重庆市凤鸣山中学教育集团实验中学分校2023-2024学年高一上学期期中数学Word版含解析.docx

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凤鸣山中学教育集团实验中学分校2023—2024学年度高一上半期考试数学试题本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置.2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.一、单选题(本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)1.若集合，，则＝（）A.{－1}B.{－1，0}C.{－2，－1，0}D.{－1，0，1}【答案】A【解析】【分析】化简集合，根据交集的定义求.【详解】不等式的解集为，所以，又，所以，故选：A.2.命题“，”的否定为（）A.，B.，C.，D.，【答案】D【解析】【分析】根据全称命题的否定的求解，改量词，否结论即可求得结果.【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题，故原命题的否定是：，.故选：D. 3.已知，那么的大小关系是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用作差法比较大小.【详解】解：，，．，．．故选：B．4.已知，，则是的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充要也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】因为Ü，所以，是的充分而不必要条件.故选：A5.若在上是减函数，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【详解】由函数的对称轴方程为，函数在是减函数，所以，解得，故选B.6.已知函数的对应关系如下表，函数的图象如图的曲线ABC所示，其中，则的值为（） x123f(x)230A.3B.2C.1D.0【答案】C【解析】【分析】根据对应关系先求，再求即可得答案.【详解】解：根据表格的对应关系得，再根据函数图象的对应关系得，故.故选：C.【点睛】本题考查根据对应关系求函数值，是基础题.7.若是定义在上的减函数，则a的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由函数在上为减函数知，分段函数每段都减函数，且时需满足，解不等式组即可求解 【详解】因为是定义在上的减函数，所以，即，解得，故选：A【点睛】易错点睛：本题主要考查了分段函数的单调性，已知分段函数的单调性求参数，需要满足：每段上的单调性，在分段点出的大小关系弄清楚，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于易错题.8.中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为､､，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（）A.B.3C.D.【答案】B【解析】【分析】由公式列出面积的表达式，代入已知，然后由基本不等式求得最大值．详解】由题意，当且仅当，即时等号成立﹐此三角形面积的最大值为3.故选：B．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）9.已知集合，且，则实数的可能值为（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】由已知条件可得出关于实数的等式，结合集合中的元素满足互异性可得出实数的值.【详解】已知集合且，则或，解得或或.若，则，合乎题意；若，则，合乎题意；若，则，合乎题意.综上所述，或或.故选：ABD.10.下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】根据题意，由同一函数的定义，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】对于A，两函数的解析式不同，所以不是同一函数；对于B，两函数定义域都相同为，其次，所以是同一函数；对于C，函数的定义域为，而函数的定义域为，定义域不同，所以不是同一函数；对于D，两函数的定义域相同都为，且解析式相同，所以是同一函数.故选：BD11.下列结论中错误的是（） A.函数是幂函数B.函数既是偶函数又是奇函数C.函数的单调递减区间是D.所有的单调函数都有最值【答案】CD【解析】【分析】根据幂函数的定义判断A；根据函数奇偶性的证明方法判断B；根据函数的单调递减区间判断C；举函数判断D.【详解】对于A，根据幂函数的定义，函数是幂函数，故A正确；对于B，函数，由，解得，所以函数的定义域为，关于原点对称，此时，，所以函数既是偶函数又是奇函数，故B正确；对于C，函数的单调递减区间是和，故C错误；对于D，在上单调递增，但没有最值，故D错误，故选：CD.12.符号表示不超过的最大整数，如，，，定义函数，则下列说法正确的是（）A.函数的定义域为B.函数的值域为C.函数无最大值D.函数在定义域内是增函数【答案】AC【解析】【分析】由题设所给条件，结合的范围，对进行化简，作出函数图像，根据函数图像对各个选项逐一分析判断即可得出结果.【详解】由题知，函数中的为任意实数，所以选项A正确； 当时，，当时，，当时，，当时，，以此类推，作出函数的部分图像，如图所示，由图知，函数值域为，所以选项B错误，选项C正确；又由图可知，在定义域上没有单调性，所以选项D错误，故选：AC.三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知幂函数在上单调递增，则的解析式是_____.【答案】【解析】【分析】根据幂函数的定义和性质求解.【详解】解：是幂函数，，解得或，若，则，在上不单调递减，不满足条件；若，则，在上单调递增，满足条件；即.故答案为：14.已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是_______．【答案】 【解析】【分析】由基本不等式求得的最小值，然后解相应的不等式可得的范围．【详解】∵，，且，∴，当且仅当，即时等号成立，∴的最小值为8，由解得，∴实数的取值范围是故答案为：．【点睛】方法点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题第一步是利用基本不等式求得的最小值，第二步是解不等式．15.已知定义在R上的奇函数，在上为减函数，且，则不等式的解集___________.【答案】或【解析】【分析】根据函数的奇偶性以及上为减函数可判断在上的单调性，结合即可求得不等式的解集.【详解】由题意知定义在R上的奇函数，在上为减函数，故在上也为减函数，又，则，故当或时，；当或时，， 所以不等式的解集为或，故答案为：或．16.已知函数，则______，的最小值是_______【答案】①.7②.5【解析】【分析】根据函数解析式，分别求得、的函数值，再作差就可以得；由题知当时，函数为周期函数，周期为，进而结合题意讨论得最小值即可得当时，有最小值，另一方面根据函数单调性得当时，函数最小值为，进而得答案.【详解】解:依题意，，所以，因为当时，，即当时，函数为周期函数，周期为当时，有.所以由得与时有相同的最小值，因为时，，最小值为.所以，当时，有最小值，另一方面，当时，为单调递增函数，最小值为.综上，的最小值是.故答案为：；.四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知全集，集合，集合，求：（1），（2），.【答案】（1），；（2）；【解析】 【分析】（1）根据交集和并集的定义，即可求解；（2）根据补集的定义，以及混合运算，即可求解.【小问1详解】由全集，集合，集合，可知，，；【小问2详解】，则，，则.18.已知：集合，（1）若，求；（2）若是的充分条件，求实数的取值范围；（3）若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）直接利用交集的定义求解即可，（2）由题意可得，列出关于的不等式组，可求出的范围，（3）分和两种情况求解.【小问1详解】当时，，因为所以.【小问2详解】因为是的充分条件， 所以，则，解得，即实数的取值范围为.【小问3详解】当时，，解得：，满足；当时，若，则或，解得或；综上所述，实数的取值范围为.19.已知函数，.（1）判断该函数的奇偶性，并说明理由；（2）判断函数在上的单调性，并证明.【答案】（1）函数为奇函数，理由见解析（2）在上是增函数，证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意可求的解析式及定义域，利用奇偶函数的定义判断即可.（2）利用函数单调性，按照取值、作差、变形、判号、下结论的步骤即可证明.【小问1详解】由可得，所以易知定义域为关于原点对称，且满足所以为奇函数；【小问2详解】函数在上是增函数，理由如下取，且，则 由，且，所以，因此可得，即，即在上是增函数.20.已知指数函数，且过点.（1）求函数的解析式；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，由求解；（2）利用函数在R上递减，将不等式转化为求解.【小问1详解】解：因为指数函数，且过点，所以，解得，所以函数的解析式为；【小问2详解】由（1）知函数在R上递减，，转化为，所以，解得，所以实数的取值范围是. 21.已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．（1）已知函数的部分图象如图所示，请根据条件将图象补充完整，并写出函数的单调递增区间；（2）写出函数的解析式；（3）若关于的方程有个不相等的实数根，求实数的取值范围.（只需写出结论）【答案】（1）图象见解析，函数的单调递增区间为（2）（3）【解析】【分析】（1）利用偶函数的性质，即可画出函数的图象，再根据图象求函数的单调递增区间；（2）利用函数是偶函数，求函数的解析式；（3）利用数形结合，转化为与有4个交点，求的取值.【小问1详解】单调递增区间为.【小问2详解】设，则，所以，因为是定义在上的偶函数， 所以，所以当时，.故的解析式为【小问3详解】因为有个不相等的实数根，等价于与的图象有个交点，结合（1）中的图象可知，当时，与的图象有个交点，所以.22.十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，年某企业计划引进新能源汽车生产设备看，通过市场分析，全年需投入固定成本万元，每生产（百辆）需另投入成本（万元），且.由市场调研知，每辆车售价万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.（1）求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润=销售额—成本）（2）当年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.【答案】（1）（2）百辆，最大利润为万【解析】【分析】（1）根据题意分情况列式即可；（2）根据分段函数的性质分别计算最值.【小问1详解】由题意得当时，，当时，， 所以,【小问2详解】由（1）得当时，，当时，，当时，，当且仅当，即时等号成立，，时，，，时，即年产量为百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为万元.