新疆石河子第一中学2023-2024学年高三上学期9月月考数学 Word版含解析.docx

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2023-2024学年第一学期高三年级9月月考数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，或，则（）A.B.C.D.2【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式求集合M，再由集合的交运算求集合.【详解】由，又或，所以.故选：B2.函数的零点是（）A.或B.或C或D.或【答案】C【解析】【分析】根据函数零点的定义，令，解方程即可得出答案.【详解】令，即，解之得，或，所以函数的零点为或.故选：C.【点睛】本题考查函数零点的定义，解题时应注意“零点”是一个“数”而不是一个“点”，是方程的根，属于基础题.3.不等式“”是“”成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】【分析】分别解不等式后即可判断.【详解】由，可得，充分性不成立；由，可得，可得，必要性成立．故选：B4.已知，，，则（）．A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据对数函数与指数函数的性质比较与的大小即可得结论.【详解】因为，，，所以．故选：D.5.函数在区间上的图象为（）A.B.CD.【答案】D【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，然后代入计算，从而得正确答案.【详解】， 奇函数，排除A；又，排除B；，即，排除C，故选：D6.已知一元二次不等式的解集为，则的最大值为（）A.-2B.-1C.1D.2【答案】A【解析】【分析】先根据一元二次不等式的解集求参，再结合基本不等式求最值即可.【详解】的解集为，故为方程的两个根，且（当且仅当时等号成立）.故选：A.7.已知定义在上的函数满足，且在上是增函数.不等式对于恒成立，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由已知可判断函数的对称性和单调性，从而可得在上恒成立，进而可求出 的取值范围.【详解】由题可知，的图象关于轴对称，且在上单调递减，由得在上恒成立，得在上恒成立，因为和单调递增，所以当时，取最大值为；当时，取最小值为，所以.故选:A.8.已知函数，若存在使得关于的不等式成立，则实数的取值范围（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】将不等式变形为，构造函数，分析可知该函数为增函数，可得出，求出函数的最小值，可得出关于实数的不等式，即可得出实数的取值范围.【详解】因为，由可得，即函数的定义域为，可得，即，构造函数，其中，则，故函数在上单调递增，所以，，可得，则，即，其中，令，其中，则，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以，，解得. 故选：C.【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于将不等式变形为，结合不等式的结果构造函数，转化为函数的单调性以及参变量分离法求解.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】根式的运算及根式与指数互化判断A、B；应用对数的运算性质判断C、D.【详解】A：，故错误；B：，故正确；C：，故正确；D：，故错误.故选：BC.10.设，，则（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】由不等式的基本性质可判断选项，；利用作差法即可判断选项；取特殊值即可判断选项．【详解】因为，，所以，故错误；因为，所以，，，所以，即，故正确；因为，所以，，则，所以，故正确； 取，，可得，，，故错误．故选：．【点睛】方法点睛：利用作差法比较大小，一般采取把差变为几个因式的乘积，先确定各因式的符号，从而确定出差的符号.11.下列结论中正确的是（）A.若幂函数的图象经过点，则B.若函数的定义域为，则函数的定义域为C.若，则，D.若幂函数，则对任意，都有【答案】CD【解析】【分析】根据幂函数的定义及性质判断A；由抽象函数的定义域求法判断B；应用换元法求函数解析式判断C；利用分析法证明D.【详解】A：设，则，即，所以，解得，所以，错误；B：因为函数的定义域为，对于函数，则，解得，即函数的定义域为，错误；C：若，令，可得，所以，，其中，所以，，，正确；D：对任意，要证明不等式，只需证明，即，故只需证明，此不等式显然成立，正确.故选：CD. 12.已知函数对都有，且函数的图像关于点对称，当时，，则下列结论正确的是（）A.B.在区间上单调递增C.是R上的偶函数D.函数有6个零点【答案】ABD【解析】【分析】根据给定条件，分析函数的性质，结合指定区间上的解析式，逐项分析计算、判断作答.【详解】对都有，则，即函数是周期函数，周期为4，函数的图像向左平移1个单位得函数的图象，又函数的图像关于点对称，因此函数的图象关于点对称，即函数是R上的奇函数，当时，，即函数在上递增，在上单调递增，而，因此在上递增，由得：，则的图象关于直线对称，函数在上递减，对于A，，A正确；对于B，因函数在上递增，函数的周期为4，则在上递增，B正确；对于C，因，即有，函数不是R上的偶函数，C不正确；对于D，函数的零点，即函数与图象交点的横坐标，在同一坐标系内作出函数与的部分图象，如图， 因函数的最大值为1，而当时，，因此函数与图象的交点在内，观察图象知，函数与图象在内只有6个交点，所以函数有6个零点，D正确.故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.的值域为__________【答案】【解析】【分析】通过换元法，求换元后的值域即可.【详解】设则，，故函数的值域为.故答案为：14.已知，则的值为_____________． 【答案】4【解析】【分析】根据即可得到结果.【详解】因为，所以，故答案为4.【点睛】本题主要考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为______．【答案】【解析】【分析】考虑，，三种情况，根据函数的奇偶性计算函数解析式，解不等式得到答案.【详解】①当时，，，即，即，解得；②当时，，不成立；③当时，，，即，即，解得；综上所述：.故答案为：.16.已知函数，，若曲线与曲线在公共点处的切线相同，则实数________．【答案】1【解析】【分析】设函数，的公共点为，则，代入化简即可求得，令，易得在上单调递增，即可求出，进而求得实数的值.【详解】设函数，的公共点为，则即 则．令，易得在上单调递增，所以以由，解得，所以切点为，所以，则．故答案为：1.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合，．（1）求，；（2）若集合，且，求实数的取值范围.【答案】（1）；或；（2）.【解析】【分析】（1）解一元二次不等式化简集合B，再利用补集、交集的定义求解作答.（2）由（1）的结论，利用集合的包含关系列式求解作答.【小问1详解】解不等式，即，解得或，则或，所以，而或，则或.【小问2详解】由（1）知，，因，当，即，时，满足，则，当时，，解得，于是得，所以实数的取值范围是.18.已知函数．（1）求在处的切线方程；（2）求函数单调区间与极值. 【答案】（1）；（2）函数的单调递增区间为和，单调递减区间为，极大值为，极小值为.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，计算出和的值，利用点斜式写出切线的方程；（2）解方程，然后列表对函数进行分析，可得出函数的单调区间和极值.【小问1详解】∵，，，，因此，函数在点处的切线方程为，即；【小问2详解】因为，令，得或，当变化时，，变化如下：极大值极小值因此，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为，极大值为，极小值为.19.已知a，b为常数，且，，.（1）若方程有唯一实数根，求函数的解析式 （2）当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据及方程有唯一解，结合根的判别式列出方程组，求出，得到解析式；（2）只需求出大于或等于，利用函数单调性求出，得到不等式，求出答案.小问1详解】由题意得，故，即有唯一实数根，故，解得，故，故；【小问2详解】，不等式恒成立，只需的最小值大于或等于，当时，在上单调递增，故，所以，解得，所以实数a的取值范围是.20.已知函数是定义域为的奇函数，且（1）求实数a，b的值．（2）判断在上的单调性，并用定义法证明．（3）解不等式：.【答案】（1）；（2）在上为增函数，证明见解析 （3）【解析】【分析】（1）根据题意列出方程组，求出；（2）利用定义法求解函数单调性步骤：取点，作差，变形判号，下结论；（3）根据函数奇偶性和单调性，结合函数定义域得到不等式组，求出解集.【小问1详解】由题意得，解得，经验证满足题设；【小问2详解】在上是增函数，证明如下：在上任取两数且，则，因为，所以，，故，即，所以在上为增函数；【小问3详解】为奇函数，定义域为，由得，∵在上为增函数，∴，解得.所以原不等式的解集为21.设函数，其中． （1）若，且为上偶函数，求实数的值；（2）若，且在上有最小值，求实数的取值范围并求出这个最小值；（3），，解关于的不等式．【答案】（1）；（2）；最小值；（3）当，即时，解集为；当，即时，解集为．【解析】【分析】（1）由题中偶函数这一条件，利用特殊值“1”与其相反数“-1”函数值相等列式求解，并注意检验；（2）代入参数值后观察式子知要进行换元，转化为二次函数在区间内有最小值的问题；（3）将原式参变分离后讨论不同范围时原不等式的解集即可.【详解】解：（1），所以，所以，检验，此时，，所以，为偶函数；（2），令，则在上有最小值，当且仅当，且即时，，即函数有最小值．（3），所以，所以，因为，，所以．①，即，解集为；②，即，解集为． 所以当，即时，解集为；当，即时，解集为．22.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，证明.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】(1)求出函数的导函数，分和讨论，结合函数的定义域，可得到函数的单调区间.(2)当时，由（1）得，,即证明当时，，设，求导讨论出函数的单调性，求出其最小值，即可证明.【详解】解：（1）函数的定义域是，，（i）若，当时，，当时，，故在递增，在递减，（ii）若，当时，，当时，，故在递增，在递减；（2）当时，由（1）得，，令， 设，则，，∵，当时，，当时，，故在递增，在递减，故，故时，成立．【点睛】本题考查利用导数讨论函数的单调性和利用导数证明不等式,属于中档题.