新疆乌鲁木齐市第六十八中学2023-2024学年高三上学期1月月考数学Word版含解析.docx

《新疆乌鲁木齐市第六十八中学2023-2024学年高三上学期1月月考数学Word版含解析.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

乌鲁木齐市第六十八中学高三1月月考数学试题总分150分考试时间120分钟一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A.B.C.D.2.若虚数单位，复数满足，则（）A.B.C.D.3.已知向量，，，则（）A.B.C.D.4.下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（　　）A.B.C.D.5.已知c是椭圆）的半焦距，则取最大值时椭圆的离心率是（）A.B.C.D.6.已知，若，则（）A.或B.C.D.7.角A是内角，则“”是“，且”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.在中，已知，则（）A.2021B.2022C.4042D.4043二、选择题：本题共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得五分，部分选对的得两分，有选错的得零分.9.下列命题中正确的是（） A.已知一组数据7，7，8，9，5，6，8，8，则这组数据的中位数为8B.若随机变量服从正态分布，，则C.根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若样本中心点为，则D.若随机变量，且，则10.（多选题）已知，则a，b满足下列关系的是（）A.B.C.D.11.已知函数，则（）A.函数有两个极值点B.函数有三个零点C.若，则是偶函数D.点是函数的对称中心12.四棱锥的四个侧面都是腰长为，底边长为2的等腰三角形，则该四棱锥的高为（）A.B.C.D.三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.13.在1,2,3,4,5这五个数字中任取不重复3个数字组成一个三位数，则组成的三位数是奇数的概率是________．(用分数表示)14.已知正三棱台上底面边长为2.下底面边长为4，且侧棱与底面所成的角是，那么这个正三棱台的体积等于___________.15.已知关于方程在区间上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为___________.16.已知双曲线左、右焦点分别为，，过的直线与C的右支交于A，B两点，若，，则C的离心率为______. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请根据答题卡题号及分值在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效.17.它们的终边分别与单位圆相交于(1)求；(2)求的值.18.如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，E为CD的中点连接AE交BD于G，点F在侧棱PD上，且DFPD．（1）求证：PB∥平面AEF；（2）若，求三棱锥E﹣PAD的体积．19.已知函数.（1）当时，求函数的单调增区间；（2）若不等式对于任意成立，求正实数的取值范围.20.已知公差的等差数列，是的前项和，，是和的等比中项.（1）求的通项公式；（2）设数列满足，且的前项和为，求证.21.某果农在其承包的100亩果园中种植一种原生态水果(每年种植一季)，每亩的种植成本为5000元，由于受天气和市场供求关系的影响，此水果的亩产量和销售价格均具有随机性，且互不影响.根据近几年的数据得知，每季由产量为的概率为0.4.亩产量为的概率为0.6，市场销售价格(单位：元/kg)与其概率的关系满足. （1）设表示此果农某季所获得的利润，求的分布列和数学期望；（2）求5年中恰有4年此果农的利润高于100万元的概率.22.已知函数．（1）若，求函数的单调减区间；（2）若，正实数，满足，证明：． 乌鲁木齐市第六十八中学高三1月月考数学试题总分150分考试时间120分钟一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】联立中的方程组成方程组，求出解即可确定出两集合的交集【详解】联立集合可得：，解得或则故选【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．2.若是虚数单位，复数满足，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先化简复数，再代入，由复数的模长公式即可求出答案.【详解】由已知，，.故选：B.3.已知向量，，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】 【分析】根据向量加减法、向量垂直和平行的坐标表示依次验证各个选项即可.【详解】对于A，，不平行，A错误；对于B，，，，B正确；对于C，，C错误；对于D，，D错误.故选：B.4.下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（　　）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，即可得答案．【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A，，为幂函数，既是奇函数，又是增函数，符合题意；对于B，，为一次函数，不是奇函数，不符合题意；对于C，，为偶函数，不符合题意；对于D，，为对数函数，不是奇函数，不符合题意；故选A．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的单调性与奇偶性，属于基础题．5.已知c是椭圆）的半焦距，则取最大值时椭圆的离心率是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】用椭圆的性质直接对原式进行减少变量处理，得到，看成以为变量的函数的最值问题，可利用换元法求解.【详解】， 因为∴．设，则∴当，即时，取最大值，此时离心率.故选：C6.已知，若，则（）A.或B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由正弦的二倍角公式得，再根据同角三角函数的关系可得，令，建立方程解之可得选项.【详解】由，可得，所以，令，所以，即，解得或又，所以，所以，当时，，符合题意；当时，，不符合题意，所以，故选：B.【点睛】易错点睛：本题考查三角函数给值求值问题，注意根据需角的范围取值.7.角A是的内角，则“”是“，且”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】利用三角函数的性质分析即可.【详解】因为角是的内角，所以， 当，根据三角函数的性质可得，，，所以由“”能推出“，且”，当，，可得，此时也成立，所以由“，且”能推出“”．故选：C．8.在中，已知，则（）A.2021B.2022C.4042D.4043【答案】D【解析】【分析】根据同角三角函数的基本关系将切化弦，再根据两角和的正弦公式及诱导公式得到，再利用正弦定理将角化边，结合余弦定理计算可得；【详解】解：由得所以，故，即，即，故.故选：D.二、选择题：本题共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得五分，部分选对的得两分，有选错的得零分.9.下列命题中正确的是（）A.已知一组数据7，7，8，9，5，6，8，8，则这组数据的中位数为8B.若随机变量服从正态分布，，则C.根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为 ，若样本中心点为，则D.若随机变量，且，则【答案】BC【解析】【分析】将A的数据由小到大排列后可求该组数据的中位数，从而可判断A的正误，利用正态分布的对称性可判断B的正误，根据样本中心点必在回归直线上可判断C的正误，根据公式可求二项分布的期望和方差，从而可判断D的正误.【详解】对于选项A，5，6，7，7，8，8，8，9中位数为7.5，所以A不正确；对于选项B，因为随机变量服从正态分布，所以正态曲线关于对称，所以，所以B正确；对于选项C，因为回归直线一定经过样本中心点，所以，即，所以C正确；对于选项D，因为，且，所以，即，所以，所以D不正确．故选：BC．10.（多选题）已知，则a，b满足下列关系的是（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】由已知可得，，有，依据基本不等式即可知，进而可知、、的范围.【详解】由题意知：，，∴，即， ∵，∴，，，故选：ABD【点睛】本题考查了对数的运算，结合基本不等式求代数的范围，属于中档题.11.已知函数，则（）A.函数有两个极值点B.函数有三个零点C.若，则是偶函数D.点是函数的对称中心【答案】ABC【解析】【分析】A选项：求导，分析单调性，即可得到极值点的情况；B选项：根据单调性和零点存在性定理即可得到零点的情况；C选项：根据奇偶性的定义判断即可；D选项：根据对称性的性质和图象的平移即可得到对称中心.【详解】A选项：，当或时，，当时，，所以在，上单调递增，上单调递减，所以有两个极值点，故A正确；B选项：结合A中函数单调性，又，，所以上存在一个零点，，所以上存在一个零点，，所以上存在一个零点，所以函数有三个零点，故B正确；C选项：，定义域为R，关于原点对称，且，所以为偶函数，故C正确； D选项：，所以关于对称，根据的单调性可知，只有一个对称中心，的图象向左平移一个单位得到的图象，所以的对称中心是，故D错.故选：ABC.12.四棱锥的四个侧面都是腰长为，底边长为2的等腰三角形，则该四棱锥的高为（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】满足要求的四棱锥有三种情形，对三种情况进行讨论求出结果.【详解】满足要求的四棱锥有如下三种情形.（1）如图，四条侧棱长均为，则四棱锥为正四棱锥，连接交于点，连接，则平面，是四棱锥的高，则，，所以，四棱锥的高为；（2）如图，有两条侧棱长为，作平面，记，，是四棱锥的高，于是，， 且.解得，.四棱锥的高为；（3）如图，三条侧棱（、、）长为，一条侧棱，，，设与交于点.记.由等腰三角形三线合一可得：,平面，平面，，则平面，因为平面，所以平面平面，过O作，因为平面平面,所以平面，是四棱锥的高，则有，，.因为，于是，.将前面的结果代入上式，解得或.显然，故.，在中，由余弦定理得, ，，四棱锥的高为.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.13.在1,2,3,4,5这五个数字中任取不重复的3个数字组成一个三位数，则组成的三位数是奇数的概率是________．(用分数表示)【答案】##【解析】【分析】在1,2,3,4,5这五个数字中任取不重复的3个数字组成一个三位数，这是排列问题，三位数是奇数，只要个位上的数字是1或3即可，这样可以求出有多少个三位数，最后根据古典概型的概率计算公式求解即可.【详解】在1,2,3,4,5这五个数字中任取不重复的3个数字组成一个三位数，共可组成个三位数，组在三位数是奇数的共有，因此组成的三位数是奇数的概率是.故答案为：14.已知正三棱台上底面边长为2.下底面边长为4，且侧棱与底面所成的角是，那么这个正三棱台的体积等于___________.【答案】【解析】【分析】先由面得到，再分别在与求得与，顺便求得两者面积，从而在中可求得，即三棱台的高，由此利用三棱台的体积公式即可求得结果.【详解】记分别是的中心，过作，如图，则由正三棱台的结构特征可知面，所以面，所以为侧棱与底面所成角的平面角，故， 在中，由正弦定理得，即，，在中，，即，，所以在中，，即该三棱台的高为，所以该三棱台的体积为.故答案为：..15.已知关于的方程在区间上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为___________.【答案】【解析】【分析】观察方程结构特征，将它进行变形为，然后构造函数 ，确定函数的单调性，从而将问题转化为当时，有两个不相等的实数根，利用根的分布列出不等式组，求解即可得到答案．【详解】解：因方程，所以变形为，令，则有，因为在上单调递增，所以即为，故当时，有两个不相等的实数根，在中，则有，即，解得，所以实数的取值范围为．故答案为：．【点睛】本题考查了函数的零点与方程根的关系，涉及了函数单调性的应用、二次函数根的分布问题，解题的关键是将已知的方程变形为，进而构造函数分析，对于学生的思维能力有较高的要求．16.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与C的右支交于A，B两点，若，，则C的离心率为______.【答案】##【解析】 【分析】设的中点为，连接，，由题意可得，，由双曲线的定义可得，，，，，，在和中利用余弦定理表示出两个角的余弦值，即可求出的关系，从而可得双曲线C的离心率.【详解】解：如图：设的中点为，连接，，因为，所以，因为为的中点，所以，由，得，所以，在中，，因为，所以，在中，，因为，所以，即，整理可得，即， 所以，所以或（舍），所以离心率，故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请根据答题卡题号及分值在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效.17.它们的终边分别与单位圆相交于(1)求；(2)求的值.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)根据三角函数的定义，求，，再利用两角和的正切公式求，结合的范围求，(2)根据同角关系求，，再根据二倍角公式求，，结合(1)由两角和的正弦公式求.【详解】由可得：(1)由得(2)由(1)得， 故18.如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，E为CD的中点连接AE交BD于G，点F在侧棱PD上，且DFPD．（1）求证：PB∥平面AEF；（2）若，求三棱锥E﹣PAD的体积．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明平面；（2）求出，，由，求出，三棱锥的体积，由此能求出结果．【详解】（1）证明：四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，与交于点，平面， 为的中点连接交于，点在侧棱上，且，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，，，，，，，设平面的法向量，则，取，得，，平面，平面；（2）解：，，，，由，解得，，三棱锥的体积：．【点睛】本题主要考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．19.已知函数.（1）当时，求函数的单调增区间； （2）若不等式对于任意成立，求正实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1），对a分类讨论以确定函数的单调增区间；（2）不等式对任意成立等价于对任意，有成立.设，，则只要即可.【详解】（1）由题意得，函数的定义域为..若，则当或时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减.若，则当时，，此时单调递减；当时，即，此时单调递增.综上所述，当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在和上单调递增.（2）不等式对任意成立等价于对任意，有成立.设，，则只要即可..令，得；令，得.所以函数在是哪个单调递减，在上单调递增.所以的最大值为与中的较大者. 设，则，所以上单调递增，所以，所以.从而.所以，即.设，则，所以在上单调递增.又，所以的解为.因为，所以正实数的取值范围为.【点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.20.已知公差的等差数列，是的前项和，，是和的等比中项.（1）求的通项公式；（2）设数列满足，且的前项和为，求证.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据题意列出关于和的方程组，解出和即可求得通项公式；（2）化简可得，由裂项相消法可求出，进而求证.【详解】（1）是和的等比中项，，即，，，则可解得，， ∴；（2），，，.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于结构，利用分组求和法；（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.21.某果农在其承包的100亩果园中种植一种原生态水果(每年种植一季)，每亩的种植成本为5000元，由于受天气和市场供求关系的影响，此水果的亩产量和销售价格均具有随机性，且互不影响.根据近几年的数据得知，每季由产量为的概率为0.4.亩产量为的概率为0.6，市场销售价格(单位：元/kg)与其概率的关系满足.（1）设表示此果农某季所获得的利润，求的分布列和数学期望；（2）求5年中恰有4年此果农的利润高于100万元的概率.【答案】（1）答案见解析；（2）0.2592.【解析】【分析】（1）根据题意先求出利润的所有可能取值，再求出对应的概率，列出分布列，得出期望.(2)由（1）得出第年利润高于100万元的概率，从而可得出5年中恰有4年此果农的利润高于100万元的概率.【详解】解：(1)设事件“此水果的亩产量为”，事件“此水果的市场销售价格为”.由题知，，因为利润=产量×市场销售价格-成本.所以的所有可能取值为 ....∴，，，.所以的分布列为5000001000000110000019000000.120.280.18042∴.(2)设事件“第年利润高于100万元”()由题知，，，，，，相互独立，由(1)知，5年中恰有4年此果农的利润高于100万元的概率为所以5年中恰有4年此果农的利润高于100万元的概宰为0.2592.22.已知函数．（1）若，求函数的单调减区间；（2）若，正实数，满足，证明：．【答案】（1）单调递减区间为；（2）证明见解析.【解析】 【分析】（1）由，求出的值，从而得出的解析式，得出定义域并进行求导，利用导数研究函数的单调性，即可得出的单调减区间；（2）当时，，则，令，利用导数研究函数的单调性和最值，从而得出，进而可得，解不等式即可得出证明.【小问1详解】解：因为，所以，解得：，所以，的定义域为，，令，得，所以的单调递减区间为．【小问2详解】证明：当时，，所以，令，则，所以时，，单调递增，时，，单调递减，所以，所以，即，因为，是正实数，所以．【点睛】思路点睛：解决单调区间问题及不等式问题注意两个转化： （1）利用导数解决此类单调区间问题，应该首先确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易出错；（2）将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理，一般需要通过构造新函数解决导数问题．