甘肃省酒泉市2023-2024学年高二上学期期末数学试题（解析版）.docx

《甘肃省酒泉市2023-2024学年高二上学期期末数学试题（解析版）.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

酒泉市普通高中2023~2024学年度高二第一学期期末考试数学试卷考生注意：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色.墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：选择性必修第一册第四章第三节结束.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.过点且倾斜角为的直线方程为（　　）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据直线的点斜式方程即得.【详解】因过直线倾斜角为，即直线垂直于y轴，故其方程为y＝1．故选：A.2.在等差数列中，若，则（）A.6B.5C.4D.3【答案】D【解析】【分析】根据等差数列的性质即可求解.【详解】由等差数列的性质可得，则，.故选：D3.现有3幅不同的油画，4幅不同的国画，5幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（）A.10种B.12种C.20种D.60种第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 【答案】B【解析】【分析】分三类计数相加即可得解.【详解】分三类：第一类，从3幅不同的油画中任选一幅，有种；第二类，从4幅不同的国画中任选一幅，有种；第三类，从5幅不同的水彩画任选一幅，有种，根据分类加法计数原理得共有种不同的选法.故选：B4.已知双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于5，那么点P到另一个焦点F的距离等于（）A.3B.3或7C.5D.7【答案】D【解析】【分析】利用双曲线标准方程和定义，求解到另一个焦点的距离.【详解】由题意可知，,，则，所以或，又因为,所以，故选：D.5.若数列是公比为4的等比数列，且，则数列是（）A.公差为2的等差数列B.公差为的等差数列C.公比为2的等比数列D.公比为的等比数列【答案】A【解析】【分析】由数列首项和公比求出等比数列的通项公式即可求得,然后根据对数运算可得到,利用等差数列的定义可得结果.第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 【详解】因为数列是公比为4的等比数列，且，所以，，所以数列是公差为2的等差数列，故选A.【点睛】本题主要等差和等比数列的概念与通项公式，以及对数的运算，属于基础题.6.过点作圆的切线，切点为，则切线段长为（）A.B.3C.D.【答案】C【解析】【分析】根据相切，由勾股定理即可求解.【详解】设圆心为半径为，所以,故，故选：C7.与直线和圆都相切半径最小的圆的方程是A.B.C.D.【答案】C【解析】【详解】圆的圆心坐标为，半径为，过圆心与直线垂直的直线方程为，所求圆的圆心在此直线上，又圆心到直线的距离为第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 ，则所求圆的半径为，设所求圆的圆心为，且圆心在直线的左上方，则，且，解得（不符合题意，舍去），故所求圆的方程为.故选C．【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查了数形结合的思想，考查了计算能力，属于中档题．8.班级物理社团同学在做光学实验时，发现了一个有趣的现象：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处.根据椭圆的光学性质解决下面问题：已知椭圆C的方程为，其左､右焦点分别是，，直线l与椭圆C切于点P，且，过点P且与直线l垂直的直线m与椭圆长轴交于点Q，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由入射光线与反射光线的关系，结合角平分线定理可解.【详解】由椭圆定义可得，由光学性质可知，为的角平分线，所以.故选：C第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列式子正确的是（）．A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】AB选项，根据组合数计算公式求出答案；C选项，根据排列数公式计算即可；D选项，根据阶乘定义计算即可.【详解】A选项，，故，A正确；B选项，，故，B正确；C选项，，故，C错误；D选项，，，故，D正确.故选：ABD10.已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（）A.当时，曲线C是椭圆B.当或时，曲线C是双曲线C.若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则D.若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则【答案】BCD【解析】【分析】利用椭圆以及双曲线的标准方程的特征可逐一判断各选项.【详解】A选项，曲线是椭圆等价于，解得且，故A错误；B选项，曲线是双曲线等价于，解得或，故B正确；第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 C选项，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，故C正确；D选项，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得，故D正确.故选：BCD.11.已知直线：，则（）A.直线的倾斜角为B.直线在轴上的截距为C.直线的一个法向量为D.直线的一个方向向量为【答案】BD【解析】【分析】将直线方程化简为一般式得到，截距为，的一个方向向量为，D正确，计算得到C错误，得到答案.【详解】直线：，则，，，故，A错误，直线在轴上的截距为，B正确.，故直线的一个方向向量为，D正确；，C错误.故选：BD.12.“内卷”是一个网络流行词，一般用于形容某个领域中发生了过度的竞争，导致人们进入了互相倾轧､内耗的状态，从而导致个体“收益努力比”下降的现象.数学中的螺旋线可以形象的展示“内卷”这个词，螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始，向外圈逐渐旋绕而形成的图案，如图（1）；它的画法是这样的：正方形ABCD的边长为4，取正方形ABCD各边的四等分E，F，G，H作第二个正方形，然后再取正方形EFGH各边的四等分点M，N，P，Q作第3个正方形，以此方法一直循环下去，就可得到阴影部分图案，设正方形ABCD边长为，后续各正方形边长依次为，，，；如图（2）阴影部分，设直角三角形AEH面积为，后续各直角三角形面积依次为，，，，下列说法正确的是（）第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 A.数列与数列均是公比为的等比数列B.从正方形ABCD开始，连续4个正方形的面积之和为C.和满是等式D.设数列的前n项和为，则【答案】AC【解析】【分析】根据题意，，都是等比数列，从而可求，的通项公式，再对选项逐个判断即可得到答案．【详解】对于A选项，由题意知，且，所以，又因为，所以数列是以4为首项，为公比的等比数列，可得，，所以，由得数列与数列均是公比为的等比数列，故A正确；第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 对于B选项，由上，，，，，所以，故B错误；对于C选项，，，所以，所以，故C正确；对于D选项，因为，且，所以，因为时，是单调递增函数，所以，而，故D错误.故选：AC．【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是求出，的通项公式，考查了学生思维能力、计算能力.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.抛物线的准线方程是__________.【答案】【解析】【分析】先将抛物线方程化为标准方程，即可求解.【详解】由，所以，即准线方程为，故答案为：.14.某研究性学习小组有4名男生和2名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少1第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 名女生，则不同的选法种数为__________.【答案】【解析】【分析】直接利用组合知识分步计算即可.【详解】由已知可得六名同学选三名同学有种方法，而全选男生的有种方法，所以至少一名女生的方法有种方法.故答案为：1615.已知P，Q分别为直线与上任意一点，则的最小值为________.【答案】【解析】【分析】根据两平行直线间的距离公式即可求解.【详解】可化为.两直线平行,的最小值即为两平行线间距离，为.故答案为：.16.《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为________.（注：一丈=十尺，一尺=十寸）【答案】二尺五寸（或2.5尺）【解析】【分析】十二个节气日影长构成一个等差数列，利用等差数列通项公式、前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出芒种日影长.【详解】由题意知：从冬至日起，依次小寒、大寒等十二个节气日影长构成一个等差数列，设公差为，因为冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，所以，解得，，所以芒种日影长为（寸），即二尺五寸.第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 故答案为：二尺五寸（或2.5尺）四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知的顶点，边上的高所在直线方程为，边上的中线所在直线方程为.（1）求直线的方程；（2）求顶点的坐标.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用斜率之积为，再由点斜式写出直线方程；（2）设点，利用中点坐标公式得到，代入所在直线方程即可；方法二先利用点在所在直线上，再利用中点坐标公式求出即可，与方法一过程相反.【小问1详解】因为边上的高所在直线方程为，所以，且，即，因为的顶点，所以直线方程：，即直线的方程为：.【小问2详解】（解法一）因为所在直线方程为，设点，因为是中点，，所以，因为在所在直线方程上，所以，解得：，.（解法二）设点的坐标为，所在直线方程为，所以因为是中点，，所以，第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 因为所在直线方程为，代入得：所以，即，解得：，，即，.18.（1）已知椭圆经过点，离心率为，焦点在轴上，求椭圆的标准方程；（2）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点坐标为，一条斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，求.【答案】（1）；（2）8【解析】【分析】（1）根据椭圆过的点可确定a的值，根据离心率求出c，可求得的值，即可得答案.（2）解法一，由题意可得直线l方程以及抛物线方程，联立可得根与系数关系，利用两点间距离公式，化简即可求得弦长；解法二，由题意可得直线l方程以及抛物线方程，联立可得根与系数关系，利用抛物线定义可得弦长公式，即可求得答案.【详解】（1）由于椭圆的焦点在轴上，可设椭圆的标准方程为，已知椭圆经过点，可得，由离心率为，可得，可得，所以，故椭圆的标准方程为（2）（解法一）设，，由已知可得直线的方程为，又因为抛物线焦点坐标为，则焦准距，故抛物线方程为，由，消去，得，，第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 由一元二次方程的根与系数的关系得：，，于是；（解法二）设，，由已知可得直线的方程为，又因为抛物线焦点坐标为，则焦准距，故抛物线方程为，由，消去，得，，由一元二次方程的根与系数的关系得：，，因为直线经过抛物线的焦点，根据抛物线的定义可知：，，则.19.已知数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和，并证明：.【答案】（1）（2），证明见解析【解析】【分析】（1）由与的关系求出通项公式即可；（2）根据裂项相消法求和后放缩得证【小问1详解】由题知，，第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 两式相减得.又满足上式，所以数列的通项公式.【小问2详解】证明：由（1）知，所以.又，所以.20.（1）过点的直线交抛物线于点，，证明：以为直径的圆过原点；（2）已知的顶点，的坐标分别为，，顶点在圆上运动，求的重心的轨迹方程并指出该轨迹是什么曲线.【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）设直线的方程为，联立抛物线方程，可得根与系数关系式，结合向量的数量积的坐标运算，即可证明结论；（2）设重心的坐标为，点的坐标为，利用三角形重心坐标公式求出，，利用代入法即可求得答案.【详解】（1）证明：设，，由题意可知直线的斜率不为0，不妨设直线的方程为，将与联立得，，由韦达定理得，，则，故，第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 即以线段为直径的圆过原点.（2）设的重心的坐标为，点的坐标为，已知顶点，的坐标分别为，，则的重心的坐标满足，，因此有，，因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程，将圆方程化为：，即满足：，代入得，当共线时，直线BC方程为，联立，求得或，即A点不能取，则不能取，即的重心的轨迹方程为，（去掉点）；所以的重心的轨迹是以为圆心，半径为1的圆（去掉点）.21.已知，双曲线，椭圆，与的离心率之积为.（1）求的渐近线方程；第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 （2）设M，N分别是的两条渐近线上的动点，且，若O是坐标原点，，求动点P的轨迹方程，并指出它是什么曲线.【答案】（1）（2），点轨迹是长轴是，焦距是的椭圆.【解析】【分析】（1）先表示出双曲线和椭圆的离心率，然后离心率乘积列方程计算即可得，从而直接求出双曲线的渐近线方程；（2）设出M，N的坐标，根据两点距离公式及已知可得，再利用向量坐标运算公式得，代入化简即可求得动点轨迹方程，并根据椭圆定义说明轨迹.【小问1详解】离心率是，离心率是.由得，所以的渐近线方程是.【小问2详解】不妨设在上，在上，则，.因为，所以，即，因为，设，则，故，化简得点轨迹方程是.则点轨迹是长轴是，焦距是的椭圆.第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 22.已知数列是等差数列，，记为数列的前项和，且（1）求数列的通项公式；（2）若，求，.【答案】（1）（2），【解析】【分析】设数列的通项公式为：,根据与的关系及（1）求解出和,即可得的通项公式；（2）分奇偶对和进行讨论，再根据求解,.【小问1详解】设数列的首项为，公差为，则.，由，故.因为，所以解得，，故.【小问2详解】当，时，,所以.当，时，，，所以由已知，故，不能同时为奇数或偶数，所以，为奇数与偶数.当为奇数，为偶数时，则，第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司 所以，，；当为偶数，为奇数时，则，所以，，.因为，所以，.第17页/共17页学科网（北京）股份有限公司