湖南省益阳市2022-2023学年高二上学期六校联考数学期末Word版含解析.docx

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益阳市2022-2023学年六校期末联考数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。（选择性必修1+选择性必修2数列部分）一、选择题（共40分）1.已知向量a=1,2,−2，b=−3,−6,6，c=2,1,2，则它们的位置关系是  A．a∥b，a∥cB．a⊥b，a⊥cC．a⊥b，b∥cD．a∥b，b⊥c2.在三棱锥P−ABC中，CP，CA，CB两两垂直，AC=CB=1，PC=2，在如图所示的坐标系下，下列向量中是平面PAB的法向量的是  A．1,1,12B．1,2,1C．1,1,1D．2,−2,13.已知等比数列an的公比为q，前n项和为Sn，若q=2，S2=6，则S3=  A．8B．10C．12D．144.如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2），如此继续下去，得图（3），⋯，设第n个图形的边长为an，则数列an的通项公式为  学科网（北京）股份有限公司 A．13nB．13n−1C．13nD．13n−11.任意三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．已知△ABC的顶点A2,0，B0,4，若其欧拉线的方程为x−y+2=0，则顶点C的坐标为  A．−4,0B．−3,−1C．−5,0D．−4,−22.已知定点B3,0，点A在圆x+12+y2=4上运动，则线段AB的中点M的轨迹方程是  A．x+12+y2=1B．x−22+y2=4C．x−12+y2=1D．x+22+y2=43.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，M是双曲线右支上一点，连接MF1交双曲线C左支于点N，若△MNF2是以F2为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为  A．2B．3C．2D．54.已知F1，F2分别为双曲线C:x22−y26=1的左、右焦点，过F2的直线与双曲线C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限）．设点H，G分别为△AF1F2，△BF1F2的内心，则∣HG∣的取值范围是  A．22,4B．2,463C．433,22D．22,463二、多选题（共20分）5.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果AB=2,−1,−4，AD=4,2,0，AP=−1,2,−1．下列结论正确的有  A．AP⊥ABB．AP⊥ADC．AP是平面ABCD的一个法向量D．AP∥BD学科网（北京）股份有限公司 1.数列an的前n项和为Sn，若a1=1，an+1=2Snn∈N∗，则有  A．Sn=3n−1B．Sn为等比数列C．an=2⋅3n−1D．an=1,n=12⋅3n−2,n≥22.已知双曲线C过点3,2且渐近线为y=±33x，则下列结论正确的是  A．C的方程为x23−y2=1B．C的离心率为3C．曲线y=ex−2−1经过C的一个焦点D．直线x−2y−1=0与C有两个公共点3.定义点Px0,y0到直线l:ax+by+c=0a2+b2≠0的有向距离为d=ax0+by0+ca2+b2．已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2．以下命题不正确的是  A．若d1=d2=1，则直线P1P2与直线l平行B．若d1=1，d2=−1，则直线P1P2与直线l垂直C．若d1+d2=0，则直线P1P2与直线l垂直D．若d1⋅d2≤0，则直线P1P2与直线l相交三、填空题（共20分）4.如图，以长方体ABCD−A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB1的坐标为4,3,2，则BD1的坐标为．5.在平面直角坐标系中，经过三点0,0，1,1，2,0的圆的方程为．6.已知等差数列an中，a2=4，a6=16，若在数列an每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第41项为．7.设抛物线x2=4y点F是抛物线的焦点，点M0,m在y轴正半轴上（异于F点)，动点N在抛物线上，若∠FNM是锐角，则m的范围为．学科网（北京）股份有限公司 四、解答题（共70分）1.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，CAB=90∘，AB=AC=2，AA1=3，M为BC的中点，P为侧棱BB1上的动点．（12分）(1)求证：平面APM⊥平面BB1C1C；(2)试判断直线BC1与AP是否能够垂直．若能垂直，求PB的长；若不能垂直，请说明理由．2.设数列an满足a1=2，an+1=an+3⋅22n−1n∈N+．（10分）(1)求a2和a3的值．(2)求数列an的通项公式．(3)令bn=nan，求数列bn的前n项和Sn．3.已知各项为正数的等比数列an的前n项和为Sn，数列bn的通项公式bn=n,n 为偶数n+1,n 为奇数n∈N∗，若S3=b5+1，b4是a2和a4的等比中项．（12分）(1)求数列an的通项公式；(2)求数列an⋅bn的前n项和Tn．学科网（北京）股份有限公司 1.已知直线l：kx−y+1+2k=0k∈R．（12分）(1)证明：直线l过定点；(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．2.已知圆C过点M0,−2，N3,1，且圆心C在直线x+2y+1=0上．（12分）(1)求圆C的方程；(2)设直线ax−y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P2,0的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．3.已知椭圆C的离心率为32，长轴的两个端点分别为A−2,0，B2,0.（12分）(1)求椭圆C的方程．(2)过点1,0的直线与椭圆C交于M，N（不与A，B重合）两点，直线AM与直线x=4交于点Q，求证：S△MBNS△MBQ=∣BN∣∣BQ∣学科网（北京）股份有限公司 答案一、选择题1.D2.A3.D4.D5.A6.C7.B8.D二、多选题9.A；B；C10.A；B；D11.A；C12.B；C；D三、填空题13.(−4,−3,2)14.x2+y2−2x=015.3116.(0,1)∪(1,9)学科网（北京）股份有限公司 四、解答题17.(1)因为在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，CAB=90∘，AB=AC=2，AA1=3，M为BC的中点，P为侧棱BB1上的动点．所以AM⊥BC，AM⊥BB1，因为BC∩BB1=B，所以AM⊥平面BB1C1C，因为AM⊂平面APM，所以平面APM⊥平面BB1C1C．(2)以A为原点，AC为x轴，AB为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，B0,2,0，C12,0,3，A0,0,0，设BP=t0≤t≤3，则P0,2,t，BC1=2,−2,3，AP=0,2,t，若直线BC1与AP能垂直，则BC1⋅AP=0−4+3t=0，解得t=433，因为t=433>BB1=3，所以直线BC1与AP不能垂直．18.(1)直线l：kx−y+1+2k=0k∈R变形可得y−1=kx+2，所以直线l过定点−2,1．(2)将直线方程变形可得y=kx+1+2k，因为直线l不经过第四象限，所以k≥0,1+2k≥0,解得k≥0，所以k的取值范围为0,+∞．(3)直线l：kx−y+1+2k=0k∈R，分别令y=0，x=0，可得点A−1+2kk,0，B0,1+2k，由−1+2kk<0,1+2k>0解得k>0．S△AOB=12∣OA∣ ∣OB∣=12⋅1+2kk⋅1+2k=12⋅4k+1k+4≥12⋅24k×1k+4=4.当且仅当4k=1k，即k=12（k=−12舍去）时取等号，学科网（北京）股份有限公司 此时直线l的方程为12x−y+1+1=0，整理可得x−2y+4=0，综上可知，S△AOB的最小值为4，此时直线l的方程为x−2y+4=0．19.(1)n=1时，a2=a1+3⋅21=8；n=2时，a3=a2+3⋅23=32．所以a2=8，a3=32．(2)由题知：an+1−an=3⋅2n−1，所以a2−a1=3⋅21，a3−a2=3×23，a4−a3=3×25，⋯，an−an−1=3×22n−3，左右分别相加得：an−a1=3×21+3×23+3×25+⋯+3×22n−3=3×2⋅1−4n−11−4=22n−1−2,所以an=22n−1−2+2=22n−1．(3)bn=n×22n−1，Sn=1×21+2×23+3×25+⋯+n−1×22n−3+n×22n−1, ⋯⋯①4Sn=1×23+2×25+3×27+⋯+n−1×22n−1+n×22n+1, ⋯⋯②①−②得：−3Sn=21+23+25+27+⋯+22n−1−n×22n+1=2×1−4n1−4−n×22n+1=22n+13−23−n×22n+1,所以Sn=3n−1×22n+1+29．20.(1)由bn=n,n 为偶数n+1,n 为奇数知b5=6，b4=4，设an的公比为q，则由S3=7，得a1+a2+a3=7，即a1+a1q+a1q2=7, ⋯⋯①又a32=a2⋅a4=b42=16，所以a3=4，a1q2=4, ⋯⋯②由①②消去a1得3q2−4q−4=0，解得q=2或q=−23（舍去），将q=2代入②得a1=1,所以an=2n−1．(2)当n为偶数时，有Tn=1+1⋅20+2⋅21+3+1⋅22+4⋅23+5+1⋅24+⋯+n−1+1⋅2n−2+n⋅2n−1=20+2⋅21+3⋅22+4⋅23+⋯+n⋅2n−1+20+22+⋯+2n−2,令Hn=20+2⋅21+3⋅22+4⋅23+⋯+n⋅2n−1，则2Hn=21+2⋅22+3⋅23+4⋅24+⋯+n⋅2n,作差得−Hn=20+21+22+23+⋯+2n−1−n⋅2n=1−2n1−2−n⋅2n=1−n2n−1,故Hn=n−12n+1,所以Tn=Hn+1−4n21−4=n−12n+1+13⋅2n−13=n−232n+23,当n为奇数且n≥3时，学科网（北京）股份有限公司 有Tn=Tn−1+n+12n−1=n−532n−1+23+n+12n−1=2n−232n−1+23;经检验知T1=2符合上式，所以Tn=2n−232n−1+23,n 为奇数,n−232n+23,n 为偶数.21.(1)设圆C的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0，则有−D2−E+1=0,4−2E+F=0,10+3D+E+F=0,解得D=−6,E=4,F=4,所以圆C的方程为：x2+y2−6x+4y+4=0．(2)设符合条件的实数a存在，由于l垂直平分弦AB，故圆心C3,−2必在l上，所以l的斜率kPC=−2，而kAB=a=−1kPC，所以a=12，把直线ax−y+1=0即y=ax+1代入圆C的方程，消去y，整理得a2+1x2+6a−1x+9=0，由于直线ax−y−1=0交圆C于A，B两点，故Δ=36a−12−36a2+1>0，即−2a>0，解得a<0，则实数a的取值范围是−∞,0，由于12∉−∞,0，故不存在实数a，使得过点P2,0的直线l垂直平分弦AB．22.(1)由长轴的两个端点分别为A−2,0，B2,0，可得a=2，由离心率为32，可得ca=32，学科网（北京）股份有限公司 所以c=3，又a2=b2+c2，解得b=1，所以椭圆C的标准方程为x24+y2=1．(2)设直线l的方程为x=my+1，由x=my+1,x24+y2=1得m2+4y2+2my−3=0，设Mx1,y1，Nx2,y2，则y1+y2=−2mm2+4，y1y2=−3m2+4，所以kAM=y1x1+2，直线AM的方程为y=y1x1+2x+2，所以Q4,6y1x1+2所以kNB=y2−0x2−2=y2x2−2，kBQ=6y1x1+2−04−2=6y1x1+22=3y1x1+2所以kNB−kBQ=y2x2−2−3y1x1+2=y2x1+2−3y1x2−2x2−2x1+2=y2my1+3−3y1my2−1x2−2x1+2=−2my1y2+3y1+y2x2−2x1+2=0,即kNB=kBQ，所以N，B，Q三点共线，所以S△MBNS△MBQ=∣BN∣∣BQ∣．学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司