河南省许平洛济四市2023-2024学年高三上学期第二次质量检测数学Word版含解析.docx

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许济洛平2023—2024学年高三第二次质量检测数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.若复数z满足，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合则=（）AB.C.D.3.为更好地满足民众个性化、多元化、便利化的消费需求，丰富购物体验和休闲业态，某市积极打造夜间经济.为不断创优夜间经济发展环境、推动消费升级，有关部门对某热门夜市开展“服务满意度调查”，随机选取了100名顾客进行问卷调查，对夜市服务进行评分(满分100分)，根据评分情况绘制了如图所示的频率分布直方图，估计这组数据的第55百分位数为（）A.65B.72C.72.5D.754.已知圆O:与x轴交于A，B两点，点M是直线上任意一点.设，则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 5.已知则（）A.B.C.D.6.斜率为1的直线l过抛物线的焦点F，且与C相交于A，B两点，O为坐标原点，若的面积是，则（）A.4B.8C.12D.167.设，，其中e为自然对数的底数，则（）A.B.C.D.8.小明参加答题闯关游戏，答题时小明可以从A，B，C三块题板中任选一个进行答题，答对则闯关成功.已知他选中A，B，C三块题板的概率分别为0.2，0.3，0.5，且他答对A，B，C三块题板中题目的概率依次为0.91，0.92，0.93.则小明闯关失败的概率是（）A.0.24B.0.14C.0.077D.0.067二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数的图象的一个对称中心为，其中，则（）A.直线为函数的图象的一条对称轴B.函数的单调递增区间为，C.当时，函数的值域为D.将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象10.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量的总和.大衍数列从第一项起依次为0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，….记大衍数列的前项和为，其通项公式.则（） 参考公式：A.是数列中的项B.C.D.11.在的展开式中，若第项与第项的二项式系数相等，则（）A.展开式中的系数为B.展开式中所有项的系数的和为C.展开式中系数的绝对值最大的项是第项D.从展开式中任取2项，取到项都是的整数次幂的概率为12.已知则（）A当时，无最大值B.当时，无最小值C.当时，值域是(-∞，2]D.当时，的值域是[2，+∞)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知双曲线的离心率为则_____.14.在平行四边形中，，，点为线段的中点，则______________.15.如图，在棱长为1的正方体中，是棱(不包含端点)上一动点，则三棱锥的体积的取值范围为__________. 16.已知定义在上的函数满足为的导函数，当时，，则不等式的解集为_______________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知的三个角的对边分别为，且（1）求B；（2）若，求的面积.18.已知正项数列的前n项和为，且满足.（1）求通项公式；（2）已知设数列的前n项和为当n∈时，，求实数λ的范围.条件:①，且等差数列；②；③请从这三个条件中任选一个，并将其序号填写在答题卡对应位置，并完成解答.19.党的二十大以来，国家不断加大对科技创新的支持力度，极大鼓舞了企业持续投入研发的信心.某科技企业在国家一系列优惠政策的大力扶持下，通过不断的研发和技术革新，提升了企业收益水平.下表是对2023年1~5月份该企业的利润y(单位：百万)的统计.月份1月2月3月4月5月月份编号x12345利润y(百万)712131924（1）根据统计表，求该企业的利润y与月份编号x的样本相关系数(精确到0.01) ，并判断它们是否具有线性相关关系（，则认为y与x的线性相关性较强，，则认为y与x的线性相关性较弱.）；（2）该企业现有甲、乙两条流水线生产同一种产品.为对产品质量进行监控，质检人员先用简单随机抽样的方法从甲、乙两条流水线上分别抽取了5件、3件产品进行初检，再从中随机选取3件做进一步的质检，记抽到“甲流水线产品”的件数为，试求的分布列与期望.附：相关系数20.如图，在多面体中，四边形为菱形，且∠ABC=60°，AE⊥平面ABCD，AB=AE=2DF，AEDF.（1）证明：平面AEC⊥平面CEF；（2）求平面ABE与平面CEF夹角的余弦值.21.已知函数.（1）当时，求的图象在点处的切线方程;（2）当时，证明：.22.已知椭圆E的左、右焦点为，过的直线交椭圆于，两点，的周长为.（1）求椭圆的方程;（2）点，分别为椭圆的上、下顶点，过直线上任意一点作直线和，分别交椭圆于，两点.证明：直线过定点. 许济洛平2023—2024学年高三第二次质量检测数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.若复数z满足，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】【分析】结合复数的模的计算，求出复数z，即可得，根据复数的几何意义，即可得答案.【详解】由得，故，其实部为，虚部为，故在复平面内对应的点为，位于第一象限，故选：A2.已知集合则=（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】解两个集合中的不等式，得到这两个集合，再求交集.【详解】不等式，等价于，解得，即， 不等式，等价于，解得，即，所以故选：B3.为更好地满足民众个性化、多元化、便利化的消费需求，丰富购物体验和休闲业态，某市积极打造夜间经济.为不断创优夜间经济发展环境、推动消费升级，有关部门对某热门夜市开展“服务满意度调查”，随机选取了100名顾客进行问卷调查，对夜市服务进行评分(满分100分)，根据评分情况绘制了如图所示的频率分布直方图，估计这组数据的第55百分位数为（）A.65B.72C.72.5D.75【答案】D【解析】【分析】根据频率分布直方图先估算出第数所在区间为，然后即可求出.【详解】由题中频率分布直方图知区间，，三个区间频率为，所以第数所在区间为，且设为，则，解得，故D正确.故选：D.4.已知圆O:与x轴交于A，B两点，点M是直线上任意一点.设，则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由图结合几何知识可知等价于过定点直线与圆O: 相离，即可得答案.【详解】如图，由题可知直线过定点，设为点N.当直线与圆相离时，设M为直线上任意点，连接MA，MB，设MA（或MB）与圆O交于C点，连接CB（CA），则，由外角性质，总有；如图，当直线与圆相切或相交时，在直线上均存在点M，使.综上，等价于直线与圆O:相离，则.注意到是的真子集，则p是q的充分不必要条件.故选：A5.已知则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据给定的条件，利用辅助角公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算即得. 【详解】由，得，所以.故选：C6.斜率为1的直线l过抛物线的焦点F，且与C相交于A，B两点，O为坐标原点，若的面积是，则（）A.4B.8C.12D.16【答案】B【解析】【分析】设直线l的方程，联立抛物线方程，可得根与系数的关系，即可求出弦长的表达式，结合的面积求得参数p，即可求得答案.【详解】由题意知抛物线的焦点F坐标为，设直线l的方程为，联立，得，，设，则，故，又点O到直线的距离为，则，即，故， 故选：B7.设，，其中e为自然对数的底数，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】构造函数，利用导数讨论其单调性比较b，c；构造函数，利用导数讨论其单调性比较a，b即得.【详解】令，则，当时，，单调递增，因此，即，令，则，当时，，单调递减，因此，即所以.故选：D8.小明参加答题闯关游戏，答题时小明可以从A，B，C三块题板中任选一个进行答题，答对则闯关成功.已知他选中A，B，C三块题板的概率分别为0.2，0.3，0.5，且他答对A，B，C三块题板中题目的概率依次为0.91，0.92，0.93.则小明闯关失败的概率是（）A.0.24B.0.14C.0.077D.0.067【答案】C【解析】【分析】利用全概率公式计算即可.【详解】由题意，小明闯关失败的概率.故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数的图象的一个对称中心为，其中，则（）A.直线为函数的图象的一条对称轴 B.函数的单调递增区间为，C.当时，函数的值域为D.将函数图象向左平移个单位长度后得到函数的图象【答案】ACD【解析】【分析】先根据题意求出函数的解析式，利用整体代入的方法判断函数的对称轴即可判断A；利用整体代入的方法求解函数单调递增区间即可判断B；利用整体思想换元，结合一次函数以及正弦函数的单调性求出函数的值域即可判断C；根据三角函数的平移伸缩变换求出平移后的解析式即可判断D．【详解】由函数的图象的一个对称中心为，则，得，即，，又，得，所以．对于A，当时，，所以直线为函数的图象的一条对称轴，故A正确；对于B，令，，解得，，故B错误；对于C，由，则，所以，故C正确；对于D，将函数的图象向左平移个单位长度后得到，故D正确．故选：ACD．10.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量的总和.大衍数列从第一项起依次为0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，….记大衍数列的前项和为，其通项公式 .则（）参考公式：A.是数列中的项B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】根据的通项公式，分类讨论为奇偶情况，即可逐项求解判断.【详解】对A：当为偶数时，，解得，不符题意；当为奇数时，，解得，符合题意，故A正确；对B：，故B正确；对C：由题意知，所以，故C错误；对D：故D正确；故选：ABD.11.在的展开式中，若第项与第项的二项式系数相等，则（） A.展开式中的系数为B.展开式中所有项的系数的和为C.展开式中系数的绝对值最大的项是第项D.从展开式中任取2项，取到的项都是的整数次幂的概率为【答案】BD【解析】【分析】根据题意得到展开式的总项数为11项，，然后利用展开式的通项公式即可对各项判断求解.【详解】由题知展开式，其中第项与第项二项式系数相等，所以，得，得对A：由展开式，得，所以得的系数，故A错误；对B：由的展开式中，令，得展开式中所有项的系数的和为，故B正确；对C：展开式中的系数加绝对值后为，第项系数为，第项系数为，故C错误；对D：由，共有项，其中当时，为整数， 所以在展开式中任取项，取到的项都是的整数次幂的概率为，故D正确.故选：BD.12.已知则（）A.当时，无最大值B.当时，无最小值C.当时，的值域是(-∞，2]D.当时，的值域是[2，+∞)【答案】AD【解析】【分析】对于AB选项，利用导数判断单调性即可得答案；对于CD选项，分，两种情况讨论单调性即可得答案【详解】对于AB选项，，.，则在上单调递减，在上单调递增，故无最大值，则A正确，B错误；对于CD选项，.当时，， 则在上单调递增，则此时；当时，注意到，则.令.注意到，均在上单调递增，则在上单调递增.因，，则，使.则.即在上单调递减，在上单调递增.注意到，则，则，又，则，即在上单调递减，则，综上，当时，的值域是[2，+∞).故C错误，D正确.故选：AD【点睛】关键点睛：对于带有三角函数的复杂函数，常利用分区间段讨论，放缩，估值等手段，消除三角函数对于问题的影响.本题所涉函数较为复杂，为研究其单调性，将所涉区间分段，并引入新函数加以研究. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知双曲线的离心率为则_____.【答案】1【解析】【分析】根据给定条件，利用双曲线离心率计算公式列式计算即得.【详解】依题意，双曲线的离心率，所以.故答案为：114.在平行四边形中，，，点为线段的中点，则______________.【答案】【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标运算求向量数量积.【详解】，以为原点，为轴，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，，则，有，，，，，.故答案为：15.如图，在棱长为1的正方体中，是棱(不包含端点)上一动点，则三棱锥的体积的取值范围为__________. 【答案】【解析】【分析】利用空间向量求出点到平面的距离，从而求解.【详解】由题知以点为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，，，，设，，得，则，设平面的一个法向量为，则，令，得，所以点到平面的距离，又因为，所以，由题知，所以为等边三角形，其面积， 所以三棱锥的体积，故答案为：.16.已知定义在上的函数满足为的导函数，当时，，则不等式的解集为_______________.【答案】【解析】【分析】构造函数，由已知条件得在上是偶函数，然后根据其单调性从而可求解.【详解】令，所以，因为，所以，化简得，所以在上是偶函数，因为，因为当，，所以，在区间上单调递增，又因为为偶函数，所有在上单调递减，由，得，又因为，所以，所以，解得或，所以不等式的解集为.故答案为：.【点睛】通过构造函数，结合已知函数求出函数为偶函数和其单调性，从而求解. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知的三个角的对边分别为，且（1）求B；（2）若，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角和定理结合两角和的正弦公式化简即可得解；（2）先利用余弦定理求出，再根据三角形的面积公式求解即可.【小问1详解】在中，因由正弦定理可得：所以所以整理得又，所以，所以得因为，所以；【小问2详解】由（1）知，，又，在中，由余弦定理，得，所以，解得或（舍去），所以的面积.18.已知正项数列的前n项和为，且满足.（1）求的通项公式； （2）已知设数列的前n项和为当n∈时，，求实数λ的范围.条件:①，且等差数列；②；③请从这三个条件中任选一个，并将其序号填写在答题卡对应位置，并完成解答.【答案】（1）选项见解析，（2）【解析】【分析】（1）选①可得为等比数列，后由题意可得首项，公比，即可得答案；选②，由可得，即，后可得答案；选③可得，进而可得，后可得，即可得答案;（2）由（1）结合错位相减法可得，后分n为偶数，奇数两种情况可λ的范围.【小问1详解】若选①，因为数列中，，所以数列{}为等比数列.设{}的公比为q，则，由题意得，又，可得，即，则有，因为，解得，故；若选②，因为，所以.所以.当时，有，且，.所以数列{}是首项,公比的等比数列，所以； 若选③，由，所以，所以.当时，，所以所以，数列{}为以首项，公比的等比数列，所以；【小问2详解】由（1）可知:数列满足，数列的前n项和，则，两式相减可得:，所以.不等式,注意到数列为递增数列，当n为偶数时，，取，可得；当n为奇数时，，取，可得.综上，实数λ的取值范围是.19.党的二十大以来，国家不断加大对科技创新的支持力度，极大鼓舞了企业持续投入研发的信心.某科技企业在国家一系列优惠政策的大力扶持下，通过不断的研发和技术革新，提升了企业收益水平.下表是对2023年1~5月份该企业的利润y(单位：百万)的统计.月份1月2月3月4月5月月份编号x12345利润y(百万)712131924 （1）根据统计表，求该企业的利润y与月份编号x的样本相关系数(精确到0.01)，并判断它们是否具有线性相关关系（，则认为y与x的线性相关性较强，，则认为y与x的线性相关性较弱.）；（2）该企业现有甲、乙两条流水线生产同一种产品.为对产品质量进行监控，质检人员先用简单随机抽样的方法从甲、乙两条流水线上分别抽取了5件、3件产品进行初检，再从中随机选取3件做进一步的质检，记抽到“甲流水线产品”的件数为，试求的分布列与期望.附：相关系数【答案】（1）；具有很强的线性相关性（2）分布列见解析；【解析】【分析】（1）根据公式求出相关系数的值，即可判断；（2）根据题意可知可取的为，然后计算列出分布列，求出期望即可求解.【小问1详解】由统计表数据可得:所以所以相关系数，因此，两个变量具有很强的线性相关性.【小问2详解】由题意知，的可能取值为 因为，，所以的分布列为：所以20.如图，在多面体中，四边形为菱形，且∠ABC=60°，AE⊥平面ABCD，AB=AE=2DF，AEDF.（1）证明：平面AEC⊥平面CEF；（2）求平面ABE与平面CEF夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）通过证明BD⊥平面AEC，HF∥BD，可证明结论；如图建立空间直角坐标系，算出平面CEF的一个法向量，利用向量方法可得答案.【小问1详解】如图，取EC的中点H，连结BD交AC于点O，连结HO、HF.因为四边形ABCD为菱形，则AC⊥BD.又AE⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以AE⊥BD.因为AE⊂平面AEC，AC⊂平面AEC，且AE∩AC=A， 所以BD⊥平面AEC.因为H、O分别为EC、AC的中点，所以HO∥EA，且又AE∥DF，且.所以HO∥DF，且HO=DF，所以四边形HODF为平行四边形，所以HF∥OD，即HF∥BD，所以HF⊥平面AEC.因为HF⊂平面CEF，所以平面AEC⊥平面CEF.【小问2详解】取CD中点M，连接AM.因为菱形ABCD中，∠ABC=60°，所以ACD为正三角形，又M为CD中点，所以AM⊥CD，因为AB∥CD，所以AM⊥AB.因为AE⊥平面ABCD，AB，AM⊂平面ABCD，所以AE⊥AB，AE⊥AM.如图，以A为原点，AB，AM，AE所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系.不妨设AB=AD=AE=2DF=2，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(1，0)，，E(0，0，2)，因为AM⊥平面ABE，所以为平面ABE的一个法向量，设平面CEF的法向量为，因为，所以，不妨令，得.设平面ABE与平面CEF夹角为θ，则，所以平面ABE与平面CEF夹角的余弦值为. 21.已知函数.（1）当时，求的图象在点处的切线方程;（2）当时，证明：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）分别求出，再利用直线的点斜式方程即可求解；（2）利用作差法并构造函数，并利用二次导数求出恒成立，即可求解.【小问1详解】当时，，则所以，又因为，故所求切线方程为，即.【小问2详解】因为的定义域是，所以当时，设，则，设则在上恒成立，所以在上是增函数，则， 又因为，因为，所以，又因为，所以，所以在上存在唯一零点，也是在上的唯一零点，所以，即，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，所以由于，所以，，，所以，所以，所以当时，，即成立【点睛】方法点睛：（2）问中通过作差法后构造函数，利用构造函数的二次求导求出其最小值大于零，从而求证.22.已知椭圆E的左、右焦点为，过的直线交椭圆于，两点，的周长为.（1）求椭圆的方程;（2）点，分别为椭圆的上、下顶点，过直线上任意一点作直线和，分别交椭圆于，两点.证明：直线过定点.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由椭圆定义并结合的周长为，从而可求解； （2）利用数型结合，设出直线，分别与椭圆联立，然后利用根与系数关系从而求解.【小问1详解】由题意知，的周长为，则，所以，又，则所以椭圆的方程为.【小问2详解】由题意可作出图形，如图，由题意知，，，直线，，斜率均存在，设，，则直线：，由，得因为恒成立，所以，即，所以，直线：，由得，因为恒成立，所以所以，， 所以，所以直线方程为：所以直线过定点【点睛】（2）问中设出直线分别与椭圆联立后利用根与系数关系，从而可求解.