河南省南阳市六校2022-2023学年高一下学期第一次联考数学试题 Word版含解析.docx

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2023年春期六校高一年级第一次联考数学试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列角中，与角1560°终边相同的角是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】与终边相同的角即为，代入即可解决.【详解】∵是第二象限角，∴与角1560°终边相同的角是．故选：C．2.在函数①，②，③，④中，最小正周期为的所有函数为（）A.②③B.①③④C.②④D.①③【答案】A【解析】【分析】利用周期函数的定义和周期公式求解.【详解】解：①函数不是周期函数；②的最小正周期为，③的最小正周期为，④的最小正周期为，故选：A． 3.要得到的图象，只需将函数的图象（）A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度【答案】D【解析】【分析】将整理成，然后利用平移变换即可求解.【详解】由于函数，故只需将函数的图象向右平移可得函数的图象.故选：D．4.函数的值域为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】将分离常数，根据正弦函数的有界性与不等式的性质求最值，或者是反解法利用正弦函数的有界性即可解决.【详解】解法一：因为，所以∴或，∴或故的值域为解法二：由，得，易知， 所以，则，解得或故的值域为．故选：B．5.在直径为4cm的圆中，72°的圆心角所对的弧长是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先求出圆心角的弧度，然后利用弧长公式计算出正确答案.【详解】因为，所以72°的圆心角所对的弧长为.故选：A.6.中角为钝角，若角终边上一点的坐标为，则的值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】依题意可得，根据正弦函数、余弦函数的性质及诱导公式得到、，从而得到为第二象限角，即可得到、、的取值情况，即可得解.【详解】解：∵中角为钝角，∴得，∴，即，，同理可得，，点位于第二象限，即为第二象限角，所以、、，所以.故选：B 7.若函数在区间上单调递减，且在区间上有唯一的实数解，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求得函数的单调递减区间，再根据在区间上单调递减，由为单调递减区间的子集求得的范围，由，得到，根据方程在上有唯一解，由求解.【详解】解：由题意令，解得，，∵在区间上单调递减，∴且，，∴，，当时，，因为方程在上有唯一解，则有，解得，综上，的取值范围为，故选：C． 8.将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若为偶函数，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用三角函数的平移变换和伸缩变换得到函数的图象，再根据为偶函数求解.【详解】解：将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象；再将图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数的图象若为偶函数，则，即，，由于，所以当最小时，取得，故选：D．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列结论中正确的是（）A.终边经过点的角的集合是B.时，的解集为C.，，则D.若是第三象限角，则是第二或第四象限角，是第一或第二象限角【答案】ABC【解析】【分析】写出角的集合表示判断A；利用同角公式结合各象限角的三角函数值符号求解判断B ；确定两个集合表示的角终边判断C；由范围求出、范围判断D作答.【详解】终边经过点，则该终边为第一象限的角平分线，即角的集合是，A正确；不等式化为，而，于是，又，所以的解为，B正确：表示终边为一三象限、二四象限的角平分线的角的集合，表示终边为一三象限、二四象限的角平分线以及坐标轴上的角的集合，即，C正确；由于为第三象限角，即，则，即是第二或第四象限角，，即第一或第二象限角或终边在轴非负半轴，D错误.故选：ABC10.如果，下列结论中正确的是（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】A选项，代入求值即可；CD选项，利用诱导公式得到；B选项，利用，求出答案.【详解】，A错误；CD选项，，C错误，D正确；B选项，，B正确． 故选：BD．11.下列各式正确的是（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】根据诱导公式和正余弦函数的单调性比较大小即可.【详解】A中，因为，，由在单调递增，所以，所以A正确；B中，因为，，显然，即，所以B正确：C中，，，故，所以C错误；D中，因为，在内单调递增，所以，所以D正确；故选：ABD．12.已知函数，对于下列说法正确有（）A.要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位长度即可B.在内的单调递减区间为C.的图象关于直线对称D.为奇函数【答案】CD【解析】【分析】对于A，利用平移变换即可求解；对于B，求出的单调减区间即可；对于C，代入检验即可；对于D，化简即可 【详解】对于A，将的图象向左平移个单位可得函数，故A不正确；对于B，令，可得，，取时，减区间为，时，减区间为，∴在内的单调递减区间为，故B不正确；对于C，当时，，恰好是函数的最大值，∴的图象关于直线对称，故C正确；对于D，，∴为奇函数，故D正确．故选：CD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.函数的定义域为______．【答案】，．【解析】【分析】要使函数有意义，则有，可得不等式组的解集，即得原函数的定义域.【详解】要使原函数有意义，必须有即， 解集为,取交集可得原函数的定义域为故答案为：14.已知角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，点是角终边上的一点，则______．【答案】【解析】【分析】根据已知条件，可以求出，代入即可.【详解】∵角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，点是角终边上的一点，∴，∴，，∴故答案为：15.数学中处处存在着美,机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法:先画等边三角形,再分别以、、为圆心,线段长为半径画圆弧,便得到莱洛三角(如图所示).若莱洛三角形的周长为,则其面积是__________．【答案】【解析】【分析】根据图形分析,利用扇形面积和三角形面积求解即可. 【详解】如图,由条件可知,弧长,等边三角形的边长,则以点、、为圆心,圆弧所对的扇形面积为,中间等边的面积,所以莱洛三角形的面积是.故答案为:.16.设函数是定义在上的偶函数，且，当时，，则函数在上所有零点之和为__________．【答案】6【解析】【分析】确定图象关于直线对称，且周期为2，通过变换得到的图像，根据图像知与交点个数为10个，计算得到答案.【详解】是由纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再将x轴下方的图象翻到x轴上方即可得到，又有是定义在上的偶函数，且，所以图象关于直线对称，且周期为2，又因时，，在同一坐标系下，画出及在的图象如下所示： 由图象可知与交点个数为10个，其零点之和为6．故答案为：四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知.（1）化简；（2）若，求的值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)利用诱导公式化简即可.(2)由(1)有,再利用“凑角”的方法与诱导公式求解即可.【详解】（1）；（2）.【点睛】本题主要考查了三角函数诱导公式与的运用,属于基础题型. 18.已知函数，．（1）求的最小正周期；（2）求在上的单调递增区间；（3）当时，求的最大值和最小值．【答案】（1）（2）（3）；．【解析】【分析】（1）利用周期公式即可求解；（2）由，，结合即可求解；（3）由求得，从而利用正弦函数的性质即可求解.【小问1详解】的最小正周期．【小问2详解】由，，得，．又所以函数的单调递增区间为．【小问3详解】∵，∴当，即时，； 当，即时，．19.已知函数的部分图像如图所示：（1）求函数的解析式；（2）用“五点作图法”在给定的坐标系中做出函数在一个周期内的图像．【答案】（1）（2）作图见解析【解析】【分析】（1）根据题意，结合图像可知，然后由的范围即可得到，将代入即可求得；（2）根据题意，由“五点作图法”做出图像即可.【小问1详解】根据的图像可知：，故可得，即，又，故；又，故可得，则或，解得或， 数形结合可知：，即，结合，解得，显然，不满足题意，故，当且仅当时，满足题意；故．【小问2详解】由“五点作图法”找出函数在一个周期内的五个关键点，如表所示．0020-2020.已知函数的最小值为，其图像经过点，且图像上相邻的最高点与最低点之间的距离为4．（1）求函数的解析式；（2）若关于的方程在上有且仅有两个实数根，，求实数的取值范围，并求出的值．【答案】（1） （2），的值见解析.【解析】【分析】（1）由函数的最小值得出，由图像上相邻的最高点与最低点之间的距离为4，根据勾股定理求出，即可求出，再由图像经过点及求出，即可得出的解析式；（2）关于的方程在上有且仅有两个实数根，，即函数与的图像在上有且仅有两个交点，设，画出的图像，即可分析出实数的取值范围，再分区间讨论的值．【小问1详解】由题意，得，，∴，，∴又函数图像经过点，则，即，由，得，∴．【小问2详解】由题意，关于的方程在上有且仅有两个实数根，，即函数与的图像在上有且仅有两个交点，由（1）知．设，则， ∵，∴，则，其函数图像如图所示，由图可知，实数的取值范围为，①当时，，关于对称，则，得；②当时，，关于对称，则，得；综上，实数的取值范围为，当时，的值为；当时，的值为．21.直径为8m的水轮如图所示，水轮圆心距离水面2m，已知水轮沿逆时针方向匀速旋转，每分钟转动6圈，当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间． （1）将点距离水面的高度表示为时间的函数；（2）在水轮转动的一圈内，有多长时间点在水面下？【答案】（1）（2）秒．【解析】【分析】（1）结合图形，利用角速度公式、任意角的概念以及三角函数求解.（2）结合图形，根据三角函数的解析式建立不等式，利用正弦函数解不等式.【小问1详解】由题意可知，，设角是以Ox为始边，为终边的角，由条件得，将，代入，得，∴，∴；【小问2详解】由题意知，即，∴，．即，，∴.答：在水轮转动的一圈内，点在水下时间为秒．22.已知奇函数定义域为实数集，且在上是减函数，是否存在这样的实数，使对所有的 均成立？若存在，求出适合条件的实数的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】存在，【解析】【分析】利用奇函数可将不等式转化成，然后利用减函数可得，令，，得到恒成立，用二次函数的性质求解即可【详解】为上的奇函数，则，又在上为减函数，所以可转化成，即有，∴，即．令，，故则题意可转化为：当时，是否存在，使得恒成立，∴且，即∴，即存在这样的，且．