河南省南阳市新野县第一高级中学2023-2024学年高三上学期12月月考数学Word版含解析.docx

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2023-2024学年高三上学期12月考试题数学试卷一、单选题1.已知复数满足，则复数的虚部为（）A.B.C.D.2.设集合，，则中元素个数为（）A.1B.2C.3D.43.已知点，，且，则（）A.（2，5）B.（2，-5）C.（-2，-5）D.（-2，5）4.函数的图象大致为A.B.C.D.5.直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（）A.B.C.D.6.若，，则（）A.B.C.D.7.已知二面角的平面角为，AB与平面所成角为．记的面积为，的面积为，则的取值范围为（）A.B. C.D.8.在长郡中学文体活动时间，举办高三年级绳子打结计时赛，现有根绳子，共有10个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束.则这5根绳子恰好能围成一个圈的概率为（）A.B.C.D.二、多选题9.下列说法正确的是（）A.展开式中项的系数为B.样本相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱C.根据分类变量与的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验，没有充分证据推断零假设不成立，即可认为与独立D.在回归分析中，用最小二乘法求得的经验回归直线使所有数据的残差和为零10.已知定义在上的函数满足，且函数为奇函数，则下列说法正确的是（）A.的一个周期是4B.是奇函数C.偶函数D.的图象关于点中心对称11.如图，在正方体中，点是的中点，点是直线上的动点，则下列说法正确的是（）A.直角三角形 B.异面直线与所成的角为C.当的长度为定值时，三棱锥的体积为定值D.平面平面12.已知点是抛物线：的焦点，直线：与相交于，两点，过点，分别作的切线交于点，点是弦的中点，点是线段的中点，则下列说法正确的是（）A.B.直线与轴平行C.点在抛物线上D.三、填空题13.从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）14.若双曲线经过点，则此双曲线的离心率为__________．15.设是椭圆的左、右焦点，为坐标原点，为上一个动点，且的取值范围为，则椭C的长轴长为______．16.已知函数，若，且，则______．四、解答题17.记的内角，，所对的边分别是，，．已知．（1）求角的大小；（2）若点在边上，平分，，且，求．18.已知数列，满足.（1）证明是等比数列，并求的通项公式； （2）设数列的前n项和为，证明：.19.如图，多面体中，四边形为菱形，平面，，，，.（1）若是的中点，证明：平面平面；（2）求二面角的正弦值.20.如图在边长是2正方体中，E，F分别为AB，的中点．（1）求异面直线EF与所成角的大小．（2）证明：平面．21.2025年四川省将实行3＋1＋2的高考模式，其中，“3”为语文、数学，外语3门参加全国统一考试，选择性考试科目为政治、历史、地理、物理、化学，生物6门，由考生根据报考高校以及专业要求，结合自身实际，首先在物理，历史中2选1，再从政治、地理、化学、生物中4选2，形成自己的高考选考组合.（1）若某小组共6名同学根据方案进行随机选科，求恰好选到“物化生”组合的人数的期望；（2）由于物理和历史两科必须选择1科，某校想了解高一新生选科的需求.随机选取100名高一新生进行调查，得到如下统计数据，写出下列联表中a，d的值，并判断是否有95％的把握认为“选科与性别有关”？选择物理选择历史合计 男生a10女生30d合计30附：.0.100.050.0250.010.0052.7063.8415.0246.6357.87922已知函数（）.（1）当时，求函数的极值；（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围. 2023-2024学年高三上学期12月考试题数学一、单选题1.已知复数满足，则复数的虚部为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设复数的代数形式，代入运算，由复数相等的条件求解方程组即可.【详解】设，代入得，，则有，解得，即复数的虚部为.故选：A.2.设集合，，则中元素的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】由定义域为，先求函数值域即可，再由交集运算可得.【详解】设函数，则，所以集合，由集合，则，中元素的个数为，故选：B. 3.已知点，，且，则（）A.（2，5）B.（2，-5）C.（-2，-5）D.（-2，5）【答案】B【解析】【分析】利用平面向量的加法运算求解.【详解】解：因为点，，所以，所以．故选：B4.函数的图象大致为A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用函数的单调性及特殊值即可作出判断．【详解】由易得f（﹣x）+f（x）＝0，∴f（x）是奇函数；当x=1时，排除A，当x＞0时，，函数在上单调递减，故可排除Ｂ，Ｄ故选Ｃ【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3 ）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.5.直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，求出线段长，再求出圆心到直线的距离，进而求得圆上的点到直线距离的范围即可求出三角形面积范围.【详解】依题意，直线交轴于，交轴于，则，圆的圆心到直线的距离，而圆的半径为，于是圆上的点到直线的距离的范围为，所以的面积.故选：C6.若，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由诱导公式可得出，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，结合同角三角函数的商数关系可求得的值.【详解】因为，则， 所以，，联立，解得，因此，.故选：B.7.已知二面角的平面角为，AB与平面所成角为．记的面积为，的面积为，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】作出二面角的平面角以及AB与平面所成角，并表示出，结合三角形面积公式以及正弦定理表示出，结合范围确定范围，即可求得答案.【详解】作，垂足为E，连接，因为，即，平面，故平面，平面，故，又，故平面，平面， 则在内的射影在BE上，则为AB与平面所成角，即，由于，，故为二面角的平面角，即，，在中，，则，而，则，则，故，故选：C8.在长郡中学文体活动时间，举办高三年级绳子打结计时赛，现有根绳子，共有10个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束.则这5根绳子恰好能围成一个圈的概率为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用分步计数原理，结合数列的累乘法与古典概型的概率公式即可得解.【详解】不妨令绳头编号为，可以与绳头1打结形成一个圆的绳头除了1，2外有种可能，假设绳头1与绳头3打结，那么相当于对剩下根绳子进行打结，令根绳子打结后可成圆的种数为，那么经过一次打结后，剩下根绳子打结后可成圆的种数为，由此可得，， 所以，所以，显然，故；另一方面，对个绳头进行任意2个绳头打结，总共有；所以，所以当时，.故选：.【点睛】关键点睛：本题的解决关键是利用分步计数原理得到数列的递推式，从而利用数列的累乘法求得结果.二、多选题9.下列说法正确是（）A.展开式中项的系数为B.样本相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱C.根据分类变量与的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验，没有充分证据推断零假设不成立，即可认为与独立D.在回归分析中，用最小二乘法求得经验回归直线使所有数据的残差和为零【答案】ACD【解析】【分析】选项A，利用二项式定理的通项公式求解即可；选项B，根据相关系数的定义判断即可；选项C，根据独立性检验的思想判断；选项D，根据相关指数的定义判断即可.【详解】对于A，设展开式的通项为，令可得展开式中项的系数为，A正确； 对于B，样本相关系数的范围在到之间，有正有负，相关性有正相关和负相关，样本相关系数绝对值的大小越接近于1，两个变量的线性相关性越强；反之．线性相关性越弱，B错误；对于C，由独立性检验可知，没有充分证据推断零假设不成立，即认为与独立，C正确；对于D，在回归分析中，残差和为：，用最小二乘法求得的经验回归直线使所有数据的残差和为零，D正确．故选：ACD．10.已知定义在上的函数满足，且函数为奇函数，则下列说法正确的是（）A.的一个周期是4B.是奇函数C.是偶函数D.的图象关于点中心对称【答案】AC【解析】【分析】对于A：根据周期性的定义分析判断；对于BC：根据题意结合奇偶性的定义分析判断；对于D：根据偶函数的定值结合周期性分析判断.【详解】对于A：由知，所以是周期为4的周期函数，故A正确；对于BC：因为，所以，由为奇函数，得，即，所以的图象关于点中心对称．则，因此，即，且的定义域为，故是偶函数，不一定是奇函数，故B错误，C正确； 对于D：因为是偶函数，即图象的一个对称轴是，且是周期为4的周期函数，所以的图象对称轴是，不一定关于点对称，故D错误，故选：AC．11.如图，在正方体中，点是的中点，点是直线上的动点，则下列说法正确的是（）A.是直角三角形B.异面直线与所成的角为C.当的长度为定值时，三棱锥的体积为定值D.平面平面【答案】ABC【解析】【分析】设正方体的棱长为2，求出相关线段长度，利用勾股定理逆定理可判断形状，判断A；利用平移法可求得异面直线与所成的角，判断B；根据棱锥的体积公式可判断C；建立空间直角坐标系，利用空间位置的向量证明方法可判断D.【详解】对于A，设正方体的棱长为2，点是的中点，故;平面平面，故，则，则，即，即是直角三角形，A正确；对于B，在正方体中，点是的中点， 则直线DP即为直线，异面直线与所成的角即异面直线与所成的角，由于，，故四边形为平行四边形，所以，则即为异面直线与所成的角或其补角，连接，则，即，故异面直线与所成的角为，B正确；对于C，设交于点O，则O为AC的中点，连接PO，则PO为的中位线，故，平面，平面，故平面，当的长度为定值时，到平面的距离为定值，则Q到平面的距离为定值，而的面积为定值，故为定值，又三棱锥的体积，故三棱锥的体积为定值，C正确；对于D，以D为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，则，设平面的法向量为，则，令，则；设平面的法向量为，则，令，则；则，即不垂直，故平面和平面不垂直，D错误，故选：ABC12.已知点是抛物线：的焦点，直线：与相交于，两点，过点，分别作的切线交于点，点是弦的中点，点是线段的中点，则下列说法正确的是（）A.B.直线与轴平行C.点在抛物线上D.【答案】BCD【解析】【分析】利用导数的几何意义，得出抛物线在点，处的切线方程为， ，再结合条件，得出直线的方程为，从而得出，然后再根据题设及各项的条件逐一分析判断即可得出结果.【详解】由，得到，所以，又，，由导数几何意义知，抛物线在点处切线斜率为，所以抛物线在点处的切线方程为，即，又，得到，故抛物线在点处的切线方程为，同理可得，抛物线在点处切线方程为，又两切线交于点，所以，从而得到直线的方程为，即，又由题知直线的方程为，所以，得到，所以选项A错误；对于选项B，联立和，消得到，由韦达定理得，，所以点的横坐标为，又因为，所以选项B正确；对于选项C，由选项B知，，所以，又，所以，又，故点在抛物线上，所以选项C正确；对于选项D，由抛物线定义知，，,又由选项B知，，，所以， 又，所以选项D正确，故选：BCD.【点睛】关键点晴，利用导数的几何意义，得出抛物线在点，处的切线方程为，，再利用两切线方程交于点，从而得到，进而求出直线的方程，再结合条件得出，从而解决问题.三、填空题13.从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）【答案】【解析】【分析】方法一：反面考虑，先求出所选的人中没有女生的选法种数，再根据从人中任选人的选法种数减去没有女生的选法种数，即可解出.【详解】［方法一］：反面考虑没有女生入选有种选法，从名学生中任意选人有种选法，故至少有位女生入选，则不同的选法共有种．故答案为：.［方法二］：正面考虑若有1位女生入选，则另2位是男生，于是选法有种；若有2位女生入选，则另有1位是男生，于是选法有种，则不同的选法共有种．故答案为：.【整体点评】方法一：根据“正难则反”，先考虑“至少有 位女生入选”的反面种数，再利用没有限制的选法种数减去反面种数即可求出，对于正面分类较多的问题是不错的方法；方法二：正面分类较少，直接根据女生的人数分类讨论求出．14.若双曲线经过点，则此双曲线的离心率为__________．【答案】##1.25【解析】【分析】先求出双曲线方程，再由双曲线的性质得到，最后用离心率公式算出结果.【详解】因为点在双曲线上，代入可得，解得，由曲线方程可知，故，所以双曲线的离心率为，故答案为：15.设是椭圆的左、右焦点，为坐标原点，为上一个动点，且的取值范围为，则椭C的长轴长为______．【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利用平面向量数量积的运算律，结合椭圆的范围求得，再列式计算即得.【详解】椭圆的半焦距为c，为的中点，，显然，于是，因此，即，解得，，即，所以椭圆C的长轴长为.故答案为： 16.已知函数，若，且，则______．【答案】【解析】【分析】先利用三角函数的最值得到的关系式，再由，结合诱导公式推得，进而利用三角函数的和差公式与倍解公式求得，从而得到的表达式，再次利用诱导公式即可得解.【详解】由可知，当时，取得最大值，所以，则，又，即，所以，因为，又，则，所以，则，即，解得（负值舍去），故， 所以，则，则.故答案为：.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用整体法与诱导公式得到，从而得解.四、解答题17.记的内角，，所对的边分别是，，．已知．（1）求角的大小；（2）若点在边上，平分，，且，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据余弦定理化简即可得到角的大小；（2）由角平分线定理可得，由，结合余项定理化简即可求得结果.【小问1详解】因为，即化简可得，由余弦定理可得，所以，且，则【小问2详解】由（1）知，由余弦定理可得，将代入，化简可得，又因为平分，由角平分线定理可得，即，且，所以， 又因为,则，结合余弦定理可得，解得，所以则18.已知数列，满足.（1）证明是等比数列，并求的通项公式；（2）设数列的前n项和为，证明：.【答案】（1）证明见解析，（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用定义法证明出是公比为2的等比数列，再求出；（2）先判断出当n为偶数时，.对n分奇偶讨论，分别分组求和及放缩后可以证明出.【小问1详解】，，即，，数列是公比为2的等比数列.又，，，，，， 即.【小问2详解】由(1)，当n为偶数时，，故.当n为奇数时，.当n为偶数时，.综上，.19.如图，多面体中，四边形为菱形，平面，，，，.（1）若是的中点，证明：平面平面；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2） 【解析】【分析】（1）由线线垂直证明线面垂直，再证明面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，用向量法结合坐标运算即可求解.【小问1详解】证明：连接，因为四边形为菱形，且，所以与为等边三角形.又中点为，所以.因为，所以，因为平面，平面，所以.又，平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.【小问2详解】解：连接，，设，交于点，取中点，连接，所以，底面.以为原点，以，，分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，，，设平面的一个法向量为，则令，得；设平面的一个法向量为，则令，得；所以，所以二面角的正弦值为. 20.如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．（1）求异面直线EF与所成角的大小．（2）证明：平面．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，利用可得解；（2）利用和，可证得线线垂直，进而得线面垂直.【详解】据题意，建立如图坐标系．于是：，，，，，∴，，，． （1），∴∴异面直线EF和所成的角为．（2）∴，即，∴即．又∵，平面且∴平面．21.2025年四川省将实行3＋1＋2的高考模式，其中，“3”为语文、数学，外语3门参加全国统一考试，选择性考试科目为政治、历史、地理、物理、化学，生物6门，由考生根据报考高校以及专业要求，结合自身实际，首先在物理，历史中2选1，再从政治、地理、化学、生物中4选2，形成自己的高考选考组合.（1）若某小组共6名同学根据方案进行随机选科，求恰好选到“物化生”组合的人数的期望；（2）由于物理和历史两科必须选择1科，某校想了解高一新生选科的需求.随机选取100名高一新生进行调查，得到如下统计数据，写出下列联表中a，d的值，并判断是否有95％的把握认为“选科与性别有关”？选择物理选择历史合计男生a10女生30d合计30附：.0.100.050.0250.010.005 2.7063.8415.0246.6357.879【答案】（1）（2）40，20，有95％的把握认为“选科与性别有关【解析】【分析】（1）根据列举法求出一个学生恰好选到“物化生”组合的概率，确定6名同学根据方案进行随机选科，符合二项分布，即可求得答案；（2）由题意确定的值，计算的值，与临界值表比较，即得结论.【小问1详解】设物理、历史2门科目为，政治、地理、化学、生物科目为，则根据高考选考组合要求共有组合为，，共12种，所以一个学生恰好选到“物化生”组合的概率为，则6名同学根据方案进行随机选科，符合二项分布，故恰好选到“物化生”组合的人数的期望为；【小问2详解】由题意可得；则，所以有95％的把握认为“选科与性别有关”.22.已知函数（）.（1）当时，求函数的极值；（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.【答案】（1）极小值为，无极大值.（2）的取值范围是. 【解析】【分析】（1）先求函数定义域和导函数，根据导数与极值点的关系求极值点，再求极值即可；（2）由条件可知在上恒成立，再分离变量求最值即可求解.【小问1详解】函数的定义域为，当时，求导得，整理得：.令可得，或（舍去）当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，所以当时，函数取极小值，极小值为，函数无极大值；【小问2详解】由已知时，恒成立，所以恒成立，即恒成立，则.令函数，由知在单调递增，从而.经检验知，当时，函数不是常函数，所以的取值范围是.