内蒙古自治区赤峰市红山区2023-2024学年高二上学期期末考试 数学 Word版含解析.docx

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红山区2023-2024学年度高二年级第一学期学情监测试卷数学（A卷）试题注意事项：1．本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考生作答时，请将第I卷选择题的答案用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后重新填涂；请将第Ⅱ卷的答案用黑色中性笔答在答愿卡指定答愿区城内，在本试卷上答题无效．考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保留．2．所有同学们答卷时请注意：（1）题号后标注学校的，相应学校的学生解答；（2）没有标注学校的题所有学生均需解答．本试卷共150分，考试时间120分钟．第I卷（选择题共60分）一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.直线的倾斜角为（）A.B.C.D.2.抛物线的焦点到点的距离为（）A.2B.C.D.43.如图，在长方体中，，，则直线和夹角的余弦值为（）A.B.C.D.4.设等差数列前项和为，若则（） A.150B.120C.75D.605.两数与的等比中项是（）A.1B.C.或1D.6.已知双曲线C：的一个焦点为则该双曲线的渐近线方程为（）A.B.C.D.7.已知椭圆E：(a>b>0))的右焦点是F(3，0)，过点F的直线交椭圆E于A，B两点，若AB中点M的坐标为(1，-1)，则椭圆E的方程为（）A.B.C.D.8.已知曲线C：mx2＋ny2＝1，下列结论不正确的是（）A.若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B.若m＝n＞0，则C是圆，其半径为C.若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±xD.若m＝0，n＞0，则C是两条直线二､多项选择题（本大题共四小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9.已知点和，点在轴上，且为直角，则（）A.直线的斜率为B.点的坐标为C.直线的一个方向向量为D.直线的方程为10.设抛物线，为其焦点，为抛物线上一点.则下列结论正确的是（）A.若，则B.若点到焦点的距离为3，则的坐标为.C.若，则的最小值为. D.过焦点作斜率为2的直线与抛物线相交于，两点，则11.已知空间中三点，则下列结论正确有（）A.B.与共线的单位向量是C.与夹角的余弦值是D.平面的一个法向量是12.已知，为椭圆左、右顶点，为的右焦点，是的上顶点，，的垂直平分线交于，，若，，三点共线，则（）A.B.的离心率为C.点到直线的距离为D.直线，的斜率之积为第II卷（非选择题共90分）三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）13.已知圆：，圆：，则圆与圆的位置关系是_____________.14.两平行直线和的距离为______.15.如图所示的拋物线型拱桥，设水面宽米，拱顶距水面8米，一货船在水面上的部分的横截面为一矩形，若米，则不超过__________米时，才能使货船通过拱桥．16.已知，是双曲线的左、右焦点，是右支上的一点， ，的周长为，面积为，则的离心率为__________．四､解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知数列是等差数列，（1）求的通项公式（2）记的前项的和为，若，求的值．18.已知直线被圆截得的弦长为．（1）求的值；（2）求过点（3，5）与圆相切直线的方程．19.已知平面分别为的中点，平面平面（1）求证：平面（2）求平面与平面所成角的正切值（3）求点到平面的距离．20.已知数列前n项和为（1）求数列的通项公式；（2）令①；②；③从上面三个条件中任选一个，求数列的前项和注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.21.如图，在多面体中，平面平面，四边形为正方形，四边形为梯形，且，. （1）求直线与平面所成角余弦值．（2）线段上是否存在点，使得直线平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．22.已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点与椭圆两个焦点构成的三角形的周长为，（1）求椭圆的方程．（2）设直线与椭圆交于两点，若以为直径的圆经过椭圆的右顶点，求的值及面积的最大值． 红山区2023-2024学年度第一学期学情监测试卷高二年级数学（A卷）注意事项：1．本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考生作答时，请将第I卷选择题的答案用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后重新填涂；请将第Ⅱ卷的答案用黑色中性笔答在答愿卡指定答愿区城内，在本试卷上答题无效．考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保留．2．所有同学们答卷时请注意：（1）题号后标注学校的，相应学校的学生解答；（2）没有标注学校的题所有学生均需解答．本试卷共150分，考试时间120分钟．第I卷（选择题共60分）一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.直线的倾斜角为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由斜率与倾斜角的关系计算即可得.【详解】由题意可得，故.故选：C.2.抛物线的焦点到点的距离为（）A.2B.C.D.4【答案】B【解析】【分析】首先求出焦点坐标，再利用距离公式计算可得.【详解】抛物线的焦点为，所以点到焦点的距离. 故选：B3.如图，在长方体中，，，则直线和夹角的余弦值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】如图建立空间直角坐标系，分别求出的坐标，由空间向量夹角公式即可求解.【详解】如图：以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，所以，所以直线和夹角的余弦值为，故选：D. 4.设等差数列的前项和为，若则（）A.150B.120C.75D.60【答案】D【解析】【分析】由等差数列的性质及求和公式计算即可得解.【详解】由等差数列的性质可知，所以，.故选：D5.两数与的等比中项是（）A.1B.C.或1D.【答案】C【解析】【分析】根据等比数列等比中项的公式进行求解即可．【详解】设与的等比中项是x，则满足，则或，故选：C．【点睛】本题主要考查等比中项的求解，属于基础题．6.已知双曲线C：的一个焦点为则该双曲线的渐近线方程为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据双曲线一个焦点为，则，结合，求出 的值，进而得到双曲线方程，得到渐近线方程.【详解】因为双曲线的焦点为，所以，又因为，即，即，所以双曲线方程为，所以渐近线方程为，故选：A.7.已知椭圆E：(a>b>0))的右焦点是F(3，0)，过点F的直线交椭圆E于A，B两点，若AB中点M的坐标为(1，-1)，则椭圆E的方程为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】设，代入椭圆的标准方程，两式作差可得，由=，9==，即求.【详解】设，则=2，=－2，，①，②①－②得，∴===，又==，∴=，又9==，解得=9，=18，∴椭圆方程为，故选：B．8.已知曲线C：mx2＋ny2＝1，下列结论不正确的是（）A.若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B.若m＝n＞0，则C是圆，其半径为 C.若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±xD.若m＝0，n＞0，则C两条直线【答案】B【解析】【分析】就不同的取值结合曲线方程的形式逐项判断后可得正确的选项.【详解】对于A，当m＞n＞0时，有，方程化为，表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；对于B，由m＝n＞0，方程变形为，该方程表示半径为的圆，故B错误；对于C，由mn＜0知曲线表示双曲线，其渐近线方程为，故C正确；对于D，当m＝0，n＞0时，方程变为ny2＝1表示两条直线，故D正确．故选：B.二､多项选择题（本大题共四小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9.已知点和，点在轴上，且为直角，则（）A.直线的斜率为B.点的坐标为C.直线的一个方向向量为D.直线的方程为【答案】BCD【解析】【分析】根据直线斜率，直线垂直，直线方向向量，直线方程逐项判断即可.【详解】已知点和，则，故A不正确；点在轴上，且为直角， 设，则，所以，故点的坐标为，故B正确；则直线的一个方向向量为，则也是直线的一个方向向量，故C正确；，则直线的方程为，即，故D正确.故选：BCD.10.设抛物线，为其焦点，为抛物线上一点.则下列结论正确的是（）A.若，则B.若点到焦点的距离为3，则的坐标为.C.若，则的最小值为.D.过焦点作斜率为2的直线与抛物线相交于，两点，则【答案】AC【解析】【分析】由抛物线的性质依次计算各选项所求，即可得出结果.【详解】抛物线，.对于A，，，A正确；对于B，设，，，的坐标为.B错误；对于C,,C正确；对于D，直线，联立，得：，,,D错误.故选：AC.11.已知空间中三点，则下列结论正确的有（）A.B.与共线的单位向量是C.与夹角的余弦值是D.平面的一个法向量是【答案】AD 【解析】【分析】根据空间向量垂直的坐标运算可判断AD，根据共线向量和单位向量判断B，根据向量夹角的坐标运算判断C.【详解】由题意可得，，，选项A：，故，正确；选项B：不是单位向量，且与不共线，错误；选项C：，错误；选项D：设，则，，所以，，又，所以平面的一个法向量是，正确；故选：AD12.已知，为椭圆左、右顶点，为的右焦点，是的上顶点，，的垂直平分线交于，，若，，三点共线，则（）A.B.的离心率为C.点到直线的距离为D.直线，的斜率之积为【答案】ABD【解析】【分析】根据题意得的方程为，进而得，再整理得，进而求，离心率判断AB；求出直线的方程并结合点线距公式求解判断C；设，则，进而求解即可判断D. 【详解】解：由题知，，，，所以，，的中点为，所以，的垂直平分线的方程为，因为，，三点共线，所以，整理得，所以，即所以，，故A选项正确；所以，即，解得或（舍）所以，椭圆的离心率为，故B选项正确；因为直线的方程为，即，所以，点到直线的距离为，故C选项错误；设，则，故，由于，所以，故D选项正确；故选：ABD第II卷（非选择题共90分）三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上） 13.已知圆：，圆：，则圆与圆的位置关系是_____________.【答案】相交【解析】【分析】分别求出圆与圆的圆心与半径，再利用圆心距与半径之间的关系确定两圆的位置关系.【详解】圆，圆心，圆，圆心，又圆心距，则，所以两个圆是相交的.故答案为：相交【点睛】方法点睛：本题考查两圆的位置关系，利用几何法：圆心距d与r1，r2的关系判断：方法位置关系几何法：圆心距d与的关系外离外切相交内切内含14.两平行直线和的距离为______.【答案】##【解析】【分析】直接利用距离公式计算可得.【详解】直线，即， 所以两平行线的距离.故答案为：15.如图所示的拋物线型拱桥，设水面宽米，拱顶距水面8米，一货船在水面上的部分的横截面为一矩形，若米，则不超过__________米时，才能使货船通过拱桥．【答案】【解析】【分析】以抛物线顶点建立平面直角坐标系，求出抛物线方程后结合题意计算即可得.【详解】以拋物线顶点建立如图所示平面直角坐标系，则，由，拱顶距水面8米，故，设该抛物线方程为，有，解得，即，由，令，则，即，，故不超过米时，才能使货船通过拱桥.故答案为：.16.已知，是双曲线的左、右焦点，是右支上的一点， ，的周长为，面积为，则的离心率为__________．【答案】##1.5【解析】【分析】由双曲线的定义和面积公式求出，再利用余弦定理列出方程求解即得.【详解】的周长为，，由双曲线定义知，，，，，，，，在中，由余弦定理得，，得的离心率．故答案为：四､解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知数列是等差数列，（1）求的通项公式（2）记的前项的和为，若，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为d，利用题中等式建立、d的方程组，求出、d的值，然后根据等差数列的通项公式求出数列的通项公式；（2）利用等差数列前项和公式求出，然后由求出n的值. 【小问1详解】设等差数列的公差为，则：，解得所以数列的通项公式为小问2详解】数列的前项和由，化简得即：，所以或（舍），所以的值是.18.已知直线被圆截得的弦长为．（1）求的值；（2）求过点（3，5）与圆相切的直线的方程．【答案】（1）a=1；（2）或【解析】【分析】（1）求出圆心，半径，利用圆心到直线的距离，通过勾股定理列方程求解即可．（2）判断点与圆的位置关系，①当切线方程的斜率存在时，设方程为，由圆心到切线的距离求解即可；②当过斜率不存在，判断直线与圆是否相切，推出结果．【详解】（1）依题意可得圆心，半径，则圆心到直线的距离，由勾股定理可知，代入化简得，解得或，又，所以； （2）由（1）知圆，又在圆外，①当切线方程的斜率存在时，设方程为，由圆心到切线的距离可解得，切线方程为，②当过斜率不存在，易知直线与圆相切，综合①②可知切线方程为或.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力．19.已知平面分别为的中点，平面平面（1）求证：平面（2）求平面与平面所成角的正切值（3）求点到平面的距离．【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）连接M、N，证明四边形为平行四边形，则，即可得证；（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可；（3）利用向量法求解即可【小问1详解】证明：连接，因为M、N分别BC、AB为中点，所以且， 又因为，且，且，所以平行且相等，所以四边形为平行四边形，所以因为平面平面所以平面【小问2详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则：设平面的一个法向量为则，即，令，则，因为x轴垂直平面，所以平面的一个法向量为，设平面与平面所成角为，则所以平面与平面所成角的正切值为．【小问3详解】设点到平面的距离为，则 20.已知数列的前n项和为（1）求数列的通项公式；（2）令①；②；③从上面三个条件中任选一个，求数列的前项和注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】(1)根据的关系求通项公式；(2)选①，利用错位相减法求和，选②，利用裂项相消求和，选③，利用并项求和以及等差数列前项和公式.【小问1详解】，两式相减得，数列是以2为首项，2为公比的等比数列，； 【小问2详解】由（1）可知，若选①：，.两式相减得：，所以.若选②：.若选③：当为偶数时，当为奇数时，.综上得：.21.如图，在多面体中，平面平面，四边形为正方形，四边形为梯形，且，.（1）求直线与平面所成角的余弦值．（2）线段上是否存在点，使得直线平面？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）存在；【解析】【分析】（1）由题意结合面面垂直的性质可得两两垂直，即可建立空间直角坐标系，得到平面的法向量与直线的方向向量，即可得直线与平面所成角的余弦值；（2）设，用表示出平面的法向量，由在线段上存在，使得直线平面，等价于存在，使，计算即可得.【小问1详解】因为为正方形，所以，又因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面，所以，因为，所以两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，设直线与平面所成的角为，则，故， 即直线与平面所成角的余弦值为，【小问2详解】设，则，，，设平面的一个法向量为，，则，即，令，则，，在线段上存在，使得直线平面，等价于存在，使，，，解得，线段上存点，使得平面，且.22.已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点与椭圆两个焦点构成的三角形的周长为，（1）求椭圆的方程． （2）设直线与椭圆交于两点，若以为直径的圆经过椭圆的右顶点，求的值及面积的最大值．【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）根据条件列方程组求解.（2）根据以为直径的圆经过椭圆的右顶点求得m进而得恒过定点，由求面积，并换元后用二次函数求最大值.【小问1详解】因为椭圆上的一点和它的两个焦点构成的三角形周长为，所以，又椭圆的离心率为，即，所以所以．所以，椭圆的方程为.【小问2详解】不妨设直线的方程．联立，消去得，，即，设，则，①因为以为直径的圆过，所以，由，得， 将代入上式，得，将①式代入上式，，解得，或（舍），所以，令是直线与轴的交点，则，此时直线与椭圆恒有两个交点.则有，设，则，所以当时，取得最大值.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.