河北省沧州市2023-2024学年高二上学期期末教学质量监测试题 数学 Word版含解析.docx

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沧州市2023-2024学年高二第一学期期末教学质量监测数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知数列的通项公式，则123是该数列的（）A.第9项B.第10项C.第11项D.第12项2.已知直线方程为，则其倾斜角为（）AB.C.D.3.已知，，若与垂直，则（）A.B.C.2D.4.已知A(m，3)，B(2m，m+4)，C(m+1，2)，D(1，0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为　(　　)A1B.0C.0或2D.0或15.若焦点为F的抛物线上一点P的纵坐标为，则原点O到直线PF的距离（）A.B.C.1D.6.已知双曲线C：（，），若四个点，，，（，）中有三个点在C上，则该双曲线的渐近线方程为（）A.B.C.D. 7.在等差数列中，p，，且，若，，则（）A.B.C.D.8.已知平面上两定点A，B，满足（，且）的点P的轨迹是一个圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称作阿氏圆．利用上述结论，解决下面的问题：若直线与x，y轴分别交于A，B两点，点M，N满足，，，则直线MN的方程为（）A.B.C.D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知函数，则下列结论正确的是（）A.有两个单调区间B.有两个极值点C.有最小值D.有最大值e10.在各项均为正数的等比数列中，公比为q（），前n项和为，则下列结论正确的是（）A.（m，）B.C.是等比数列D.11.在棱长为2的正四面体A-BCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G是△BCD的重心，则下列结论正确的是（）AB.C.在上的投影向量为D.12.已知是双曲线C：（，）的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，若，则下列结论正确的是（）A.B. C.离心率D.若，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.直线被圆截得的弦长为______________．14.已知，则______________．15.在棱长为3的正方体中，点到平面的距离为______________．16.已知数列各项均正数，且首项为1，，则______________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在△OAB中，O是坐标原点，，．（1）求AB边上高所在直线的方程；（2）求△OAB的外接圆方程18.已知数列是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）设是数列的前n项和，证明：．19.已知P为抛物线C：（）上一点，且点P到抛物线的焦点F的距离为12，到y轴的距离为10．（1）求p的值；（2）过点F作直线l交C于A，B两点，求AB中点M的轨迹方程．20.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数在上单调递增，求实数a的取值范围．21.如图，在斜三棱柱中，所有棱长均相等，O，D分别是AB，的中点． （1）证明：OD∥平面；（2）若，且，求平面与平面所成角的余弦值．22.已知椭圆C：（），F是其右焦点，点在椭圆上，且PF⊥x轴，O为原点．（1）求椭圆C的方程；（2）若M，N是椭圆C上的两点，且△OMN的面积为，求证：直线OM与ON的斜率之积为定值． 沧州市2023-2024学年第一学期期末教学质量监测高二数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知数列的通项公式，则123是该数列的（）A.第9项B.第10项C.第11项D.第12项【答案】C【解析】【分析】根据通项公式可直接求出.【详解】由，解得（舍去），故选：C．．2.已知直线方程，则其倾斜角为（）AB.C.D.【答案】D【解析】【分析】由直线方程可得斜率，根据斜率与倾斜角的关系即可求倾斜角大小.【详解】由题知直线斜率为，若直线的倾斜角为，则，∵，∴，故选：D．3.已知，，若与垂直，则（） A.B.C.2D.【答案】A【解析】【分析】根据两个向量垂直的坐标表示计算即可.【详解】，∴，解得，故选：A．4.已知A(m，3)，B(2m，m+4)，C(m+1，2)，D(1，0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为　(　　)A.1B.0C.0或2D.0或1【答案】D【解析】【详解】当AB与CD斜率均不存在时，故得m=0，此时两直线平行；此时AB∥CD，当kAB=kCD时，，得到m=1，此时AB∥CD.故答案选D．点睛：解答本题易出现选A错误，导致出现这种错误的原因是忽略了直线AB与CD的斜率不存在的情况.在已知直线的位置关系，求参数时，在用到了直线的斜率时，首先要考虑直线的斜率是否存在，然后再列式子．5.若焦点为F的抛物线上一点P的纵坐标为，则原点O到直线PF的距离（）A.B.C.1D.【答案】B【解析】【分析】先求出点P的坐标，然后利用焦半径公式求出，再根据等面积法列式求解即可.【详解】由已知可得点P的横坐标为，由抛物线定义知，因为且，所以，解得. 故选：B．6.已知双曲线C：（，），若四个点，，，（，）中有三个点在C上，则该双曲线的渐近线方程为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】首先根据双曲线的对称性，通过数形结合来排除一个点，然后将代入，求出的值，进而得到双曲线的渐近线方程.【详解】∵，关于原点对称，线段垂直于y轴且在x轴的同侧，∴不在双曲线上，将代入双曲线方程，解得，代入点解得，所以该双曲线的渐近线方程为．故选：D．7.在等差数列中，p，，且，若，，则（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】设出首项和公差并表示出和，然后表示出公差，最后求出结果即可．【详解】设等差数列公差为d，则，，两式相减得，则，故选：C．8.已知平面上两定点A，B，满足（，且）的点P的轨迹是一个圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称作阿氏圆．利用上述结论，解决下面的问题：若直线与x，y轴分别交于A，B两点，点M，N满足，，，则直线MN的方程为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据题意得出点M，点N是两个圆的公共点，所以将两圆直接作差即可得到公共弦所在直线方程.【详解】由题得，，设，∵，∴点M在圆：上．∵，∴，整理得，∴点M也在圆：上，同理点N也在这两个圆上，∴MN是这两圆的公共弦，两圆方程作差，得，即直线MN的方程为，故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知函数，则下列结论正确的是（）A.有两个单调区间B.有两个极值点C.有最小值D.有最大值e【答案】AC【解析】【分析】求出导函数，结合导函数的正负分析原函数的单调性，进而得出极值最值情况. 【详解】由已知得，由解得，由解得，所以在上单调递减，在上单调递增，∴只有一个极值点，且在处取得极小值也是最小值，无最大值，故选：AC．10.在各项均为正数的等比数列中，公比为q（），前n项和为，则下列结论正确的是（）A.（m，）B.C.是等比数列D.【答案】ABD【解析】【分析】根据等比数列通项性质判断A，根据等比数列求和化简判断B，根据对数运算及等差数列定义判断C，根据等比数列求和判断D.【详解】，，两式相除可得，故A正确；因为，由等比数列求和公式，可得，故B正确；因为（常数），所以是等差数列，故C不正确；对于D，，，…，，可看作是以为首项，（）为公比的等比数列，所以，故D正确.故选：ABD11.在棱长为2的正四面体A-BCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G是△BCD的重心，则下列结论正确的是（）A.B.C.在上的投影向量为D. 【答案】AB【解析】【分析】取DC的中点M，根据CD⊥平面ABM判断A；取BD的中点H，判断B；根据投影向量定义判断C；根据空间向量线性运算判断D.【详解】如图，取DC的中点M，连接AM，BM，∵AM⊥CD，BM⊥CD，平面，∴CD⊥平面，平面，∴CD⊥AB，故A正确；取BD的中点H，连接HE，HF，则，，∴HE⊥FH，即，又，∴，，∴，故B正确；由B知，在上的投影向量为，故C不正确；，故D不正确，故选：AB．12.已知是双曲线C：（，）的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，若，则下列结论正确的是（）A.B.C.离心率D.若，则【答案】ABD【解析】【分析】根据点F到两条渐近线的距离相等，结合对称性几面积关系即可判断A；根据长度关系可求得，进而可判断；根据渐近线的斜率可算出离心率，进而了判断C；解三角形可得，所以 ，，，求出直角三角形的面积，列出方程即可判定D.【详解】如图，∵，∴，，∵点F到两条渐近线的距离相等，∴，故A正确；∵AB⊥OA，，∴，，，，故B正确；由B知，一条渐近线的斜率，则，故C不正确；由C知，，所以，，，∴，∴，，，故D正确，故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.直线被圆截得的弦长为______________．【答案】【解析】【分析】先求出圆心和半径，再求出圆心到直线的距离，最后利用弦长公式求出结果.【详解】由已知得圆的半径，圆心为，圆心到直线的距离，所以弦长为．故答案为：.14.已知，则______________． 【答案】【解析】【分析】对函数求导，然后将代入导函数中，求得相应的导数值.【详解】由已知得，则，解得．故答案为：．15.在棱长为3的正方体中，点到平面的距离为______________．【答案】【解析】【分析】建立空间直角坐标系，用向量法求点到平面的距离.【详解】以B为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图：，，，因为，所以，又平面，所以平面，所以是平面的一个法向量，又， ∴点到平面的距离．故答案为：.16.已知数列各项均为正数，且首项为1，，则______________．【答案】210【解析】【分析】对原方程化简得，然后利用累乘法求解即可.【详解】由已知，得，∵，∴，得，由累乘法得，∴,故答案为：210.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在△OAB中，O是坐标原点，，．（1）求AB边上的高所在直线的方程；（2）求△OAB外接圆方程【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出边上的高线的斜率，再利用点斜式求出边上的高所在直线的方程；（2）设的外接圆的方程为（），则把的坐标代入求得的值，可得圆的方程．【小问1详解】∵直线AB的斜率， ∴AB边上的高所在直线的斜率，又AB边上的高所在直线过原点O，∴AB边上的高所在直线的方程为．【小问2详解】设的外接圆的方程为（），则，解得，∴的外接圆方程为．18.已知数列是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）设是数列的前n项和，证明：．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据等差数列基本量，列方程，即可求解；（2）根据（1）的结果，裂项相消法求和，即可证明不等式.【小问1详解】设数列的公差为，∴，∴，，．由已知得，解得或（舍），∴数列的通项公式为．【小问2详解】 由（1）知，，∴，∴．19.已知P为抛物线C：（）上一点，且点P到抛物线的焦点F的距离为12，到y轴的距离为10．（1）求p的值；（2）过点F作直线l交C于A，B两点，求AB中点M的轨迹方程．【答案】（1）4（2）【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义列出方程即可求解；（2）设，，，利用点差法化简计算即可得出结果.【小问1详解】由抛物线的定义得，故．【小问2详解】由（1）得，，则抛物线C的方程为，焦点，设，，，∴，，当M，F不重合时，相减整理得，，∴，即，当M，F重合时，满足上式．∴点M的轨迹方程为． 20.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数在上单调递增，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义，即可求得答案；（2）函数在上单调递增，可得当时，恒成立，分离参数，将问题转化为求解二次函数的最值问题，即可求得答案.【小问1详解】当时，，则，∴，，曲线在点处的切线方程为，即．【小问2详解】由题意得当时，恒成立，∴在时恒成立，∵，则，由于二次函数在上单调递减，∴当时，， ∴，即实数a的取值范围是．21.如图，在斜三棱柱中，所有棱长均相等，O，D分别是AB，的中点．（1）证明：OD∥平面；（2）若，且，求平面与平面所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）连接交于点E，连接OE，，可得四边形为平行四边形，则有，利用线面平行的判定定理可证得OD∥平面；（2）可证得平面ABC，以O为原点，OA，，OC所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面所成二面角的余弦值.【小问1详解】连接交于点E，连接OE，，∵O，E分别是AB，的中点，D为的中点，∴，∴四边形为平行四边形，∴．∵平面，平面，∴OD∥平面．【小问2详解】连接OC， ∵，∴为正三角形，∴，∵，且，∴平面ABC，∵△ABC是正三角形，∴CO⊥AB．以O为原点，OA，，OC所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，由，可得．则，，，设平面的法向量为，∴，即，令，∴，设平面的法向量为，∴，即，令，∴，设平面与平面所成的角为， 则，即平面与平面所成角的余弦值为．22.已知椭圆C：（），F是其右焦点，点在椭圆上，且PF⊥x轴，O为原点．（1）求椭圆C的方程；（2）若M，N是椭圆C上的两点，且△OMN的面积为，求证：直线OM与ON的斜率之积为定值．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何性质，求，即可求解；（2）当直线的斜率不存在时，求得点的坐标，再表示的值，当直线的斜率存在时，直线与椭圆方程联立，并表示的面积，并利用韦达定理表示.【小问1详解】由已知得，，∵，∴，，∴椭圆C的方程为．【小问2详解】设，，当直线MN的斜率不存在时，不妨令点M在x轴上方，点N在x轴下方，此时，，即，且 解得：，得，或，，则；当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为，代入椭圆方程，整理得，，即，由根与系数的关系得，，∴，设点O到直线MN的距离为d，则，∴，整理得．∵，∴．综上，直线OM与ON的斜率之积为定值．【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键需讨论两种情况，重点是根据面积公式，得到这个关键条件.