2024年高考物理复习提升核心素养 匀变速直线运动图像和追及相遇问题（解析版）.docx

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匀变速直线运动图像和追及相遇问题一、v－t图像1．图像的意义：v－t图像反映了做直线运动的物体的速度随时间变化的规律，它只能描述物体做直线运动的情况．2．图像的斜率：v－t图线(或切线)的斜率表示物体的加速度．斜率的绝对值表示加速度的大小，斜率为正表示加速度沿规定的正方向，但物体不一定做加速运动；斜率为负，则加速度沿负方向，物体不一定做减速运动．3．v－t图线与t轴所围“面积”表示这段时间内物体的位移．t轴上方的“面积”表示位移沿正方向，t轴下方的“面积”表示位移沿负方向，如果上方与下方的“面积”大小相等，说明物体恰好回到出发点．用函数法解决非常规图像问题二、三类图像(1)a－t图像由Δv＝aΔt可知图像中图线与横轴所围面积表示速度变化量，如图甲所示．(2)－t图像由x＝v0t＋at2可得＝v0＋at，截距b为初速度v0，图像的斜率k为a，如图乙所示．(3)v2－x图像由v2－v02＝2ax可知v2＝v02＋2ax，截距b为v02，图像斜率k为2a，如图丙所示．三、追及相遇问题1．追及相遇问题的实质就是分析两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置．2.追及相遇问题的基本物理模型：以甲车追乙车为例．(1)无论v甲增大、减小或不变，只要v甲v乙，甲、乙的距离不断减小．3．分析思路学科网（北京）股份有限公司 可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”．(1)一个临界条件：速度相等．它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析、判断问题的切入点；(2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系．通过画草图找出两物体的位移关系是解题的突破口．4．常用分析方法(1)物理分析法：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立物体运动关系的情境图．能否追上的判断方法(临界条件法)物体B追赶物体A：开始时，两个物体相距x0，当vB＝vA时，若xB>xA＋x0，则能追上；若xB＝xA＋x0，则恰好追上；若xB0，即有两个解，说明可以相遇两次；②若Δ＝0，一个解，说明刚好追上或相遇；③若Δ<0，无解，说明追不上或不能相遇．当t＝－时，函数有极值，代表两者距离的最大或最小值．(3)图像法：在同一坐标系中画出两物体的运动图像．位移－时间图像的交点表示相遇，分析速度－时间图像时，应抓住速度相等时的“面积”关系找位移关系．区分x－t图像和v－t图像1．无论x－t图像、v－t图像是直线还是曲线，所描述的运动都是直线运动，图像的形状反映了x与t、v与t的函数关系，而不是物体运动的轨迹．2．x－t图像中两图线的交点表示两物体相遇，v－t图像中两图线的交点表示该时刻两物体的速度相等，并非相遇．3．位置坐标x－y图像则能描述曲线运动，图线交点表示物体均经过该位置，但不一定相遇，因为不知道时间关系．例题1.如图为一质点做直线运动的v－t图像，下列说法正确的是(　　)A．BC段表示质点通过的位移大小为34m学科网（北京）股份有限公司 B．在18～22s时间内，质点的位移为24mC．整个过程中，BC段的加速度最大D．整个过程中，E点所对应的时刻离出发点最远【答案】A【解析】　BC段，质点的位移为x＝×4m＝34m，选项A正确；在18～22s时间内，质点的位移为x＝m＋(－)m＝0m，选项B错误；由题图看出，CE段图线斜率的绝对值最大，则CE段对应过程的加速度最大，选项C错误；由题图看出，在0～20s时间内，速度均为正值，质点沿正方向运动，在20～22s时间内速度为负值，质点沿负方向运动，所以整个过程中，D点对应时刻离出发点最远，选项D错误．(多选)雨雪天气时路面湿滑，汽车在紧急刹车时的刹车距离会明显增加．如图所示为驾驶员驾驶同一辆汽车在两种路面紧急刹车时的v－t图像，驾驶员的反应时间为1s．下列说法正确的是(　　)A．从t＝0到停下，汽车在湿滑路面的平均速度大于在干燥路面的平均速度B．从t＝1s到停下，汽车在湿滑路面的平均速度大于在干燥路面的平均速度C．从t＝0到停下，汽车在湿滑路面的行驶距离比在干燥路面的行驶距离多15mD．从t＝1s到停下，汽车在湿滑路面的加速度是在干燥路面的加速度的0.75倍【答案】CD【解析】　从t＝0到停下，汽车在湿滑路面的位移为x1＝30×1m＋m＝90m平均速度为v1＝m/s＝18m/s汽车在干燥路面的位移为x2＝30×1m＋m＝75m平均速度为v2＝m/s＝18.75m/s，x1－x2＝15m，故A错误，C正确；从t＝1s到停下，汽车在湿滑路面的平均速度v1′＝m/s＝15m/s，汽车在干燥路面的平均速度v2′＝m/s＝15m/s，故B错误；从t＝1s到停下，汽车在湿滑路面的加速度大小a1＝m/s2＝7.5m/s2，汽车在干燥路面的加速度大小a2＝m/s2＝10m/s2，则从t＝1s到停下，汽车在湿滑路面的加速度是在干燥路面的加速度的0.75倍，故D正确．学科网（北京）股份有限公司 在平直的公路上有甲、乙两辆汽车,它们运动的位置-时间图像如图所示。在0～6s内,根据图像可以判断的是(　　)A.甲、乙运动的方向相同B.甲的速度在5s时大于乙的速度C.甲的速度始终小于乙的速度D.甲、乙会在2～4s之间的某时刻相距最远【答案】C【解析】　因位置-时间图像的斜率表示速度,可知甲、乙运动的方向相反,故A错误;由题图可知,甲图线的斜率小于乙图线斜率的绝对值,则甲的速度小于乙的速度,故B错误,C正确;甲、乙在2～4s之间先逐渐靠近后远离,交点表示相遇,该时间间隔内不存在相距最远的时刻,故D错误。用函数思想分析图像对于非常规运动图像，可由运动学公式推导出两个物理量间的函数关系，来分析图像的斜率、截距、面积的含义．例题2.一物体由静止开始，在粗糙的水平面内沿直线运动，其加速度a随时间t变化的a－t图像如图所示．若选物体开始运动的方向为正方向，那么，下列说法中正确的是(　　)A．在0～2s的时间内，物体先做匀速直线运动后做匀减速运动B．在2s时物体的位移最大C．在2～3s的时间内，物体速度的变化量为－1m/sD．在0～4s的时间内，物体的位移为零【答案】C【解析】　0～1s，加速度不变，物体做匀加速运动，1～2s加速度数值减小，物体做加速度减小的变加速运动，A错误；2s时，加速度为0，速度最大，B错误；a－t图像中图线与横轴所围的面积表示速度的变化量，2～3s的时间内，速度变化量为Δv＝×1×(－2)m/s＝－1m/s，C正确；0～4s内，物体的速度变化量为0，即物体在4s时停止运动，位移不为0，D错误．学科网（北京）股份有限公司 动力车在刹车过程中位移和时间的比值与t之间的关系图像如图所示，则下列说法正确的是(　　)A．动力车的初速度为20m/sB．刹车过程动力车的加速度大小为2.5m/s2C．刹车过程持续的时间为8sD．4s内刹车位移为60m【答案】　A【解析】　由题图可得＝－2.5t＋20(m/s)，根据匀变速直线运动位移与时间的关系式x＝v0t＋at2，得＝at＋v0，对比可得，v0＝20m/s，a＝－5m/s2，即刚刹车时动力车的速度大小为20m/s，刹车过程动力车的加速度大小为5m/s2，故A正确，B错误；刹车过程持续的时间为t＝＝s＝4s，故C错误；整个刹车过程动力车经过的位移为x＝t＝×4m＝40m，故D错误．如图所示是某物体做直线运动的v2－x图像(其中v为速度，x为位置坐标)，下列关于物体从x＝0处运动至x＝x0处的过程分析，其中正确的是(　　)A．该物体做匀加速直线运动B．该物体的加速度大小为C．当该物体的速度大小为v0时，位移大小为x0D．当该物体的位移大小为x0时，速度大小为v0【答案】C【解析】　由匀变速直线运动速度与位移的关系式v2－v02＝2ax可得v2＝2ax＋v02，由题图可知物体的加速度恒定不变，由于物体的速度减小，故物体做匀减速直线运动，选项A错误；由v2＝2ax＋v02知，v2－x学科网（北京）股份有限公司 图像的斜率等于2a，由题图可得2a＝－，则得物体的加速度为a＝－，加速度大小为，选项B错误；当该物体速度大小为v0时，v2＝v02，可得x＝，选项C正确；当该物体位移大小为x0时，可得v2＝v02，速度大小为v0，选项D错误．图像间的相互转化1．解决图像转换类问题的一般流程：2．要注意应用解析法和排除法，两者结合提高选择题图像类题型的解题准确率和速度．例题3.一质点由静止开始做直线运动的v－t关系图像如图所示，则该质点的x－t关系图像可大致表示为选项图中的(　　)【答案】B【解析】根据x－t图像中图线的斜率表示速度可知，该质点的x－t关系图像可大致表示为B图．一物体由静止开始沿直线运动，其加速度随时间变化的规律如图所示．取物体开始运动的方向为正方向，则下列关于物体运动的v－t图像正确的是(　　)学科网（北京）股份有限公司 【答案】C【解析】　　根据加速度随时间变化的图像可得，0～1s内为匀加速直线运动，速度v＝at，速度为正方向，选项D错误；第1s末的速度v＝1m/s,1～2s内加速度变为负值，而速度为正方向，因此为匀减速运动，到2s末，速度减小为0，选项B错误；2～3s，加速度为正方向，初速度为0，物体做正方向的匀加速直线运动，即从第2s开始重复前面的运动，选项C正确，A错误．小明同学利用传感器绘出了一个沿直线运动的物体,在不同运动过程中加速度a、速度v、位移x随时间t变化的图像,如图所示。若该物体在t=0时刻,初速度为零,则表示该物体沿单一方向运动的图像是()【答案】C【解析】　选项A所描述的运动在0～2s内,位移先增大再减小,物体运动的方向发生改变,故A错误;选项B所描述的运动在0～2s内速度为正值,物体向正方向运动,在2～4s内速度为负值,物体向负方向运动,物体运动方向发生改变,故B错误;选项C所描述的运动在0～1s内加速度不变,物体做匀加速直线运动,1～2s内加速度方向改变,大小不变,物体向正方向做匀减速直线运动,2s末速度为零,物体在一个周期内速度的方向不变,故C正确;选项D所描述的运动在0～1s内,向正方向做匀加速直线运动,1～2s内加速度方向改变,大小不变,向正方向做匀减速直线运动,2s末速度为零,2～3s内向负方向做匀加速直线运动,物体运动的方向发生改变,故D错误。常见追及情景(1)速度小者追速度大者情景图像说明学科网（北京）股份有限公司 匀加速追匀速①t＝t0以前，后面物体与前面物体间距离增大②t＝t0时，两物体相距最远，为x0＋Δx(x0为两物体初始距离)③t＝t0以后，后面物体与前面物体间距离减小④能追上且只能相遇一次匀速追匀减速匀加速追匀减速特别提醒：若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动.(2)速度大者追速度小者情景图像说明匀减速追匀速开始追赶时，两物体间距离为x0，之后两物体间的距离在减小，当两物体速度相等时，即t＝t0时刻：①若Δx＝x0，则恰能追上，两物体只能相遇一次，这也是避免相撞的临界条件②若Δxx0，则相遇两次，设t1时刻Δx＝x0，两物体第一次相遇，则t2时刻两物体第二次相遇(t2－t0＝t0－t1)匀速追匀加速匀减速追匀加速例题4.一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶过，从后边超过汽车．则汽车从路口启动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时两车的距离是多少？【答案】2s　6m【解析】　解法一(分析法)：汽车与自行车的速度相等时相距最远，设此时经过的时间为t，两车间的距离为Δx，则有v＝at所以t＝＝2sΔx＝vt－at2＝6m.解法二(极值法)：设汽车在追上自行车之前经过时间t两车相距最远，则Δx＝vt－at2学科网（北京）股份有限公司 代入已知数据得Δx＝6t－t2由二次函数求极值的条件知：t＝2s时，Δx有最大值6m所以t＝2s时两车相距最远，为Δx＝6m.解法三(图像法)：自行车和汽车的v－t图像如图所示，由图可以看出，在相遇前，t1时刻两车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积，v1＝6m/s所以有t1＝＝s＝2s，Δx＝＝m＝6m.汽车A以vA＝4m/s的速度向右做匀速直线运动，发现前方相距x0＝7m处、以vB＝10m/s的速度同向运动的汽车B正开始匀减速刹车直到静止后保持不动，其刹车的加速度大小a＝2m/s2.从刚刹车开始计时．求：(1)A追上B前，A、B间的最远距离；(2)经过多长时间A恰好追上B.【答案】(1)16m　(2)8s【解析】　汽车A和B的运动过程如图所示．(1)当A、B两汽车速度相等时，两车间的距离最远，即v＝vB－at＝vA，触得t＝3s此时汽车A的位移xA＝vAt＝12m汽车B的位移xB＝vBt－at2＝21m故最远距离Δxmax＝xB＋x0－xA＝16m.学科网（北京）股份有限公司 (2)汽车B从开始减速直到静止经历的时间t1＝＝5s运动的位移xB′＝＝25m汽车A在t1时间内运动的位移xA′＝vAt1＝20m此时相距Δx＝xB′＋x0－xA′＝12m汽车A需再运动的时间t2＝＝3s故A追上B所用时间t总＝t1＋t2＝8s.一汽车在直线公路段上以54km/h的速度匀速行驶，突然发现在其正前方14m处有一辆自行车以5m/s的速度同向匀速行驶．经过0.4s的反应时间后，司机开始刹车，则：(1)为了避免相撞，汽车的加速度大小至少为多少？(2)若汽车刹车时的加速度大小只有4m/s2，在汽车开始刹车的同时自行车开始以一定的加速度匀加速行驶，则自行车的加速度至少为多大才能保证两车不相撞？【答案】(1)5m/s2　(2)1m/s2【解析】　(1)设汽车的加速度大小为a，初速度v汽＝54km/h＝15m/s，初始距离d＝14m在经过反应时间0.4s后，汽车与自行车相距d′＝d－(v汽－v自)t0＝10m从汽车刹车开始计时，自行车的位移为：x自＝v自t汽车的位移为：x汽＝v汽t－at2假设汽车能追上自行车，此时有：x汽＝x自＋d′代入数据整理得：at2－10t＋10＝0要保证不相撞，即此方程至多只有一个解，则：Δ＝102－20a≤0，解得：a≥5m/s2.汽车的加速度大小至少为5m/s2.(2)设自行车加速度为a′，同理可得：x汽′＝x自′＋d′x自′＝v自t＋t2学科网（北京）股份有限公司 整理得：(a′＋2)t2－10t＋10＝0要保证不相撞，即此方程至多只有一个解，则：Δ′＝102－20a′－80≤0解得：a′≥1m/s2.自行车的加速度大小至少为1m/s2.图像法在追及相遇问题中的应用1．x－t图像、v－t图像中的追及相遇问题：(1)利用图像中斜率、面积、交点的含义进行定性分析或定量计算．(2)有时将运动图像还原成物体的实际运动情况更便于理解．2．利用v－t图像分析追及相遇问题：在有些追及相遇情景中可根据两个物体的运动状态作出v－t图像，再通过图像分析计算得出结果，这样更直观、简捷．3．若为x－t图像，注意交点的意义，图像相交即代表两物体相遇；若为a－t图像，可转化为v－t图像进行分析．例题5.甲、乙两辆玩具车在同一平直路面上行驶，二者运动的位移－时间图像如图所示，其中乙车的位移－时间图线是关于x轴对称的抛物线的一部分，则下列说法正确的是(　　)A．甲车先做匀减速直线运动后做匀速直线运动B．乙车一定做初速度为零的匀加速直线运动C．甲车在0～10s内的平均速度为－1.5m/sD．在0～10s内甲、乙两车相遇两次，且相遇时速度可能相等【答案】B【解析】　甲车先做匀速运动后静止不动，选项A错误；乙车的x－t图像为关于x轴对称的抛物线的一部分，由此得位移方程x＝－at2，可知乙车做初速度为零的匀加速直线运动，选项B正确；甲车在10s内的平均速度v＝＝－0.6m/s，选项C错误；从图像中可知图线相交两次，则两车相遇两次，图线的斜率表示速度，可知两次相遇时甲、乙速度都不同，选项D错误．(多选)甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v－t图像如图所示．已知两车在t＝3s时并排行驶，则(　　)学科网（北京）股份有限公司 A．在t＝1s时，甲车在乙车后B．在t＝0时，甲车在乙车前7.5mC．两车另一次并排行驶的时刻是t＝2sD．甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40m【答案】BD【解析】　根据v－t图像知，甲、乙两车都沿正方向运动．t＝3s时，甲、乙两车并排行驶，此时v甲＝30m/s，v乙＝25m/s，由v－t图线与时间轴所围“面积”对应位移知，0～3s内甲车位移x甲＝×3×30m＝45m，乙车位移x乙＝×3×(10＋25)m＝52.5m．故t＝0时，甲、乙两车相距Δx1＝x乙－x甲＝7.5m，即甲车在乙车前方7.5m，选项B正确；0～1s内，x甲′＝×1×10m＝5m，x乙′＝×1×(10＋15)m＝12.5m，Δx2＝x乙′－x甲′＝7.5m＝Δx1，说明在t＝1s时甲、乙两车第一次并排行驶，选项A、C错误；甲、乙两车两次并排行驶的位置之间的距离为x＝x甲－x甲′＝45m－5m＝40m，选项D正确．假设高速公路上甲、乙两车在同一车道上同向行驶．甲车在前，乙车在后，速度均为v0＝30m/s.甲、乙相距x0＝100m，t＝0时刻甲车遭遇紧急情况后，甲、乙两车的加速度随时间变化分别如图甲、乙所示．取运动方向为正方向．下列说法正确的是(　　)A．t＝3s时两车相距最近B．t＝6s时两车速度不相等C．t＝6s时两车距离最近，且最近距离为10mD．两车在0～9s内会相撞【答案】C【解析】　由题给图像画出两车的v－t图像如图所示，由图像可知，t＝6s时两车等速，此时距离最近，图中阴影部分面积为0～6s内两车位移之差，即Δx＝x乙－x甲＝[×30×3＋×30×(6－3)]m＝90mx0＝22m，故两车会相撞．法2：函数法　假设两车在t时刻相撞，由解法1知，两车相撞时，x1′＝x2′＋x0即v1t－a1t2＝v2t＋x0整理得t2－15t＋22＝0这是一个关于时间t的一元二次方程，Δ＝(－15)2－4××22＝5>0，说明该方程有实数解，即两车会相撞．法3：图像法　作出两车运动的v－t图像，图中阴影面积Δx表示两车速度相等时的位移差，由图可知Δx＝×3×15m＝22.5m>22m，说明两车会相撞．9.一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边以10m/s的速度匀速行驶的货车严重超载时，决定前去追赶，经过5.5s后警车发动起来，并以2.5m/s2的加速度做匀加速运动，但警车的行驶速度必须控制在90km/h以内．求：(1)警车在追赶货车的过程中，两车间的最大距离；(2)警车发动后要多长时间才能追上货车．【答案】(1)75m　(2)12s【解析】　　(1)当两车速度相等时，它们的距离最大，设警车发动后经过t1时间两车的速度相等．则：t1＝＝s＝4sx货＝v1＝10×(5.5＋4)m＝95mx警＝at12＝×2.5×42m＝20m所以两车间的最大距离Δx＝x货－x警＝75m(2)警车达到最大速度v＝90km/h＝25m/s所用的时间：t2＝＝10s此时两车的位移分别为学科网（北京）股份有限公司 x警′＝＝m＝125mx货′＝v1＝10×(5.5＋10)m＝155m两车距离Δx′＝x货′－x警′＝30m警车达到最大速度后做匀速运动，设再经过Δt时间追上货车，则：Δt＝＝2s所以警车发动后要经过t＝t2＋Δt＝12s，才能追上货车．10.某一长直的赛道上，一辆F1赛车前方200m处有一安全车正以10m/s的速度匀速前进，这时赛车从静止出发以2m/s2的加速度追赶．(1)求赛车出发3s末的瞬时速度大小；(2)求赛车何时追上安全车及追上之前与安全车的最远距离；(3)当赛车刚追上安全车时，赛车手立即刹车，使赛车以4m/s2的加速度做匀减速直线运动，则两车再经过多长时间第二次相遇？(设赛车可以从安全车旁经过而不相碰)【答案】(1)6m/s　(2)20s　225m　(3)20s【解析】　(1)赛车3s末的速度v1＝a1t1＝2×3m/s＝6m/s.(2)设经t2时间追上安全车，由位移关系得v0t2＋200m＝a1t22解得t2＝20s此时赛车的速度v＝a1t2＝2×20m/s＝40m/s当两车速度相等时，两车相距最远由v0＝a1t3得两车速度相等时，经过的时间t3＝＝s＝5s两车最远相距Δs＝v0t3＋200m－a1t32＝(10×5＋200－×2×52)m＝225m.(3)假设再经t4时间两车第二次相遇(两车一直在运动)由位移关系得vt4－a2t42＝v0t4解得t4＝15s赛车停下来的时间t′＝＝s＝10s学科网（北京）股份有限公司 所以t4＝15s不合实际，两车第二次相遇时赛车已停止运动．设再经时间t5两车第二次相遇，应满足＝v0t5解得t5＝20s.学科网（北京）股份有限公司