，即．，故选A． 【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．11.已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】设圆锥的底面半径为，侧面展开图的半圆半径为，根据侧面积得到，，再根据体积公式计算即可.【详解】设圆锥的底面半径为，侧面展开图的半圆半径为，则，即.故圆锥的侧面积为，解得，圆锥的高为.故圆锥的体积为.故选：B12.已知在上恰有两个极值点，，且，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由题意得导函数在区间有两个零点，根据二次函数的性质可得 ，由根与系数的关系可得以及，求出的表达式，将用表示，表示为关于的函数，利用导数与单调性的关系即可求出结果.【详解】由题意得，令，得，由题意知在上有两个根，，∴，得．由根与系数的关系得，由求根公式得，∵，∴，∵，∴．则，令，则．设，则，易知在上单调递增，∴，∴当时，函数为减函数，∴，且， ∴，故选：D.【点睛】关键点点睛：（1）根据极值点的概念，结合根据系数的关系和二次函数的性质得到参数的取值范围，以及与之间的关系；（2）将题意转化为关于的函数，构造出，利用导数判断单调性.第II卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13若直线与直线平行，则___________.【答案】【解析】【分析】根据两直线平行公式，列式即可求解.【详解】根据两直线平行可得：解之得：.故答案为：14.已知具有相关关系的两个变量的一组观测数据如下表所示，若据此利用最小二乘估计得到回归方程，则_______.34562.544.5【答案】3【解析】【分析】根据题意计算样本中心点，代入回归方程即可得到答案.【详解】解：，，所以样本中心点为：.因为回归方程，样本中心点在回归方程上， 所以，解得：.故答案为：3.【点睛】本题主要考查根据样本中心点在回归方程上求参数，考查学生的计算能力，属于基础题.15.已知直线，圆，若直线与圆相交于两点,则的最小值为______．【答案】【解析】【分析】求出直线过的定点，当圆心和定点的连线垂直于直线时，取得最小值，结合即可求解.【详解】由题意知，圆，圆心，半径，直线，，，解得，故直线过定点，设圆心到直线的距离为，则，可知当距离最大时，有最小值，由图可知，时，最大，此时，此时.故的最小值为. 故答案为：.16.函数的导函数为，若，且，则的最小值为______.【答案】【解析】【分析】设，求导，可得，利用导数求得单调性和极值，即可得答案.【详解】设，则，所以，即，所以，所以，令，解得x=1，所以当时，，为减函数，当时，，为增函数，所以的最小值为.故答案为：三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17.为了调查某社区居民每天参加健身的时间，某机构在该社区随机采访男性、女性各50名，其中每人每天的健身时间不少于1小时称为“健身族”，否则称其为"非健身族”，调查结果如下：健身族非健身族合计男性401050女性302050 合计7030100（1）若居民每人每天的平均健身时间不低于70分钟，则称该社区为“健身社区”.已知被随机采访的男性健身族，男性非健身族，女性健身族，女性非健身族每人每天的平均健分时间分别是1.2小时，0.8小时，1.5小时，0.7小时，试估计该社区可否称为“健身社区”？（2）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过5%的情况下认为“健身族”与“性别”有关？参考公式：，其中.参考数据：0500.400.250.050.0250.0100.4550.7081.3213.8405.0246.635【答案】（1）该社区不可称为“健身社区”；（2）能在犯错误概率不超过5%的情况下认为“健康族”与“性别”有关.【解析】【分析】（1）计算平均数，再比较数据大小作出判断（2）先求卡方，再对照参考数据作出判断【详解】（1）随机抽样的100名居民每人每天的平均健身时间为小时，由此估计该小区居民每人每天的平均健身时间为1.15小时，因为1.15小时小时=70分钟，所以该社区不可称为“健身社区”；（2）由联立表可得，，所以能在犯错误概率不超过5%的情况下认为“健康族”与“性别”有关.【点睛】本题考查计算平均数以及卡方计算，考查基本分析求解判断能力，属基础题.18.已知函数.（1）求在点处的切线； （2）求在区间上的最大值和最小值.【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为.【解析】【分析】（1）求出函数导数,求出切点坐标以及切线的斜率,借助于点斜式方程写出切线;（2）判断出函数的单调性,求出极值和端点值,通过比较可得出最值.【详解】（1），又，所以切线方程为，即；（2）由（1）知或，∴在上单减，在上单增，又，∴在上的最大值为3，最小值为0.【点睛】本题考查导数的应用,考查利用导数研究函数的切线方程,单调性以及函数的最值,考查学生的运算能力与逻辑思维,属于中档题.19.如图所示的多面体，其正视图为直角三角形，侧视图为等边三角形，俯视图为正方形（尺寸如图所示），E为PA的中点.（1）求证：平面EBD；（2）求三棱锥体积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）连接交于点，连接，则为的中位线，根据线面平行的判定定理，即可得证.（2）设的中点为，设的中点为，连接，可证平面 ，再由椎体的体积公式求解即可【小问1详解】连接交于点，连接，由已知可得，∴平面，平面，∴平面EBD；.【小问2详解】设的中点为，设的中点为，连接，则易知，，侧视图为正三角形，，由正视图可得：平面平面，又平面，，平面平面，所以平面，又，则平面，由题意可知，所以，所以20.已知函数.（1）令，讨论的极值； （2）若时，恒成立，求正实数a的取值范围.【答案】（1）见解析（2）.【解析】【分析】（1）求出的导数，讨论其符号后可得的极值.（2）恒成立等价于恒成立，设，求出其导数后就、分类讨论导数的符号后可求参数的取值范围.【小问1详解】，则，若，则，此时无极值；若，由得；由得；则在上为减函数，在上为增函数，故在处取极小值且极小值为，综上，当时，无极值；当时，有极小值为，无极大值.【小问2详解】时，恒成立等价于恒成立，设，则，若，则，则为上的增函数，故，故恒成立.若，则当时，，故在上为减函数，而，故当时，成立， 这与题设矛盾，故.21.已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上．（1）求椭圆的标准方程；（2）若过定点的直线交椭圆于不同的两点､(点在点､之间)，且满足，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）代入点坐标，结合离心率，以及即得解；（2）设直线方程，与椭圆联立，转化为，结合韦达定理和判别式，分析即得解【小问1详解】由题意可知：，解得：椭圆的标准方程为：．【小问2详解】①当直线斜率不存在，方程为，则，.②当直线斜率存在时，设直线方程为，联立得：.由得：. 设，，则，，又，，，则，，所以，所以，解得：,又，综上所述：的取值范围为.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分．（选修4-4极坐标与参数方程）22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）求C的普通方程和l的直角坐标方程；（2）动点D在曲线C上，动点A，B均在直线l上，且，求△ABD面积的最小值．【答案】（1）(y≠-1)，（2）6【解析】【分析】（1）先对曲线C的参数方程化简，然后利用正弦与余弦的平方和为1可求出其普通方程，由极坐标方程与直角坐标方程的互化公式可求出l的直角坐标方程；（2）设，求出点D到直线l的距离，化简变形后利用余弦函数的性质可求出的最小值，从而可求出△ABD面积的最小值．【小问1详解】 对于曲线C，，，所以．因为当有意义时，，所以，则，即，所以C的普通方程为．由，得，即，将，代入上式，可得l的直角坐标方程为．【小问2详解】设，则点D到直线l的距离，所以当且仅当，即（）时，d取得最小值，，所以△ABD面积的最小值为（选修4-5不等式选讲）23.已知函数，不等式的解集为．（1）求的值；（2）若三个实数，，，满足．证明：【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）依题意可得，即可得到方程组，解得即可； （2）由（1）可知，则，利用柯西不等式即可证明.【小问1详解】∵不等式的解集为，∴，即，∴，经检验得符合题意.【小问2详解】∵，∴，由柯西不等式可知：，∴，即，当且仅当，，时等号成立.