新疆维石河子市第一中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学Word版含解析.docx

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2023-2024学年高二年级第一学期12月月考数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.等差数列中，若，则（）A.12B.18C.6D.92.若直线，平行，则实数的值为（）A.B.3C.1或D.或33.在各项均为正数的等比数列中，，，则（）A.16B.C.24D.4.已知直线与圆交于A，B两点，则线段的垂直平分线方程为（）A.B.C.D.5.空间中有三点，则点到直线的距离为（）A.B.C.D.6.已知等差数列的前项和为，，，则使得不等式成立的最大的的值为（）A.B.C.D.7.设抛物线的焦点为，点在上，，若，则（）AB.12C.D.8.数列满足，，则数列的前80项和为（）A.1640B.1680C.2100D.2120二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9.下列有关数列的说法正确的是（）A.数列-2023,0,4与数列4,0,-2023是同一个数列B.数列的通项公式为,则110是该数列的第10项C.在数列中,第8个数是D.数列3,5,9,17,33,…的一个通项公式为10.已知正三棱柱的各棱长都为1，为的中点，则（）A.直线与直线为异面直线B.平面C.二面角的正弦值为D.若棱柱的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为11.已知正项数列的前项和为，且，则（）A.是递减数列B.是等差数列C.D.12.已知椭圆：的左右焦点分别为、，点在椭圆内部，点在椭圆上，椭圆的离心率为，则以下说法正确的是（）A.离心率的取值范围为B.当时，的最大值为C.存在点，使得D.的最小值为1三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡中的横线上.）13.若焦点在轴上的椭圆的焦距为，则实数的值为_________． 14.已知为等比数列，公比，，且成等差数列，则通项公式_________．15.已知数列满足．则的通项公式为_________．16.已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点P，使得过点P所作的圆的两条切线，切点为A、B，且，则双曲线的离心率的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在平面直角坐标系中，点到，两点的距离之和为4（1）写出点轨迹的方程；（2）若直线与轨迹有两个交点，求的取值范围.18.（1）已知等差数列的前项和为，且满足，．求数列的通项公式；（2）已知数列满足，，求通项公式．19.已知圆的圆心在直线上且与y轴相切于点.（1）求圆的标准方程；（2）若直线l过点且被圆截得弦长为，求直线l的方程.20.已知数列中，，．（1）证明数列等差数列，并求通项公式；（2）若对任意，都有成立，求的取值范围．21.已知四棱锥的底面为等腰梯形，，，，平面. （1）求证：；（2）若四棱锥的体积为2，求平面与平面夹角的余弦值.22.已知双曲线经过点，且离心率2.（1）求的方程；（2）过点作轴的垂线，交直线于点，交轴于点.设点为双曲线上的两个动点，直线的斜率分别为，若，求. 2023-2024学年第一学期高二年级12月月考数学学科试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在等差数列中，若，则（）A.12B.18C.6D.9【答案】D【解析】【分析】根据等差数列的性质转化运算即可.【详解】因为等差数列中，所以，所以.故选：D.2.若直线，平行，则实数的值为（）A.B.3C.1或D.或3【答案】D【解析】【分析】根据两直线平行列方程，由此求得.【详解】由于两直线平行，所以，解得或，当时，，两直线平行.当时，，两直线平行.综上所述，的值为或.故选：D3.在各项均为正数的等比数列中，，，则（）A.16B.C.24D.【答案】C【解析】【分析】根据，，利用等比数列的通项公式求解. 【详解】解：在各项均为正数的等比数列中，，，所以，解得或（舍去）或（舍去），此时，所以，故选：C4.已知直线与圆交于A，B两点，则线段的垂直平分线方程为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据互相垂直两直线斜率之间的关系、圆的几何性质进行求解即可.【详解】由，圆心坐标为，由，所以直线的斜率为，因此直线的垂直垂直平分线的斜率为，所以直线的垂直垂直平分线方程为：，故选：A5.空间中有三点，则点到直线的距离为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】分别求出，即可得，，再根据点到直线的距离为即可得解. 【详解】解：，则，，则，所以点到直线的距离为.故选：A.6.已知等差数列的前项和为，，，则使得不等式成立的最大的的值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】结合等差数列的前项和，根据等差数列的性质判断．【详解】是等差数列，∴，又，所以，公差，因此中，当时递减，是最小值，从开始，递增，又，，所以使得的最大的为11，故选：C．7.设抛物线的焦点为，点在上，，若，则（）A.B.12C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，得到所以，结合抛物线的几何性质，得到轴，利用勾股定理，即可求解.【详解】由抛物线，可得，所以焦点， 因为，根据抛物线的定义，可得，又因为，所以，因为，即抛物线的通径长为，所以轴，所以.故选：C.8.数列满足，，则数列的前80项和为（）A.1640B.1680C.2100D.2120【答案】A【解析】【分析】利用周期性以及等差数列进行求解.【详解】设，因为的周期为，所以的周期为.又，，所以当n为奇数时，，所以当n为偶数时，.又，所以，，，于是得到，同理可求出，…， 设，则数列是以6为首项，8为公差的等差数列，所以数列的前80项和为数列的前20项和.故B，C，D错误.故选：A.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.下列有关数列的说法正确的是（）A.数列-2023,0,4与数列4,0,-2023是同一个数列B.数列的通项公式为,则110是该数列的第10项C.在数列中,第8个数是D.数列3,5,9,17,33,…的一个通项公式为【答案】BCD【解析】【分析】根据数列概念即可得选项A正误;利用数列的通项公式等于110,计算出结果,即可得选项B的正误;根据数列的规律,即可得选项C、D的正误.【详解】解:因为数列-2023,0,4的首项是-2023,而数列4,0,-2023的首项是4,所以两个数列不是同一个,故选项A错误;当时,解得:或(舍),即110是该数列的第10项,故选项B正确;因为数列可写为:,所以第8个数是,故选项C正确;因为所以可以看做数列的一个通项公式,故选项D正确.故选：BCD10.已知正三棱柱的各棱长都为1，为的中点，则（）A.直线与直线为异面直线 B.平面C.二面角的正弦值为D.若棱柱的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为【答案】ABD【解析】【分析】连接、交于点，连接，即可证明，从而得到平面，即可判断A、B，建立空间中直角坐标系，利用空间向量法判断C，求出外接圆的半径，即可求出正三棱柱外接球的半径，即可判断D.【详解】连接、交于点，连接，则为的中点，又为中点，所以，平面，平面，所以平面，故B正确；又，平面，所以与不平行且无公共点，所以直线与直线为异面直线，故A正确；取的中点，连接，则，又平面，则平面，又，如图建立空间直角坐标系，则，，，所以，，设平面的法向量为，则，取，又平面的法向量可以为，设二面角为，显然为锐二面角，则，所以，即二面角的正弦值为，故C错误； 外接圆的半径，所以正三棱柱外接球的半径，所以该球的表面积，故D正确.故选：ABD11.已知正项数列的前项和为，且，则（）A.是递减数列B.是等差数列C.D.【答案】ACD【解析】【分析】根据题中的递推公式，分别可求出，，，从而可对各项进行求解.【详解】因为，所以.因为，所以.当时，因为，所以，所以，所以是首项为1，公差为的等差数列，故D正确；因为，所以，故B错误；因为（也满足）， 所以，所以是递减数列，故A正确；因为，即，所以C正确.故选：ACD12.已知椭圆：的左右焦点分别为、，点在椭圆内部，点在椭圆上，椭圆的离心率为，则以下说法正确的是（）A.离心率的取值范围为B.当时，的最大值为C.存在点，使得D.的最小值为1【答案】ABD【解析】【分析】A项中需先解出的范围，然后利用离心率的定义进行判断；B项中根据椭圆定义转化为求的最大值，从而进而判断；C项中先求出点的轨迹方程，再判断该轨迹图形与椭圆是否有交点，从而进行判断；D项中根据椭圆定义得，并结合基本不等式判断.【详解】对于A项：因为点在椭圆内部，所以，得，所以得：，故A项正确；对于B项：由椭圆定义知，当在轴下方时，且，，三点共线时，有最大值， 由，得，，所以得，所以最大值，故B项正确；对于C项：设，若，即：，则得，即点在以原点为圆心，半径为的圆上，又由A项知：，得，又因为，得，所以得：，所以该圆与椭圆无交点，故C项错误；对于D项：由椭圆定义得，所以，当且仅当时取等号，故D项正确.故选：ABD.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡中的横线上.）13.若焦点在轴上的椭圆的焦距为，则实数的值为_________．【答案】【解析】【分析】根据焦距求得，结合椭圆的方程求得.【详解】由于椭圆焦距为，所以，由于椭圆的焦点在轴上，，所以，解得.故答案为： 14.已知为等比数列，公比，，且成等差数列，则通项公式_________．【答案】【解析】分析】由成等差数列，得，然后利用等比数列通项公式，代入求出公比即可.【详解】由成等差数列，且，得，解得或，又，所以，所以，故答案为：.15.已知数列满足．则的通项公式为_________．【答案】【解析】【分析】利用数列通项和前n项和间的关系求解.【详解】解：当时，，，时，，两式相减可得，，，当时，适合上式，，故答案为：16.已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点P，使得过点P所作的圆的两条切线，切点为A、B，且，则双曲线的离心率的取值范围是______． 【答案】【解析】【分析】连接，则，设点，则，分析可得，可得范围，进而可得离心率的范围.【详解】连接，则，由切线长定理可得，又，，所以所以，则设点，则，且，所以所以，故.故答案为：.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在平面直角坐标系中，点到，两点的距离之和为4（1）写出点轨迹的方程； （2）若直线与轨迹有两个交点，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用定义法求椭圆方程即可；（2）利用椭圆与直线位置关系的判断方法即可.【小问1详解】由椭圆定义可知，轨迹是以，为焦点，长半轴长为2的椭圆，故，，，其方程为.【小问2详解】联立得，因为有两个交点，所以，解得，所以的取值范围为.18.（1）已知等差数列的前项和为，且满足，．求数列的通项公式；（2）已知数列满足，，求通项公式．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用等差数列通项公式和求和公式列方程求解即可；（2）利用累乘法求解通项公式.【详解】（1）依题意，设数列公差为，因为，所以，解得：， 所以；（2），，．19.已知圆的圆心在直线上且与y轴相切于点.（1）求圆的标准方程；（2）若直线l过点且被圆截得的弦长为，求直线l的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）设圆心坐标为，结合题意得到，求得圆心，再由，即可求得圆的方程；（2）根据圆的弦长公式，化简得到，分的斜率不存在和存在，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可求解.【小问1详解】解：圆的圆心在直线上且与轴切于点，可设圆心坐标为，则，解得，.所以圆心，半径，故圆的方程为.【小问2详解】解：由直线l过点且被圆C截得的弦长为， 根据圆的弦长公式，可得，即，解得，当的斜率不存在时，的方程为，此时不满足条件；当的斜率存在时，设直线的斜率为，则方程为，即，可得，解得或，所以直线方程为或.20.已知数列中，，．（1）证明数列是等差数列，并求通项公式；（2）若对任意，都有成立，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据已知可推出，又，即可得到，进而求出通项公式；（2）经化简可得，.令，根据求出时，最大，即可得出的取值范围．【小问1详解】证明：由已知可得，，又，所以，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列.所以，所以，所以.【小问2详解】 由（1）知，.所以，所以.则由可得，对任意，都成立.令，假设数列中第项最大，当时则，有，即，整理可得，解得，所以.因为，所以，.又，所以数列中第2项最大，即对任意，都成立.所以由对任意，都成立，可得.21.已知四棱锥的底面为等腰梯形，，，，平面.（1）求证：；（2）若四棱锥的体积为2，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】 【分析】（1）根据梯形的性质求解可证，进而根据线线垂直即可求证，（2）建立空间直角坐标系，利用法向量求解平面夹角，或者利用几何法，结合线面垂直找到两平面的夹角，根据三角形的边角关系即可求解.【小问1详解】∵平面，平面，∴，过点作，由为等腰梯形，，故，所以，即，即，平面，∴平面，平面，故.小问2详解】方法一:，∵,，∴.如图，建立空间直角坐标系， ，，，，,设平面法向量为，则，，取，得同理，设面法向量为，则，，取，得，由题意，.设平面与平面夹角为，则，方法二：，∵,，∴.∵平面，平面，∴平面平面，过作，则平面垂足为，平面，则,过作的垂线，垂足为，连，由于平面,所以平面,平面，故， 则为所求二面角夹角的平面角.，所以,,，，.22.已知双曲线经过点，且离心率为2.（1）求的方程；（2）过点作轴的垂线，交直线于点，交轴于点.设点为双曲线上的两个动点，直线的斜率分别为，若，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意求出即可得解；（2）设，方法一：分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，设直线方程为，联立方程，利用韦达定理求得，再根据求出的关系，从而可得直线过定点，进而可得出答案.方法二：可设直线方程为，由可得，再根据求出，从而可得直线过定点，进而可得出答案.【小问1详解】 由题意得，解得，所以的方程为；【小问2详解】由题意，点坐标为，点坐标为，设，方法一：①若直线斜率存在，设直线方程为，，消去可得，且，且，，整理可得，，化简得，即，因为直线不过点，所以，所以，即，所以直线的方程为，恒过定点，②若直线斜率不存在，则， ，解得，所以直线的方程为，过定点，综上，直线恒过定点，设点到直线的距离为，点到直线的距离为，.方法二：因为直线不过点，所以可设直线方程为，由可得，即，，得，等式左右两边同时除以，得，，，解得，所以直线方程为，即，恒过定点，下同法一. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.