甘肃省天水市甘谷县第四中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题（解析版）.docx

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甘谷四中2022—2023学年高二第一学期期末考试试卷数学试题第I卷（选择题，共60分）一、单选题(本题共8小题，每小题5分共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知点，在直线上，则直线的倾斜角为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据已知可求出直线的斜率，根据斜率与倾斜角的关系即可解出答案.【详解】显然直线的斜率存在，设直线的斜率为，倾斜角为.由已知可得，直线的斜率，又，所以，则.故选：B.2.抛物线的焦点到准线的距离是（）A.8B.4C.D.【答案】A【解析】【分析】根据抛物线方程求得，由此求得正确答案.【详解】抛物线方程为，所以，所以抛物线的焦点到准线的距离是.故选：A3.若动点满足关系式，则点的轨迹是（）A直线B.圆C.椭圆D.双曲线一支【答案】D第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司 甘谷四中2022—2023学年高二第一学期期末考试试卷数学试题第I卷（选择题，共60分）一、单选题(本题共8小题，每小题5分共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知点，在直线上，则直线的倾斜角为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据已知可求出直线的斜率，根据斜率与倾斜角的关系即可解出答案.【详解】显然直线的斜率存在，设直线的斜率为，倾斜角为.由已知可得，直线的斜率，又，所以，则.故选：B.2.抛物线的焦点到准线的距离是（）A.8B.4C.D.【答案】A【解析】【分析】根据抛物线方程求得，由此求得正确答案.【详解】抛物线方程为，所以，所以抛物线的焦点到准线的距离是.故选：A3.若动点满足关系式，则点的轨迹是（）A直线B.圆C.椭圆D.双曲线一支【答案】D第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司 【解析】【分析】设，.由已知可得，根据双曲线的定义即可得出答案.【详解】设，，则.则由已知可得，，所以点的轨迹是双曲线的左支.故选：D.4.已知圆和圆，则圆与圆的位置关系为（）A.相离B.内切C.相交D.外切【答案】C【解析】【分析】求出圆心距，与两圆半径和与差的绝对值进行大小比较，可得出两圆的位置关系.【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，因为，则，因此，圆与圆相交.故选：C.5.现有7位学员与3位摄影师站成一排拍照，要求3位摄影师互不相邻，则不同排法数为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】将3位摄影师插入站好的7位同学的8个空里.【详解】先排7位学员，共有种排法，再从8个空位中选3个安排给3位摄影师，故不同排法数为．故选：A6.已知双曲线：的渐近线方程为：，则该双曲线的离心率为（）A.B.C.2D.【答案】A【解析】第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司 【分析】根据渐近线方程求出，从而根据求出离心率.【详解】的渐近线方程为，故，故双曲线的离心率为.故选：A7.定义，已知数列等比数列，且，，则（）A.B.C.4D.【答案】C【解析】【分析】根据新定义及等比数列的性质运算即得.【详解】因为，所以，即，又为等比数列，，所以同号，，又，所以．故选：C.8.已知直线交椭圆于A，B两点，且线段AB的中点为，则直线的斜率为（）A.-2B.C.2D.【答案】D【解析】【分析】设出A，B坐标，列出坐标所满足的方程，将两方程相减得到l的斜率与线段AB中点坐标的关系，由此求解出直线l的斜率.【详解】设，，因为A，B都在椭圆上，第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司 所以，两式相减，得，得，又因为线段AB中点坐标为，，，所以，故选：D.二、多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9.设椭圆的左右焦点为，，P是C上的动点，则下列结论正确的是（    ）．A.B.P到最小的距离是2C.面积的最大值为6D.P到最大的距离是9【答案】AD【解析】【分析】根据椭圆的定义和性质逐项运算分析即可.【详解】由椭圆方程可得：，则，对A：根据椭圆定义可得，A正确；对B：根据椭圆性质可知当P是椭圆的左顶点时，P到的距离最小，最小值为，B错误；对C：根据椭圆性质可知当P是椭圆的上顶点时，的面积最大，最大值为，C错误；对D：根据椭圆性质可知当P是椭圆的右顶点时，P到的距离最大，第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司 最小值为，D正确.故选：AD.10.下列说法中正确的有（）A.设为两个定点，为非零常数，，则动点的轨迹为双曲线B.方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率C.双曲线与椭圆有相同的焦点D.过作直线，使它与抛物线有且仅有一个公共点，这样的直线有2条【答案】BC【解析】【分析】对于A，根据双曲线定义判断即可；对于B，解方程，根据椭圆和双曲线离心率范围判断即可；对于C，根据椭圆和双曲线焦点求法判断即可；对于D，画图判断即可.【详解】对于A，设为两个定点，为非零常数，，且，则动点的轨迹为双曲线，故A错误；对于B，方程，即的两根解得或2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，故B正确；对于C，双曲线的焦点在轴上，，所以焦点为，椭圆的焦点在轴上，，所以焦点为，故C正确；对于D，抛物线开口向右，，过作直线，如图第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司 过作直线，使它与抛物线有且仅有一个公共点的直线有和三条直线；故D错误；故选：BC11.已知椭圆的离心率为，左，右焦点分别为，，为椭圆上一点（异于左，右顶点），且的周长为6，则下列结论正确的是（）A.椭圆焦距为1B.椭圆的短轴长为C.面积的最大值为D.椭圆上存在点，使得【答案】BC【解析】【分析】根据，解得可判断AB；设，由知当点为椭圆的上顶点或下顶点时面积最大，求出面积的最大值可判断C；假设椭圆上存在点，设，求出、，可看作方程，求出判别式可判断D.【详解】由已知得，，解得，，对于A，椭圆的焦距为，故A错误；对于B，椭圆的短轴长为，故B正确；对于C，设，，当点为椭圆的上顶点或下顶点时面积的最大，此时，所以面积的最大值为，故C正确；对于D，假设椭圆上存在点，使得，设，所以，，，所以是方程，其判别式，所以方程无解，故假设不成立，故D错误.第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司 故选：BC.12.已知等差数列满足，前3项和，则（）A.数列的通项公式为B.数列的公差为C.数列的前项和为D.数列的前20项和为【答案】BCD【解析】【分析】通过基本量计算得和d，可判断ABC；用裂项相消法求和可判断D.【详解】设等差数列的公差为由题知，，解得，则，，故A错，BC正确；记的前n项和为，因为，所以所以，故D正确.故选：BCD第II卷（非选择题，共90分）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.以点为圆心，且经过原点的圆的方程为________.【答案】【解析】第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司 【分析】设圆的方程为，再把原点坐标代入求出可得答案.【详解】由题设圆的标准方程为，因为原点在圆上，所以，所以圆的标准方程为.故答案为：.14.若抛物线上的点M到焦点的距离为8，则点M到y轴的距离为_____．【答案】5【解析】【分析】设，根据已知求出抛物线的准线方程.根据抛物线的定义求出，即可得出结果.【详解】解：由已知可得，抛物线的焦点坐标为，准线方程为.由已知根据抛物线的定义可得，点到准线距离为8.设，，则，解得.所以点到轴距离为5.故答案为：5．15.某校甲、乙、丙、丁4个学生自愿参加植树活动，有A，B，C这3处植树地点供选择，每人只能选其中一处地点参与植树，且甲不在A地、乙不在B地植树，则不同的选择方式共有__________种.【答案】36【解析】【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式计算作答.【详解】计算不同的选择方式的种数需分步进行，甲、乙选植树地点各有2种方法，丙、丁选植树地点各有3种方法，由分步乘法计数原理得：，所以不同的选择方式共有36种.故答案为：3616.已知双曲线C：的右焦点到渐近线的距离为3，则双曲线方程为______.第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司 【答案】【解析】【分析】先写出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式得到，再利用焦点坐标为即可求解.【详解】双曲线C：的渐近线方程为：，因为右焦点到渐近线距离为3，即，又因为，也即，所以，所以双曲线方程为，故答案为：.四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知椭圆的两焦点为、，为椭圆上一点，且是与的等差中项.（1）求此椭圆方程；（2）若点满足，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设该椭圆的标准方程为，根据椭圆的定义求出的值，进一步可求得的值，由此可得出该椭圆的方程；（2）利用余弦定理结合基本不等式可求得的值，再利用三角形的面积公式可求得结果.【小问1详解】解：设该椭圆的标准方程为，由已知得，，所以，，第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司 因此，该椭圆的方程为.【小问2详解】解：由余弦定理可得，可得，所以，.18.已知点N（0，1），直线l：3x－4y＝0，直线m过点N且与l垂直，直线m交圆x2+y2＝4于两点A，B．（1）求直线m的方程；（2）求弦AB的长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由垂直关系得直线m的斜率，写点斜式方程（2）由直线与圆相交弦长公式计算【小问1详解】∵直线l：3x－4y＝0，直线m与l垂直，∴直线m的斜率为∴直线m的方程为，即【小问2详解】圆x2+y2＝4的圆心坐标为O（0，0），半径r＝2，圆心O到直线的距离弦长19.已知点，直线：，平面内存在点，使得点到点M的距离比到直线的距离小1.（1）求点的轨迹方程C.第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司 （2）已知直线：，求被曲线C截得的弦长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义即可求解.（2）将直线方程与曲线方程联立，利用韦达定理和弦长公式即可求解.【小问1详解】因为点，直线：，平面内存在点，使得点到点M的距离比到直线的距离小1，也即点到点M的距离等于到直线的距离，由抛物线的定义可知：点的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线，所以点的轨迹方程为：.【小问2详解】由（1）可知：曲线的方程为：，设直线与曲线交于，，联立方程组，消元可得：，所以，，由弦长公式可得：，所以被曲线C截得的弦长为.20.已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为、，直线过右焦点且与双曲线交于、两点．（1）若双曲线的离心率为，虚轴长为，求双曲线的焦点坐标；（2）设，，若的斜率存在，且，求的斜率．【答案】（1）第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司 （2）【解析】【分析】(1)由离心率公式和的关系式，即可求出结果；(2)求出右焦点的坐标，设出直线方程，与双曲线方程联立，消元，运用韦达定理结合已知条件，即可求出直线的斜率.【小问1详解】由题意可知：，，解得：，所以双曲线的方程为，故双曲线的焦点坐标为：.【小问2详解】因为，，所以双曲线方程为，可得，设的方程为：，，则直线的斜率为：，联立直线与双曲线的方程，消去可得：，因为直线与双曲线有两个交点，则且，即，可得：，则，，，由可得，，即，将代入可得：，即，解得：，解得：，即直线的斜率为.第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司 21.在数列{}中，（1）求证：是等比数列：（2）求数列{}的前n项和.【答案】（1）证明过程见详解（2）【解析】【分析】(1)根据递推公式和等比数列的定义即可使问题得证；(2)利用等比数列的求和公式，分组求和即可求解.【小问1详解】由题意知：，所以，即，又，所以数列是以3为首项，以3为公比的等比数列.【小问2详解】由（1）可知：，所以，所以.22.已知椭圆的左，右焦点分别为，上顶点为，且为等边三角形．经过焦点的直线与椭圆相交于两点，的周长为8．（1）求椭圆的方程；（2）求的面积的最大值及此时直线的方程．第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司 【答案】（1）；（2）最大值3，此时直线的方程为.【解析】【分析】（1）由为等边三角形，得到，由椭圆定义得到的周长为，求出，进而求出，得到椭圆方程；（2）推理出直线斜率不为0，设出直线，联立椭圆方程，求出两根之和，两根之积，表达出的面积，换元后结合基本不等式求出最大值及此时直线的方程.【小问1详解】由为等边三角形，，，故，，的周长为，得．，椭圆的方程为；【小问2详解】由（1）知，且直线斜率不为0．设直线．由消去，得，显然，，由面积，第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司 而，设，则．在上单调递增，当时，．即当时，取得最大值3，此时直线的方程为．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司