辽宁省实验中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学Word版含解析.docx

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辽宁省实验中学2023—2024学年度高一上学期12月阶段测试数学试卷考试时间：120分钟试题满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A.B.CD.2.已知函数是幂函数，且时，单调递增，则的值为（）A.1B.C.D.或13.若是方程的两个实数根，则（）A.1B.2C.3D.44.一种药在病人血液中的量保持在以上时才有疗效，而低于时病人就有危险．现给某病人的静脉注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，以保证疗效，那么下次给病人注射这种药的时间最迟大约是（参考数据：）（）A.5小时后B.7小时后C.9小时后D.11小时后5.已知，则的大小关系为（）A.B.C.D.6.设函数存在反函数，且函数的图象过点，则函数的图象一定过点（）A.B.C.D.7.函数和的定义域均为，已知为偶函数，为奇函数，对于，均有，则（） A.66B.70C.124D.1448.已知函数，若关于的不等式恰有两个整数解，则实数的最小值是（）A.B.C.D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.下面命题正确的是（）A.设，则“且”是“”的必要不充分条件B.设，则“”是“”的必要不充分条件C.命题“”的否定是“”；D.“”是假命题，则10.甲乙两组数据可以整理成如图所示的茎叶图，下列说法正确的是（）A.甲组数据的中位数是86B.乙组数据的众数是77C甲组数据方差比乙组数据方差大D.乙组数据的分位数是8111.已知函数的定义域为，其图象关于直线对称，当时，，且方程有四个不等实根，则下列结论正确的是（）A.B.的单调减区间为和C.若方程有5个不同的实根，则 D.的取值范围是12.已知，下列说法正确的有（）A.的取值范围是B.的取值范围是C.的取值范围是D.的取值范围是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知总体是由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5个数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选取的第5个个体编号为__________．781665720802631407024369972801983204923449358200362348696938748114.关于不等式的解集为______.15.已知正实数满足方程，则的最小值为______．16.已知函数，若，使恒成立，则实数的取值范围为______．四、解答题：本题共6小题，17题10分，17至22题每题12分，共70分．17.已知，求下列各式的值：（1）；（2）．18.某次考试后，年级组抽取了100名同学数学考试成绩，绘制了如下图所示的频率分布直方图． （1）根据图中数据计算参数的值，并估算这100名同学成绩的平均数和中位数，结果保留至百分位；（2）已知这100名同学中，成绩位于内的同学成绩方差为12，成绩位于内的同学成绩方差为10，为了分析学优生的成绩分布情况，请估算成绩在80分及以上的同学的成绩的平均数和方差．19.已知（1）求，并指出其在定义域内单调性，无需写出证明过程；（2）已知为的反函数，解不等式．20.已知为偶函数，（1）求的值；（2）指出并证明在的单调性．21.汽车行驶过程中的油耗可以分为动力类油耗和非动力类油耗．汽车匀速行驶过程中，可以将汽车受到的阻力视作速度的函数，因此可以认为单位时间内的动力类油耗与成正比．非动力类油耗是指汽车内部的空调、指示灯、控制器件等电子设备在使用过程中带来的油耗增加，单位时间内的非动力类油耗可以看作是一个常数．某款家用汽车的实测单位时间油耗随速度变化的情况如下表所示．速度（公里小时）4080120单位时间油耗（升小时）4.006.4010.40（1）若认为匀速行驶过程中汽车所受阻力与速度的指数函数成正比，请建立汽车单位时间油耗随速度变化的数学模型，并根据实测数据确定模型中的参数．（2）若认为匀速行驶过程中汽车所受阻力与速度的平方成正比，建立汽车每100公里油耗随速度变化的数学模型，根据实测数据确定模型中的参数，并据此估算汽车的每100公里油耗最低值，为驾驶员节能出行给出合理化建议． 22.已知，（1）求的反函数；（2）已知，若，使得，求的最大值． 辽宁省实验中学2023—2024学年度上学期12月阶段测试高一数学试卷考试时间：120分钟试题满分：150分命题人校对人：高一数学组一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）AB.C.D.【答案】D【解析】【分析】两个集合元素类型不同，故，得到答案.【详解】，，两个集合元素类型不同，故，故选：D2.已知函数是幂函数，且时，单调递增，则的值为（）A.1B.C.D.或1【答案】C【解析】【分析】根据幂函数的定义及幂函数的单调性列式计算即可.【详解】函数是幂函数，且时，单调递增,,解得.故选：C.3.若是方程的两个实数根，则（）A.1B.2C.3D.4 【答案】B【解析】【分析】利用方程的根产生的等式及韦达定理计算即可.【详解】是方程的两个实数根，，.故选：B.4.一种药在病人血液中的量保持在以上时才有疗效，而低于时病人就有危险．现给某病人的静脉注射了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，以保证疗效，那么下次给病人注射这种药的时间最迟大约是（参考数据：）（）A.5小时后B.7小时后C.9小时后D.11小时后【答案】B【解析】【分析】设小时后减少到，依题意可得，两边同时取对数，再根据对数的运算法则计算可得.【详解】设小时后减少到，则，则，即，则，则，则注射时间需小于小时.故选：B．5.已知，则的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据对数运算和对数函数单调性得到，，，得到答案.【详解】； ；；故.故选：C.6.设函数存在反函数，且函数的图象过点，则函数的图象一定过点（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的图象过点，得到，即的图象过点，然后再根据原函数和反函数图象上的点的对称性求解.【详解】解：因为函数的图象过点，所以，解得，即的图象过点，所以的图象过点，的图象过点，所以的图象过点，故选：A7.函数和的定义域均为，已知为偶函数，为奇函数，对于，均有，则（）A.66B.70C.124D.144【答案】B【解析】【分析】先根据条件得到函数和的对称性，然后由，利用对称性得到，再求出，解方程可得结果.【详解】偶函数，即， 的图像关于对称，为奇函数，即，的图像关于点对称，对于，均有，，的图像关于对称，，的图像关于点对称，又解得，.故选：B.8.已知函数，若关于的不等式恰有两个整数解，则实数的最小值是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】画出函数的图像，然后对于不等式，分和以及和进行分析说明得实数的最小值.【详解】函数的图像如下： 不等式恰有两个整数解，①当时，，即，当时，，由于恰有两个整数解，又，则整数解为和，又，因为求最小值，此时就不用考虑了，的最小值为，②当时，对于，则，只考虑，则又时有两个整数解，则不等式的解集中含有多于个整数解，故舍去，综上，实数的最小值是.故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.下面命题正确的是（）A.设，则“且”是“”的必要不充分条件 B.设，则“”是“”的必要不充分条件C.命题“”的否定是“”；D.“”是假命题，则【答案】BD【解析】【分析】“且”是“”的充分不必要条件，A错误，根据定义判断B正确，根据全称命题的否定得到C错误，变换得到，利用均值不等式计算最值得到答案.【详解】对选项A：若且，则；若，取满足，不满足且；故“且”是“”的充分不必要条件，错误；对选项B：若，，则；若，则且；故“”是“”的必要不充分条件，正确；对选项C：命题“”的否定是“”，错误；对选项D：“”是假命题，即，即，，当且仅当时等号成立，故，正确；故选：BD10.甲乙两组数据可以整理成如图所示的茎叶图，下列说法正确的是（）A.甲组数据的中位数是86B.乙组数据的众数是77C.甲组数据方差比乙组数据方差大D.乙组数据的分位数是81【答案】ABCD 【解析】【分析】A.由茎叶图判断；B.由茎叶图判断；C.利用方差公式求解判断；D利用百分位数定义求解判断.【详解】解：由茎叶图知：甲组的中位数为，故A正确；由茎叶图知：乙组的众数为77，故B正确；甲组数据的平均数为，乙组数据的平均数为甲组数据的平均数为，甲组数据的方差为，乙组数据的方差为则甲组数据方差比乙组数据方差大，故C正确；因为，所以乙组数据的分位数是从小到大排列的第5个数，即为81，故D正确；故选：ABCD11.已知函数的定义域为，其图象关于直线对称，当时，，且方程有四个不等实根，则下列结论正确的是（）A.B.的单调减区间为和C.若方程有5个不同的实根，则D.的取值范围是【答案】ABD【解析】【分析】根据对称确定函数解析式，画出函数图像，根据图像的对称性得到，A正确，根据图像得到单调区间，B正确，当时满足条件，C错误，确定，代入计算结合二次函数性质得到D 正确，得到答案.【详解】当时，，当时，，，画出函数图像，如图所示：对选项A：根据对称性知，，故，正确；对选项B：的单调减区间为和，正确；对选项C：，，或，当或时，有两个解，有3个解，共有5个解，错误；对选项D：，根据图像知：，且，即，，，设，，故，原式，正确；故选：ABD12.已知，下列说法正确的有（）A.的取值范围是 B.的取值范围是C.的取值范围是D.的取值范围是【答案】BCD【解析】【分析】利用换元法，结合二次方程的判别式判断ABD，利用完全平方公式，结合二次不等式判断C，从而得解.【详解】对于A，因为，即，将其看成关于的一元二次方程，显然有解，所以，解得，故A错误；对于B，令，则，将其代入，得，整理得，将其看成关于的一元二次方程，显然有解，所以，解得，故B正确；对于C，因为，令，所以由，得，即，两边平方，得，解得，故C正确；对于D，令，则，将其代入，得，整理得，将其看成关于的一元二次方程，显然有解，所以，解得，故D正确；故选：BCD.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是善用换元法，将问题进行转化，从而得解.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知总体是由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5个数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选取的第5个个体编号为 __________．7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481【答案】01【解析】【分析】根据题意，结合随机数表，即可依次读取.【详解】由题意，依次读取的数字是08，02，14，07，01，所以第5个个体编号是01.故答案为：0114.关于的不等式的解集为______.【答案】或【解析】【分析】化简分式不等式通过分类讨论计算即可.【详解】由，即，即，若，则，解之得，若，则，解之得，故答案为：或．15.已知正实数满足方程，则的最小值为______．【答案】##【解析】【分析】通过构造函数，通过判断其单调性得到，再利用基本不等式求最值.【详解】令，明显其在上单调递增，又由得， 即，所以，即，所以，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.故答案为：.16.已知函数，若，使恒成立，则实数的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】先通过在上有解，将问题转化为关于的一次函数的最值问题，得到在上恒成立，去绝对值，通过参变分离进一步将问题转化为最值问题求解即可.【详解】令在上有解，，上单调递增，即，即，在上恒成立，即，或，即，解得或， 则在上恒成立，当时，恒成立，当时，有，即又明显在上单调递增，，当时，有，即，综上实数的取值范围为.故答案为：.【点睛】关键点睛：本题的关键是转化为在上恒成立，然后再分两类讨论，最后利用分离参数法即可得到答案.四、解答题：本题共6小题，17题10分，17至22题每题12分，共70分．17.已知，求下列各式的值：（1）；（2）．【答案】（1）（2）-7【解析】【分析】（1），两边平方得到，进而得到求解；（2）分子利用指数幂的运算变形，分母利用根式的性质化简求解.【小问1详解】解：， ，；【小问2详解】，.18.某次考试后，年级组抽取了100名同学的数学考试成绩，绘制了如下图所示的频率分布直方图．（1）根据图中数据计算参数的值，并估算这100名同学成绩的平均数和中位数，结果保留至百分位；（2）已知这100名同学中，成绩位于内的同学成绩方差为12，成绩位于内的同学成绩方差为10，为了分析学优生的成绩分布情况，请估算成绩在80分及以上的同学的成绩的平均数和方差．【答案】（1），平均数为76.50分，中位数为77.14分（2）平均数87.5分，方差30.25．【解析】【分析】（1）根据频率和为列方程求，然后直接求解平均数和中位数即可；（2）先求出平均数，在利用方差公式计算方差即可.【小问1详解】依题意，，得，各组的频率依次为， 平均数为分，中位数为分．【小问2详解】分数在区间内的人数为，分数在区间内的人数为，所以成绩在80分及以上的同学的成绩的平均数为分，方差为.19.已知（1）求，并指出其在定义域内的单调性，无需写出证明过程；（2）已知为的反函数，解不等式．【答案】（1），在上单调递增（2）【解析】【分析】（1）取，，代入函数化简得到解析式，根据解析式确定单调性即可.（2）确定的值域为的定义域，的解集为，根据解得答案.【小问1详解】取，则，，，即，定义域为，设，，则，函数单调递增，在上单调递增，故在上单调递增．【小问2详解】的值域为的定义域，在上单调递增， 故时，的取值范围为，故的解集为，，可得，解集为．20.已知为偶函数，（1）求值；（2）指出并证明在的单调性．【答案】（1）2（2）函数在单调递增，证明见解析【解析】【分析】（1）根据偶函数得到，化简整理得到，得到答案.（2）变换，，确定，得到，得到答案.【小问1详解】为偶函数，即，，故，，；【小问2详解】，其在单调递增，下面给出证明：，，其中，，故，则，故，即，在单调递增．21. 汽车行驶过程中的油耗可以分为动力类油耗和非动力类油耗．汽车匀速行驶过程中，可以将汽车受到的阻力视作速度的函数，因此可以认为单位时间内的动力类油耗与成正比．非动力类油耗是指汽车内部的空调、指示灯、控制器件等电子设备在使用过程中带来的油耗增加，单位时间内的非动力类油耗可以看作是一个常数．某款家用汽车的实测单位时间油耗随速度变化的情况如下表所示．速度（公里小时）4080120单位时间油耗（升小时）4.006.4010.40（1）若认为匀速行驶过程中汽车所受阻力与速度的指数函数成正比，请建立汽车单位时间油耗随速度变化的数学模型，并根据实测数据确定模型中的参数．（2）若认为匀速行驶过程中汽车所受阻力与速度的平方成正比，建立汽车每100公里油耗随速度变化的数学模型，根据实测数据确定模型中的参数，并据此估算汽车的每100公里油耗最低值，为驾驶员节能出行给出合理化建议．【答案】21.22.答案见解析．【解析】【分析】（1）取，则汽车单位时间油耗可设为，根据数据列方程求解即可；（2）取汽车单位时间油耗为，根据数据列方程求解，然后利用基本不等式求最值.【小问1详解】取，则汽车单位时间油耗可设为，根据实测数据可知，，解得，；【小问2详解】取汽车单位时间油耗为， 根据实测数据可知，，解得，，汽车每100公里油耗随速度变化的函数为，当且仅当时取等号，即当车速为80（公里小时）时，汽车每百公里油耗为8升，最为省油．因此建议司机驾驶车辆尽量以80公里匀速行驶，最为节能．22.已知，（1）求的反函数；（2）已知，若，使得，求的最大值．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）易得，从而根据其单调性求得值域，然后再利用反函数的定义求解；（2）易得，由，得到其定义域为，由在上单调递增，其中．根据，由得到求解.【小问1详解】解：，则其在上单调递增，其值域为． 在中互换得，整理得，，即反函数，定义域为．【小问2详解】依题意，其中，解得，即的定义域为，则在上单调递增，其中．，，．，当且仅当，即时取得，此时成立，的最大值为．