辽宁省实验中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学Word版含解析.docx

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辽宁省实验中学2023—2024学年度高二上学期12月份月考考试数学试卷一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）．1.若则方程所表示的曲线一定不是（）A.直线B.圆C.抛物线D.双曲线2.两条不同直线，的方向向量分别为，，则这两条直线（）A.相交或异面B.相交C.异面D.平行3.直线：，：，若，则实数的值为（）A.B.1C.或1D.4.若直线：关于直线l：对称的直线为，则的方程为（）A.B.C.D.5.已知椭圆E:＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝16.在正四面体中，其外接球的球心为，则（）A.B.C.D.7.已知圆关于直线对称，过点作圆C的两条切线和，切点分别为，则（） A.B.C.D.8.如图，在正方形中，点，分别是线段，上动点，且，与交于G，在与之间滑动，但与和均不重合．现将四边形沿直线折起，使平面平面，在从滑动到的过程中，的大小（）A.先变小后变大B.先变大后变小C.不发生变化D.由小变大二、多项选择题（本大题共4个小题，每题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知分别为直线方向向量（不重合），分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法中，正确的是（）A.B.C.D.10.下列四个方程所表示的曲线中既关于x轴对称，又关于y轴对称的是（）A.B.C.D.11.已知P为双曲线右支上的一个动点（不经过顶点），，分别是双曲线的左、右焦点，的内切圆圆心为，过做，垂足为A，下列结论正确的是（）A.的横坐标为2B.C.D.12.已知点在抛物线的准线上，过抛物线的焦点作直线交于、两点，则（）A.抛物线的方程是B. C.当时，D.三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.点是圆内异于圆心的点，则直线与该圆的位置关系是_________.14.已知向量，，若，则m，n满足的关系式为______．15.在长方体中，，，动点P在体对角线上（含端点），则点B到平面的最大距离为______．16.已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点P，使得过点P所作圆的两条切线，切点为A、B，且，则双曲线的离心率的取值范围是______．四、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知点为抛物线上一点，F为的焦点，A、B是C上两个动点．（1）直线经过点F时，求最小值．（2）若直线，的倾斜角互补，与C的另一个交点为A，求直线的斜率．18.如图，在三棱柱中，平面，点，分别在棱和棱上，且为棱中点． （1）求证：平面；（2）若，求二面角余弦值．19.设椭圆：的左、右顶点分别为C，D，且焦距为2.F为椭圆的右焦点，点M在椭圆上且异于C，D两点.若直线与的斜率之积为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作一条斜率不为0的直线与椭圆E相交于A，B两点（A在B，P之间），直线与椭圆E的另一个交点为H，求证：点A，H关于x轴对称.20.已知点到直线：的距离和它到定点的距离之比为常数．（1）求点的轨迹的方程；（2）若点是直线上一点，过作曲线的两条切线分别切于点与点，试求三角形面积的最小值．（二次曲线在其上一点处的切线为）21.如图，四棱锥中，平面平面，，，，，．（1）求证：平面平面；（2）若，求与平面所成角的正切值．22.已知点在双曲线上． （1）点，为的左右顶点，为双曲线上异于，的点，求的值；（2）点，在上，且，，为垂足，证明：存在定点，使得为定值． 辽宁省实验中学2023—2024学年度上学期12月份月考考试高二数学试卷一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）．1.若则方程所表示的曲线一定不是（）A.直线B.圆C.抛物线D.双曲线【答案】C【解析】【分析】讨论参数m的取值，从而确定方程所代表的曲线，即可判断各项的正误.【详解】当时，曲线方程为，即为两条直线；当时，曲线方程为，即为原点为圆心，半径为1的圆；当时，曲线方程为，即为双曲线；而不论m为何值时，都不可能为抛物线.故选：C2.两条不同直线，的方向向量分别为，，则这两条直线（）A.相交或异面B.相交C.异面D.平行【答案】A【解析】【分析】令，利用空间向量的坐标运算判断即可.【详解】令，即，则，此方程组无解，则直线，不平行，即相交或异面.故选：A．3.直线：，：，若，则实数的值为（）A.B.1C.或1D.【答案】A【解析】【分析】根据已知得出，求解得出的值，代入的方程检验，即可得出答案. 【详解】由可得，，即，解得或.当时，方程为，方程为不重合，满足；当时，方程为，方程为，即，与重合，舍去.综上所述，.故选：A.4.若直线：关于直线l：对称的直线为，则的方程为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】直线与l的交点在直线上，并且直线上任取一点，该点关于直线l的对称点也在直线上，根据两点坐标求出斜率，即可求出直线的方程.【详解】联立，解得，即与l的交点为.又点在上，设A关于l的对称点为，则，解得，即，所以直线的斜率，从而直线的方程为，即.故选：D5.已知椭圆E:＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为 A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1【答案】D【解析】【详解】设、，所以，运用点差法，所以直线的斜率为，设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，所以；又因为，解得.【考点定位】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查学生的化归与转化能力.6.在正四面体中，其外接球的球心为，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据立体图形结合空间向量的线性运算即可.【详解】由题知，在正四面体中，因为是外接球的球心，设三角形的中心为点的中点为，则，， ．故选：C．7.已知圆关于直线对称，过点作圆C的两条切线和，切点分别为，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】圆心在直线上，求出，利用切线算出的长度，再利用等面积法即可的.【详解】圆心在直线上，解得，因此，，，,故选:D8.如图，在正方形中，点，分别是线段，上的动点，且，与交于G，在与之间滑动，但与和均不重合．现将四边形沿直线折起，使平面平面，在从滑动到的过程中，的大小（）A.先变小后变大B.先变大后变小C.不发生变化D.由小变大【答案】C 【解析】【分析】以为原点，，，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，设正方形的边长为，，利用空间向量的数量积可判断.【详解】设正方形的边长为，，，，，，，，，，由面面垂直关系可知，即角度不会发生变化，所以C正确；故选：C.二、多项选择题（本大题共4个小题，每题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知分别为直线的方向向量（不重合），分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法中，正确的是（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】根据直线方向向量、平面法向量定义，结合向量间的位置关系判断线线、线面、面面关系即可.【详解】A：由题设，对；B：由题设，或，错；C：由题设，对；D：由题设，对.故选：ACD 10.下列四个方程所表示的曲线中既关于x轴对称，又关于y轴对称的是（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】由同时满足方程求得正确答案.【详解】关于轴的对称点为，关于轴的对称点为，同时满足方程、、，ACD选项正确.，是开口向上的抛物线，关于轴对称，不关于轴对称，B选项错误.故选：ACD11.已知P为双曲线右支上的一个动点（不经过顶点），，分别是双曲线的左、右焦点，的内切圆圆心为，过做，垂足为A，下列结论正确的是（）A.的横坐标为2B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】求出双曲线的实半轴长及半焦距，再利用双曲线的定义，结合三角形内切圆的性质逐项计算判断即得.【详解】双曲线的实半轴长，半焦距，设的内切圆在，，上的切点分别为，切点， 显然，即，而，则的横坐标为，A正确；设的内切圆半径为，则，B正确；延长交于点，由平分，，得，为的中点，因此，即有，C正确；，D错误.故选：ABC12.已知点在抛物线的准线上，过抛物线的焦点作直线交于、两点，则（）A.抛物线的方程是B.C.当时，D.【答案】BCD【解析】【分析】求出的值，可得出抛物线的方程，可判断A选项；设直线的方程为，将该直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理可判断B选项；根据平面向量的线性运算，结合韦达定理求出的值，再结合抛物线的焦点弦长公式可判断C选项；计算出直线、的斜率之和，可判断D选项.【详解】对于A选项，抛物线的准线方程为，因为点在抛物线准线上，则，可得， 所以，抛物线的方程为，A错；对于B选项，抛物线的焦点为，若直线与轴重合，此时，直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，所以，直线不与轴重合，设直线的方程为，联立，可得，，则，所以，，B对；对于C选项，因为，即，则，因为，可得，则，则，此时，，C对；对于D选项，，同理可得，所以，，所以，，D对.故选：BCD. 三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.点是圆内异于圆心的点，则直线与该圆的位置关系是_________.【答案】相离【解析】【分析】由点与圆的位置关系可得：，由点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离，则有，即可判断直线与圆的位置关系.【详解】解：因为是圆内异于圆心的点，所以，即，①又圆心到直线的距离，②联立①②可得的，即直线与该圆的位置关系是相离，故答案为相离.【点睛】本题考查了点与圆的位置关系及点到直线的距离公式，重点考查了直线与圆的位置关系，属中档题.14.已知向量，，若，则m，n满足的关系式为______．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据得到存在实数，使，根据坐标运算列式可得答案.【详解】，，，则存在实数，使，即，可得m，n满足的关系式为或等故答案为：（答案不唯一）. 15.在长方体中，，，动点P在体对角线上（含端点），则点B到平面的最大距离为______．【答案】【解析】【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求出点B到平面的距离，然后求其最值即可.【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设，则，则，故，则，，设平面的法向量，则，取可得，则点B到平面的距离为， 当时，点B到平面的距离为，当时，.当且仅当时，等号成立，所以点B到平面的最大距离为.故答案为：.16.已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点P，使得过点P所作的圆的两条切线，切点为A、B，且，则双曲线的离心率的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】连接，则，设点，则，分析可得，可得范围，进而可得离心率的范围.【详解】连接，则，由切线长定理可得，又，，所以所以，则设点，则，且，所以 所以，故.故答案为：.四、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知点为抛物线上一点，F为的焦点，A、B是C上两个动点．（1）直线经过点F时，求的最小值．（2）若直线，的倾斜角互补，与C的另一个交点为A，求直线的斜率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先代入点的坐标求出抛物线方程，设直线的方程为，与抛物线联立，利用韦达定理及焦半径公式求解的最小值；（2）先利用求出坐标，再利用求出点坐标，进而可得直线的斜率．【小问1详解】点为抛物线上一点，得，即抛物线方程为，设直线的方程为，， 联立，消去得，，，.当时，等号成立，直线经过点F时，求的最小值为【小问2详解】直线，的倾斜角互补，，则直线的斜率解得，则，同理，，解得，则，故直线的斜率.18.如图，在三棱柱中，平面，点，分别在棱和棱上，且为棱中点． （1）求证：平面；（2）若，求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取的中点，连接，证明平面平面后可证得题中线面平行；（2）先证得，然后建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量法求二面角．【小问1详解】取的中点，连接，因为，，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，因为为棱中点，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，又平面，所以平面； 【小问2详解】因为平面，平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，则，因为平面，所以，即为平面的一个法向量，，设平面的一个法向量为，则，令，则，所以，则，由图可知，二面角为钝二面角，所以二面角的余弦值为．19.设椭圆：的左、右顶点分别为C，D，且焦距为2.F为椭圆的右焦点，点M在椭圆上且异于C，D两点.若直线与的斜率之积为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作一条斜率不为0的直线与椭圆E相交于A，B两点（A在B，P之间），直线 与椭圆E的另一个交点为H，求证：点A，H关于x轴对称.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据直线与斜率之积得到，故，结合焦距得到，，得到椭圆方程；（2）设出直线方程，与椭圆方程联立，得到两根之和，两根之积，表达出，得到结论【小问1详解】由题意有，，设，，化简得，结合，可得，由椭圆焦距为2，有，得，，椭圆E的标准方程为；【小问2详解】显然直线方程斜率不存在时，与椭圆方程无交点，根据椭圆的对称性，欲证，H关于轴对称，只需证，即证，设，，直线方程，由消去得， ，解得，所以，.则，因为，所以，即A，H关于轴对称.20.已知点到直线：的距离和它到定点的距离之比为常数．（1）求点的轨迹的方程；（2）若点是直线上一点，过作曲线的两条切线分别切于点与点，试求三角形面积的最小值．（二次曲线在其上一点处的切线为）【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设，根据已知有，化简整理得轨迹；（2）设，，，写出切线、并将点代入得直线为，由点线距离公式确定距离最小值，联立直线与，应用韦达定理、弦长公式求的最小值，注意最小值取值条件一致，最后求三角形面积的最小值.【小问1详解】设，则，化简得：，所以点M的轨迹E的方程为.【小问2详解】设，，，则切线为，切线为， 将点分别代入得，所以直线为，点到的距离，当时，．另一方面，联立直线与得，所以，则，当时，．所以．故时，最小值为.21.如图，四棱锥中，平面平面，，，，，．（1）求证：平面平面；（2）若，求与平面所成角的正切值．【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量证明面面垂直即可；（2）利用空间向量求线面角即可.【小问1详解】取中点F，连接，因为，则，又平面平面，平面平面，平面，则平面，设，如图过作交于点，建立空间直角坐标系，则，，，，由题意，则，所以，设平面一个法向量，则，令，即，又易知平面的一个法向量，因为，则，所以平面平面；【小问2详解】 由（1）得，，则，解得，则，又平面的法向量，设与平面所成角为，则，所以．22.已知点在双曲线上．（1）点，为的左右顶点，为双曲线上异于，的点，求的值；（2）点，在上，且，，为垂足，证明：存在定点，使得为定值．【答案】（1）;（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）代入点，得，从而得双曲线方程及，的坐标，设点坐标为，则，结合在双曲线上，即可得答案；（2）设直线方程为，设，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理及，得，舍去，从而得，直线过定点，为直角三角形，为直角，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得证.【小问1详解】 解：因为点在双曲线上，所以，解得，所以双曲线，则．设点坐标为，则，所以．因为点在曲线上，所以，所以，所以的值为．【小问2详解】证明：依题意，直线的斜率存在，故设其方程为，设，联立，消得，显然，否则不可能有两个交点，，由韦达定理得，因为直线的斜率之积为，所以，所以， 即，所以有，将韦达定理代入化简得，而当，此时直线为，易知恒过定点，故舍去，所以，此时满足且直线过定点，（如图所示）又因为为垂足，所以为直角三角形，为直角，所以当点为斜边的中点时，为定值．综上所述，存在定点，使得为定值．