四川省泸州市泸县第一中学2023-2024学年高一上学期期末数学题 Word版含解析.docx

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泸县一中高2023级高一上期期末考试数学试题本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知A，B均为全集的子集，且，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据补集与交集定义进行计算得出结果.【详解】已知全集，且，所以，又，所以，若，则，所以，这与矛盾，所以，同理.所以.故选：D.2.已知定义域为，则的定义域为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据复合函数的定义域求解规则求解即可.【详解】解：因为定义域为，所以函数的定义域为，所以，的定义域为需满足，解得. 所以，的定义域为.故选：A3.已知集合，，则集合的真子集个数为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先根据集合的定义和集合中元素的互异性写出集合，然后根据真子集的性质求解.【详解】依题意，集合中有个元素，则其真子集的个数有个.故选：C4.若函数在上单调递减，则实数m的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据幂函数的单调性求解.【详解】因为函数在上单调递减，所以,解得，故选:C.5.方程x+sinx=0的根有(　　)A.0个B.1个C.2个D.无数个【答案】B【解析】【分析】设，方程的根的个数，转化为两个图像有几个交点的问题，由数形结合得出结果.【详解】设，在同一直角坐标系中画出的图像，如图所示，由图知的图像仅有一个交点，则方程x+sinx=0仅有一个根. 故选B【点睛】本题考查了方程的根有几个，转化为两个图像有几个交点的问题，属于基础题.6.下列函数中，周期为，且在区间上单调递减的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求出各选项中函数的周期，并判断出各选项中函数在区间上的单调性，可出得出结论.【详解】对于A选项，函数的最小正周期为，当时，，该函数在区间上不单调；对于B选项，函数的最小正周期为，当时，，该函数在区间上单调递减；对于C选项，函数的最小正周期为，当时，，该函数在区间上不单调；对于C选项，函数的最小正周期为，当时，， 该函数在区间上单调递减.故选：D.【点睛】本题考查三角函数周期的求解，以及在某区间上单调性的判断，解题时要充分利用正弦函数或余弦函数的基本性质来进行判断，考查推理能力，属于中等题.7.若，则的最小值为（）A.4B.5C.6D.8【答案】C【解析】【分析】化简原式得，然后利用基本不等式求解【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，故，的最小值为6．故选：C．8.高德纳箭头表示法是一种用来表示很大的整数的方法，它的意义来自乘法是重复的加法，幂是重复的乘法.定义：，（从右往左计算）.已知可观测宇宙中普通物质的原子总数约为，则下列各数中与最接近的是（）（参考数据：）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据高德纳箭头表示法即可求解，进而根据对数的运算与指数的互化即可求解.【详解】因为，故，取对数得 ，故，故最接近的是，故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知角的终边与单位圆相交于点，则（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】根据三角函数定义得到正弦，余弦及正切值，进而利用诱导公式进行计算，作出判断.【详解】根据三角函数的定义得：，，，故AB正确；，C正确；，D错误.故选：ABC10.已知集合，，则是的真子集的充分不必要条件可以是（）A.B.m∈C.m∈D.【答案】AD【解析】【分析】根据集合是集合的真子集，求出的所有可能的值，再根据充分不必要条件的概念即可得到结果.【详解】因为集合若集合是集合的真子集， 当时，即集合，显然成立；当时，则或，所以或所以若集合是集合的真子集，则；所以是的真子集的充分不必要条件可以是或.故选：AD.11.已知，关于x的不等式的解集可能是（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】分，，，，，利用一元二次不等式的解法求解.【详解】当时，不等式等价于，解得；当时，不等式的解集是；当时，不等式等价于，解得或；当时，不等式等价于，解得；当时，不等式等价于，解得或.故选：BCD12.定义在R上的函数满足，当时，，则满足（）A.B.是偶函数C.在上有最大值D.的解集为【答案】AD【解析】【分析】赋值法可以求出，，判断出AB选项；C利用赋值法和题干中的条件可以得出的单调性，从而得到在上有最大值；D选项利用C 选项中判断的函数的单调性进行解不等式，得到答案.【详解】定义在R上的函数满足，令得：，解得：，A正确；令得：，因为，所以，故是奇函数，B错误；任取，，且，则令，，代入得：，因为当时，，而，所以，故，即，从而R上单调递减，在上有最大值为，C错误；由A选项得到，而在R上单调递减，故，解得，解集为，D正确.故选：AD第II卷非选择题（90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知角的终边经过点，则______【答案】【解析】【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得的值．【详解】角的终边经过点，则，，，，故答案为．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．14.写出一个满足“图象既关于直线x=1对称又关于原点中心对称”的函数_________． 【答案】【解析】【分析】可取，根据正弦函数的对称性验证即可.【详解】解：可取，令，则，所以函数得图象关于直线对称，令，则，则函数得对称中心为，即函数得图象关于原点中心对称，所以符合题意.故答案为：.（答案不唯一，符合条件即可）15.已知定义在实数集R上的偶函数在区间上是减函数，则不等式的解集是__________【答案】【解析】【分析】通过奇偶性和单调性并结合对数不等式进行计算即可【详解】因为定义在实数集R上的偶函数在区间上是减函数，所以函数在区间上是增函数，所以由不等式，得所以，即或，解得或即不等式的解集是故答案为：. 16.已知函数，为的零点，为图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为________.【答案】5【解析】【分析】根据在区间上的单调性，结合函数的周期，求得的取值范围，结合为的零点、为图象的对称轴，求得的最大值.【详解】由于在区间上单调，所以，即.由于为的零点，为图象的对称轴，所以，两式相减并化简得，所以为奇数，由于，当时，，符合题意.所以的最大值为.故答案为：【点睛】本小题主要考查三角函数的单调性、周期性、零点和对称轴等知识，属于中档题.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（1）计算：；（2）已知，试用表示.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据指数幂运算法则以及对数运算法则求解得结果；（2）根据换底公式以及对数运算法则化简得结果. 【详解】（1）（2）.【点睛】本题考查指数幂运算法则、对数运算法则、换底公式，考查基本分析求解能力，属基础题.18.设，已知集合，．（1）当时，求实数的范围；（2）设；，若是的必要不充分条件，求实数的范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意知，4是集合B的元素，代入可得答案；（2）由题可得是的真子集，分类讨论为空集和不为空集合两种情况，即可求得m的取值范围.【小问1详解】由题可得，则；【小问2详解】由题可得是的真子集，当，则；当，，则（等号不同时成立），解得综上：19.已知函数是定于在[-2，2]上的奇函数，当时，.（1）当时，且函数的解析式； （2）若，求实数a的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用函数的奇偶性性质及可求解；（2）根据奇偶性和单调性化简不等式解不等式即可.【小问1详解】解：由题意得：当时，，又因为函数是定义在上的奇函数故，所以所以函数当时，且函数的解析式【小问2详解】由函数得解析式可得奇函数在上单调递增所以即为所以，解得：又因为，且解得：故a的取值范围.20.某企业为进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场调研发现，生产该产品全年需要投入研发成本250万元，每生产（千部）手机，需另外投入成本万元，其中 ，已知每部手机售价为5000元，且生产的手机当年全部销售完.（1）求2023年该款手机的利润关于年产量的函数关系式；（2）当年产量为多少时，企业所获得的利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）（2）当年产量为52（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是5792万元.【解析】【分析】（1）根据利润等于收入减去成本即可求出结果；（2）根据（1）求出的函数关系式直接求最大值即可.【小问1详解】当时，，当时,，所以.【小问2详解】当时，,∴当时，，当时,,当且仅当，即时，，因此当年产量为52（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是5792万元.21.函数，若函数的图象与轴的两个相邻交点间的距离为，且图象的一条对称轴是直线．（1）求函数的解析式； （2）设集合,若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由函数图象与轴的两个相邻交点间的距离为，求得函数的周期，得到，再由图象的一条对称轴是直线，求得，即可得到函数的解析式；（2）由，把不等式恒成立，转化为，结合三角函数的性质，求得函数的最值，即可求解.【详解】（1）由题意知，函数的图象与轴的两个相邻交点间的距离为，可得,解得，又由，所以，又由图象的一条对称轴是直线，可得，且，解得，所以（2）由集合，因为若，即当时，不等式恒成立，所以，因为，则，当，即，函数取得最小值，最小值为；当，即，函数取得最大值，最大值为，所以.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，合理转化是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题. 22.已知函数，记.（1）求函数的定义域；（2）判断函数的奇偶性，并说明理由；（3）是否存在实数，使得当时，的值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，则说明理由.【答案】（1）（2）奇函数，证明见解析（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】(1)根据真数大于0，分别求f(x)和g(x)定义域，F(x)为这两个定义域的交集；(2)根据函数奇偶性的定义，即可判断；(3)先根据定义域和值域求出m，n，a的范围，再利用单调性将问题转化为方程有解问题.【小问1详解】由题意知要使有意义，则有，得所以函数的定义域为：【小问2详解】由(1)知函数F(x)的定义域为：，关于原点对称，函数为上的奇函数.【小问3详解】，假设存在这样的实数，则由可知 令，则在上递减，在上递减，是方程，即有两个在上的实数解问题转化为：关于的方程在上有两个不同的实数解令，则有，解得，又，∴故这样的实数不存在.