新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第101中学2022-2023学年高三上学期11月月考数学Word版含解析.docx

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乌鲁木齐市第101中学2022-2023学年高三月考数学试卷总分150分考试时间120分钟一、单选题1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先求出集合A，B，然后进行交集的运算即可.【详解】因，由得集合或；∴.故选：D2.已知（i是虚数单位），那么复数在复平面内对应的点所在的象限为（）A.四B.三C.二D.一【答案】D【解析】【分析】先通过复数的四则运算求出z，再算出，进而利用复数的几何意义即可得到答案.【详解】,所以，所以在复平面内对应的点在第一象限.故选：D.3.已知正方形的边长为6，在边上且，为的中点，则A.-6B.12C.6D.-12【答案】A【解析】【分析】以向量为基底，将用基底表示，结合向量数量积的运算律，即可求解.【详解】由在边上且，为的中点， ，，.故选：A.【点睛】本题考查向量基本定理以及向量的数量积运算，考查计算求解能力，属于基础题.4.如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据三视图可得该几何体为一圆台的一半，然后进行计算可得答案.【详解】根据三视图可得该几何体为一圆台的一半，对应圆台的上底面半径，下底面半径，高，则该几何体的体积.故答案为：B.【点睛】关键点点睛：解题的关键是由三视图确定直观图的形状，再利用相应的体积公式求解即可，属于简单题．5.在象棋比赛中，参赛的任意两位选手都比赛一场，其中胜者得2分，负者得0分，平局各得1分．现有四名学生分别统计全部选手的总得分为55分，56分，57分，58 分，但其中只有一名学生的统计结果是正确的，则参赛选手共有（）A.6位B.7位C.8位D.9位【答案】C【解析】【分析】设参赛选手共有位，则总场次为，由每场得分为2，即总得分只能为偶数，结合题设列方程求n值，并判断n值的合理性即可.【详解】设参赛选手共有位，则总比赛场次为，即场，且，，由题意知：任意一场比赛结束，选手的总得分为2分，故所有选手总得分为分且为偶数，∴当，得；当，无整数解，∴(位).故选：C.6.已知函数是上的偶函数，且图像关于直线对称，且在区间上是单调函数，则A.B.C.或D.【答案】D【解析】【分析】由函数是上的偶函数，求得，由图象关于直线对称，且在区间上是单调函数，求得.【详解】在上是偶函数，，，图象关于对称，，又在上是单调函数，，只有时，符合题意， 故选D.【点睛】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的基本性质和应用，正弦函数的对称性，在研究函数的单调性和最值时，一般采用的是整体思想，将ωx+φ看做一个整体，地位等同于sinx中的x．7.已知，，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】需要做差，构造函数，判断所构造的函数的符号即可.【详解】解析：因为，所以；又构造，则因为，，由于函数的分母为正数，此时只需要判断分子的符号，设则在R上递增，，即当时，的分子总是正数，，，即，应用排除法，故选：B.8.已知函数，，若对任意的，任意的，不等式恒成立，则实数b的取值范围是() A.B.(1，＋∞)C.D.【答案】A【解析】【分析】由题意不等式恒成立，可转化为【详解】依题意，问题等价于，(x＞0)，所以.由，解得1＜x＜3，故函数f(x)单调递增区间是(1，3)，同理由，，解得或者，所以f(x)的单调递减区间是(0，1)和(3，＋∞)，故在区间(0，2)上，x＝1是函数f(x)的极小值点，所以在(0，2)上.函数g(x2)＝－＋2bx2－4，x2∈[1，2].当b＜1时，g(x2)max＝g(1)＝2b－5；当1≤b≤2时，g(x2)max＝g(b)＝b2－4；当b＞2时，g(x2)max＝g(2)＝4b－8.故问题等价于或或解第一个不等式组得b＜1，解第二个不等式组得1≤b≤，第三个不等式组无解.综上所述，b的取值范围是.故选：A.二、多选题 9.在棱长为2的正方体中，、、分别为、、的中点，则下列选项正确的是（）A.若点在平面内，则必存在实数，使得B.直线与所成角的余弦值为C.点到直线的距离为D.存在实数、使得【答案】BCD【解析】【分析】根据空间向量共面定理，异面直线夹角和点到直线距离的求解方法，以及线面平行的判定定理，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A：若三点共线，则不存在实数，使得，故A错误；对B：取的中点为，连接，如下所示：在三角形中，分别为的中点，故可得//，在三角形中，分别为的中点，故可得//， 则//，故直线所成的角即为或其补角；在三角形中，，，由余弦定理可得：，即直线与所成角的余弦值为，故B正确；对C：连接如下图所示：在三角形中，，，，故点到直线的距离即为三角形中边上的高，设其为，则.故C正确；对D：记的中点为，连接，如下所示：由B选项所证，//，又面面，故//面；易知//，又面面，故//面， 又面，故平面//面，又面，故可得//面，故存在实数、使得，D正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中四点共面、线面平行、线线角，以及点到直线距离的求解，处理问题的关键是准确把握本题中向量的表达形式，属综合基础题.10.已知函数，则下列结论正确有（）A.若，则的图象在点处的切线方程为B.存在实数a，使得在上单调递增C.若，则D.若，则【答案】AC【解析】【分析】A选项结合导数的几何意义求出在处的切线方程即可判断；B选项求导，根据导函数的正负情况即可判断；C、D选项求出函数的最值，解不等式即可判断.【详解】因为，所以，所以的图象在点处的切线方程为，A正确．因为，所以不单调，B错误．令，解得．当时，单调递减；当时，单调递增．所以，解得，故C正确，D错误.故选：AC．11.已知抛物线的焦点为，斜率为的直线交抛物线于、两点，则（）A.抛物线的准线方程为B.线段的中点在直线上C.若，则的面积为D.以线段为直径的圆一定与轴相切【答案】BCD 【解析】【分析】根据抛物线的标准方程与准线方程的关系可判断A选项的正误；利用点差法可判断B选项的正误；利用弦长公式以及三角形的面积公式可判断C选项的正误；利用抛物线的焦半径公式可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，抛物线的准线方程为，A错；对于B选项，设点、，设线段的中点为，则，两式作差得，可得，所以，，故，B对；对于C选项，设直线的方程为，联立，可得，，解得，由韦达定理可得，，，解得，点到直线的距离为，故，C对；对于D选项，设线段的中点为，则，由抛物线的定义可得，即等于点到轴距离的两倍，所以，以线段为直径的圆一定与轴相切，D对.故选：BCD.12.已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究 对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确；对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误；若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.故选：BC.[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC.故选：BC.[方法三]：因为，均为偶函数，所以即，，所以，，则，故C正确；函数，的图象分别关于直线对称，又，且函数可导， 所以，所以，所以，所以，，故B正确，D错误；若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.故选：BC.【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．三、填空题13.在的展开式中，含的项的系数是_________.【答案】【解析】【分析】求出展开式的的系数，从而可得结果.【详解】因为展开式的通项公式，所以展开式的的系数分别为，则展开式中的系数为，故答案为：.14.已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0，则两圆有________条公切线．【答案】2【解析】【分析】判断出两圆的位置关系，可得公切线条数．【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，圆标准方程为，圆心为，半径为，又，故，两圆相交，公切线有2条． 故答案为2．【点睛】两圆内含时无公切线，内线时有一条公切线，相交时有两条公切线，外切时有三条公切线，相离时有4条公切线．15.已知函数，则过点可作曲线的切线的条数为___________.【答案】2【解析】【分析】分析可得不是切点，设切点，根据导数的几何意义，求得切线的斜率k，根据点P和点坐标，可求得切线斜率k，联立即可得答案.【详解】∵点不在函数的图象上，∴点不是切点，设切点为（），由，可得，则切线的斜率，∴，解得或，故切线有2条.故答案为：216.已知椭圆的左，右焦点分别为，，过的直线交椭圆C于A，B两点，若，且的三边长、、成等差数列，则C的离心率为___________．【答案】【解析】【分析】由已知，设，，，据勾股定理有；由椭圆定义知的周长为4a，由勾股定理，，可得选项.【详解】由已知，设，，，所以根据勾股定理有，解得； 由椭圆定义知，所以的周长为4a，所以有，；在直角中，由勾股定理，，∴离心率．故答案为：.【点睛】本题考查椭圆离心率，椭圆的定义，重在对问题的分析，抓住细节，同时考查计算能力，属于中档题.四、解答题17.已知等差数列中，为数列的前项和，，．（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由已知列方程求出首项和公差，可得答案；（2）求出及的通项公式，由裂项相消求和可得答案.【详解】（1）∵①，②由①②得，．∴；（2）由（1）知，，；∴， ∴.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、数列求和，解题关键点是求出数列的首项和公差以及裂项相消求和，考查了学生的基础知识、基本运算.18.已知函数，在中，，且的面积为．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）中将三角函数化简后代入可求得C的大小，求解时要注意C的范围，正确取值.（2）由面积公式及余弦定理得到关于的关系式，从而解得两边大小，再利用正弦定理，利用两边求得得值.【详解】（1）由，得，∵.（2）由（1）知，又∵∴∴由余弦定理得∴,由正弦定理得 ∴.19.如图，正三棱柱中，，点，分别为，的中点.（1）求点到平面的距离；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）建立空间坐标系，求出平面的法向量，则到平面的距离为；（2）求出平面的法向量，计算，的夹角得出二面角的大小.【详解】解：（1）取的中点，连结，则平面，是等边三角形，，以为原点，分别以，，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，则，0，，，，，，0，，，，，，0，，，，，，0，，，0，，设平面的法向量为，，，则，即，令可得，0，，点到平面的距离为.（2），，，，0，， 设平面的法向量为，，，则，即，令可得，，，，，二面角的余弦值为.【点睛】关键点睛：（1）解题关键是建立空间坐标系，求出平面的法向量，进而用公式求解；（2）解题关键是设平面的法向量为，，，则，求出后，利用公式求解二面角的余弦值，难度属于中档题20.在一次恶劣气候的飞行航程中调查男女乘客在飞机上晕机的情况，共调查了89位乘客，其中男乘客有24人晕机，31人不晕机；女乘客有8人晕机，26人不晕机（1）根据此材料数据完成如下的2×2列联表；晕机不晕机总计男人女人总计（2）根据列联表，利用下列公式和数据分析，你是否有90%的把握认为在本次飞机飞行中晕机与性别有关？ （3）其中8名晕机的女乘客中有5名是常坐飞机的乘客，另外3名是不常坐飞机的，从这8名乘客中任选3名，这3名乘客不都是常坐飞机的概率是多少？参考数据：0.150.100.050.0250.0100.0052.0722.7063.8415.0246.6357.879参考公式：，其中【答案】（1）表格见解析；（2）有90%的把握认为在本次飞机飞行中晕机与性别有关；（3）【解析】【分析】(1)根据已知填入2×2列联表；（2）结合列联表数据代入公式，计算出的值，与独立性检验判断表比较作出判断.（3）利用古典概型概率公式求出3名乘客都是常坐飞机的概率，再用求解.【详解】(1)由已知数据列出2×2列联表.晕机不晕机总计男人243155女人82634总计325789（2）根据公式.由于，我们有90%的把握认为在本次飞机飞行中晕机与性别有关.(3)设A表示3名乘客不都是常坐飞机，则基本事件总数为：,含有基本事件个数为：∴，3名乘客不都是常坐飞机的概率为.【点睛】本题考查独立性检验及古典概型的概率.解决古典概型实际问题的步骤: （1）判断是否是古典概型，（2）列举或计算基本事件总数和所求基本事件数（3）用古典概型的概率公式计算21.已知双曲线的两条渐近线分别为，.（1）求双曲线的离心率；（2）如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一，四象限），且的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）存在；理由见解析【解析】【分析】（1）由双曲线的渐近线得，再利用离心率的定义，即可得解；（2）当轴时，利用三角形面积公式，结合题意求出双曲线的方程，再利用一元二次方程根与系数的关系，结合三角形面积公式，再证明当直线与轴不垂直时，该双曲线也满足条件即可.【小问1详解】因为双曲线E的渐近线分别为，，所以，所以，故，从而双曲线的离心率.【小问2详解】设双曲线的方程为，设直线与轴相交于点. 当轴时，若直线与双曲线有且只有个公共点，则.又因为的面积为8，所以，因此，解得，双曲线的一条渐近线方程为：，即，此时双曲线的方程为.若存在满足条件的双曲线，则的方程只能为.以下证明：当直线与轴不垂直时，双曲线也满足条件.设直线的方程为，依题意，得或，则，记.得，同理得.由，得，即，由得.因为，所以.又因为，所以，即与双曲线有且只有一个公共点..【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.22.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求得时，的解析式，求得导数，可得切线的斜率和切点，由直线的点斜式方程可得所求切线的方程；（2）化简方程，令，求得导数，讨论，时，的单调性，可得最小值，解不等式可得所求范围．【详解】解：（1）当时，，则，，，所以方程为，即，所以曲线在点处的切线方程为．（2）由，可得．令，则，令，解得，．①当时，在上恒成立，所以函数上单调递增，所以，由，解得，所以． ②当时，则，显然在，，单调递减；在上，，单调递增．故函数在处取得最小值，且，因为，所以，符合条件，故．综上，实数的取值范围是．【点睛】关键点点睛：本题目的是方程有解问题，其关键点是利用导数求导后，对参数分类讨论，利用函数的单调性求得函数的最小值，利用最小值小于零求解.