新疆乌鲁木齐市第十二中学2023-2024学年高三上学期10月月考数学 Word版含解析.docx

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乌鲁木齐市第十二中学2023-2024学年高三上学期10月月考数学试题总分150分考试时间120分钟一、单项选择题（8小题每题5分共40分）1.复数满足：(为虚数单位)，且在复平面内对应的点位于第三象限，则复数的模为（）A.5B.3C.D.【答案】C【解析】【分析】设，根据条件求得，从而求得模长.【详解】设，则，即，，结合在第三象限，解得，即，故故选：C2.已知集合，若，则实数的取值集合为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】化简集合，根据，求实数的可能取值，由此可得结果.【详解】集合，又，，所以，故实数a的取值集合为，故选：C.3.某校为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一人､高二人､高三 人中，抽取人进行问卷调查，则高一、高二、高三抽取的人数分别是()A.，，B.，，C.，，D.，，【答案】B【解析】【分析】结合已知条件首先求出三个年级的总人数，然后利用样本容量分别乘以各个年级的抽样比即可求解.【详解】由题意可知，三个年级共有(人)，则高一抽取的人数为，高二抽取的人数为，高三抽取的人数为.故选：B.4.已知函数与的图象如图所示，则函数的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用函数的奇偶性结合在定义域上的正负即可判断.【详解】解：由图知，的定义域为，令时，或 ，由为偶函数，为奇函数，所以为奇函数，关于原点对称，对A，当时，，，所以，故A错误；对B，由图知，当时，，当时，结合奇函数的对称性可得时的图象，故B正确；对C，由分析知，是奇函数，关于原点对称，故C错误；对D，由选项A和B的分析知，当时，，故D错误.故选：B.5.已知点，是曲线上两点，且（为坐标原点），则A.B.1C.D.5【答案】D【解析】【分析】将曲线化为极坐标方程，设，可将表示为的函数，可得答案.【详解】解：将曲线化为极坐标方程得：，可得，由，可设,可得==5，故选D.【点睛】本题主要考查椭圆的极坐标方程，注意灵活运用其性质解题.6.若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（）A.B.C.D. 【答案】D【解析】【分析】首先利用导数求函数的减区间，再利用子集关系，列式求的取值范围.【详解】，当，解得：，由条件可知，所以，解得：.故选：D7.若，是第三象限的角，则（）A.B.C.D.-2【答案】D【解析】【分析】根据，是第三象限的角，先利用半角公式求得，然后代入求解.【详解】因为为第三象限角，所以可能为二､四象限角，所以，所以. 故选：D.8.已知等比数列，的前n项和为，若则（）A.6B.5C.8D.7【答案】D【解析】【分析】根据给定条件求出等比数列的首项及公比，再借助通项公式即可得解.【详解】设等比数列公比，依题意，，，由得：，解得，由得：，于是得，则有，由得：，即，从而有，解得，所以.故选：D二、多选题（共4小题每题五分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个半圆，设圆锥的顶点为是底面圆周上的两个动点，则（）A.圆锥的侧面积为B.圆锥的母线长为2C.可能为等腰直角三角形D.面积的最大值为【答案】BD【解析】【分析】由侧面展开图求得圆锥的母线长，得高，确定圆锥轴截面的顶角的大小，计算侧面积，截面 面积判断各选项．【详解】设圆锥母线长为，由题意，，B正确；侧面积为，A错，显然圆锥的轴截面是正三角形，顶角为，因此的顶角，不可能为直角三角形，C错；轴截面面积为，因此面积的最大值为，D正确．故选：BD．10.已知为抛物线上一动点，则（）A.准线为l：B.存在一个定点和一条定直线，使得P到定点的距离等于P到定直线的距离C.点P到直线距离的最小值等于D.的最小值为6【答案】BCD【解析】【分析】对于AB，利用抛物线的方程与性质即可判断；对于C，利用点线距离公式与二次函数的性质即可判断；对于D，将问题转化为动点到两定点的距离，再结合图像即可判断.【详解】因为为抛物线上一动点，抛物线的焦点为，准线为，由抛物线的定义可知，到焦点的距离等于到准线的距离，故A错误，B正确；点到直线的距离为，当时，，故C正确；设点到准线的距离为，到准线的距离为，则，故D正确. 故选：BCD.11.关于的方程，下列命题正确的有（）A.存在实数，使得方程无实根B.存在实数，使得方程恰有2个不同的实根C.存在实数，使得方程恰有3个不同的实根D.存在实数，使得方程恰有4个不同的实根【答案】AB【解析】【分析】通过换元法，设，方程化为关于的二次方程的根的情况进行分类讨论.【详解】设，方程化为关于的二次方程.当时，方程无实根，故原方程无实根.当时，可得，则，原方程有两个相等的实根.当时，方程有两个实根，由可知，，.因为，所以无实根，有两个不同的实根.综上可知：A，B项正确，C，D项错误.故选：AB【点睛】此题考查方程的根的问题，利用换元法讨论二次方程的根的分布，涉及分类讨论思想.12.下列对各事件发生的概率判断正确的是（）A.某学生在上学的路上要经过个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第个路口首次遇到红灯的概率为B.已知集合，，集合中任取一个元素，则该元素是集合 中的元素的概率为C.甲袋中有个白球，个红球，乙袋中有个白球，个红球，从每个袋子中各任取一个球，则取到同色球的概率为D.设两个独立事件和都不发生的概率为，发生不发生的概率与发生不发生的概率相同，则事件发生的概率是【答案】AC【解析】【分析】利用独立事件的概率乘法公式可判断A选项；利用古典概型的概率公式可判断B选项；利用独立事件和互斥事件的概率公式可判断C选项；利用独立事件的概率乘法公式可得出、的等式，解出、的值，可判断D选项.【详解】对于A选项，该生在上学路上到第个路口首次遇到红灯，则该生在前个路口不是红灯，第个路口是红灯，由独立事件的概率乘法可知，所求概率为，A对；对于B选项，由题意可得，，因此，集合中任取一个元素，则该元素是集合中的元素的概率为，B错；对于C选项，甲袋中有个白球，个红球，乙袋中有个白球，个红球，从每个袋子中各任取一个球，则取到同色球的概率为，C对；对于D选项，由独立事件的概率公式可得，解得，D错.故选：AC.三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13.已知等腰三角形ABC底边长BC=,点D为边BC的中点,则_____【答案】-3 【解析】【详解】由题意可知，,∴.14.一个正四棱台上、下底面的边长分别为a、b，高为，且侧面积等于两底面面积之和，则a、b、h的关系为_________.【答案】【解析】【分析】根据正棱台的性质，求得正四棱台的斜高，结合题意列出关系式，即可求解.【详解】由题意，正四棱台上、下底面的边长分别为，高为，可得上、下底面面积为，如图所示，取上、下底面正方形中心分别为，再取分别为的中点，分别连接，过点作，在直角中，可得，即斜高，因为侧面积等于两底面面积之和，可得，整理得，即，可得，即，可得，即的关系为.故答案为：15.若圆平分圆的周长,则直线 被圆所截得的弦长为____________．【答案】6【解析】【分析】根据两圆的公共弦过圆的圆心即可获解【详解】两圆相减得公共弦所在的直线方程为由题知两圆的公共弦过圆的圆心,所以即,又,所以到直线的距离所以直线被圆所截得的弦长为故答案为:616.在区间上随机取一个数，则的概率为_____．【答案】【解析】【分析】由，求得，结合长度比的几何概型的计算公式，即可求解.【详解】因为，由，解得，则，可得的概率为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了长度比的几何概型的概率的计算，其中解答中正确求得不等式的解集是解答的关键，着重考查运算与求解能力.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请根据答题卡题号及分值在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效.）17.设面积大小为，且.（1）求的值； （2）若，，求．【答案】（1）（2）8【解析】【分析】(1)利用题意结合数量积的定义和三角形面积公式，可得；(2)利用(1)的结论有：，结合题意条件可以求解出，然后借助正弦定理可得.【小问1详解】设的三边长分别为，由，得，得.即，所以.又，所以，故.【小问2详解】由和，得，又，所以，得①.又，所以在△中，由正弦定理，得，即，得　②.联立①②，解得，即.18.已知数列，. （1）若数列是等比数列，且，求数列的通项公式；（2）若数列是等差数列，且，数列满足，当时，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）数列是公比为的等比数列，由等比数列的通项公式解方程可得首项和公比，即可得到所求通项；（2）数列是公差为的等差数列，由等差数列的通项公式解方程可得首项和公差，可得数列的通项，进而得到，再由指数的运算性质和等差数列的求和公式，计算即可得到所求值．【详解】解：（1）数列是公比为的等比数列，，，可得，，解得，，可得，；（2）数列是公差为的等差数列，，，可得，，解得，，则，，，即可得，可得，解得或（舍去）． 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．19.近年来城市“共享单车”的投放在我国各地迅猛发展，“共享单车”为人们出行提供了很大的便利，但也给城市的管理带来了一些困难，现某城市为了解人们对“共享单车”投放的认可度，对年龄段的人群随机抽取人进行了一次“你是否赞成投放共享单车”的问卷调查，根据调查结果得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：组号分组赞成投放的人数赞成投放的人数占本组的频率第一组第二组第三组第四组第五组第六组（）求，，的值．（）在第四、五、六组“赞成投放共享单车”的人中，用分层抽样的方法抽取人参加“共享单车”骑车体验活动，求第四、五、六组应分别抽取的人数． （）在（）中抽取的人中随机选派人作为领队，求所选派的人中第五组至少有一人的概率．【答案】(1)；(2)第四、五、六组分别取的人数为人，人，人；(3).【解析】【分析】(1)补全频率分布直方图，由频率表中第五组数据同第五组总人数为，再结合频率分布直方图，能求出的值；(2)因为第四，五，六组喜欢骑车的人数共有人，利用分层抽样原理能求出第四，五，六组分别取的人数；(3)设第四组人为：，，，，第五组人为：，，第六组人为：，利用列举法能求出抽取的人中随机选派人作为领队，即可求出所选派的人中第五组至少有一人的概率.【详解】（）补全频率分布直方图（见图），由频率表中第五组数据可知，第五组总人数为，再结合频率分布直方图：可知，所以，第二组的频率为，所以．（）因为第四、五、六组“喜欢骑车”的人数共有人，由分层抽样原理可知，第四、五、六组分别取的人数为人，人，人．（）设第四组人为：，，，，第五组人为：，，第六组人为：．则从人中随机抽取名领队所有可能的结果为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共种， 其中所选派的人中第五组至少有一人的所有可能结果为：，，，，，，，，，，，共11种所以所选派的人中第五组至少有一人的概率为．20.如图，三棱柱中，平面平面,平面平面，,点、分别为棱、的中点，过点、的平面交棱于点,使得∥平面.（1）求证：平面;（2）若四棱锥的体积为，求的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【详解】（1）在平面中，过点作棱的垂线，垂足为，平面平面，平面.在平面中，过点作棱的垂线，垂足为，平面平面，∴平面.过点与平面垂直的直线有且只有一条，∴与重合，又∵平面平面,∴与重合于AB，所以平面. （2）设的中点为，连接，，点为棱的中点，∴∥且=，∥，∴∥，∴、、、四点共面，∵∥平面，∴∥，∴四边形是平行四边形，∴=，∵为的中点且，∴，∴==，设梯形的高为，，∴，∴，∴,∴的正弦值为.21.已知点，圆，过点的动直线与圆交于、两点，线段的中点为，为坐标原点.（1）若，求弦的长度；（2）求的轨迹方程；（3）当，求的方程及的面积.【答案】（1）（2）（3）直线的方程为，的面积为【解析】【分析】（1）利用余弦定理可求得；（2）设点，对点与点是否重合进行分类讨论，在点与点不重合时，由垂径定理结合向量垂直的坐标表示可求出点的轨迹方程；在点与点重合时，直接验证即可，综合可得出点的轨迹方程； （3）设点，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，可得出点的坐标，即可求得直线的方程，再求出以及点到直线的距离，利用三角形的面积公式可求得的面积.小问1详解】解：圆的标准方程为，圆心为，半径为，所以，，由余弦定理可得.【小问2详解】解：设点，当点不与点重合时，即当且时，由垂径定理可知，即，设点，则，，所以，，即；当点与点重合时，点的坐标也满足方程.故点的轨迹方程为.小问3详解】解：设点，则，由题意可得，解得，即点，，所以，直线的方程为，即，，则直线的方程为，且，点到直线的距离为，故.【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程； （2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.22.已知函数，其中.（1）若在处的切线与轴的交点为，求的值；（2）设函数，当时，试讨论的单调性.【答案】（1）；（2）函数在上单调递增，在上单调递减【解析】【分析】（1）本题首先可通过函数解析式得出，然后通过求导得出，并写出在处的切线方程，最后通过切线与轴的交点为即可得出结果.（2）本题可根据题意得出，然后构造函数，通过导函数求函数的最值从而得出，最后分为、两种情况进行讨论，即可得出结果.【详解】（1）因为，所以，因为，所以，则在处的切线方程为，即，因为切线与轴的交点为，所以，解得.（2）因为，所以， 则，当时，，构造函数，则，即当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，当时，函数取最小值，，即当时，，，，因为，所以当，，函数在上单调递增；当，，函数在上单调递减，综上所述，当时，函数在上单调递增，在上单调递减.【点睛】关键点点睛：本题考查根据函数的切线方程求参数以及通过导数求函数的单调性，能否通过构造函数得出是解决本题的关键，函数在某一点处的导函数值即函数在这一点处的切线斜率，考查计算能力，是难题.