新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第101中学2022-2023学年高二上学期期中数学 Word版含解析.docx

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乌鲁木齐市第101中学2022-2023学年高二上学期期中测试卷（选择性必修第一册）数学试题总分100分考试时间120分钟一、选择题（12题每题4分共48分）1.点关于直线的对称点的坐标为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据点关于线对称的特点，利用中点坐标公式及两直线垂直的斜率的关系即可求解.【详解】设点关于直线的对称点的坐标为，则，解得.所以点的坐标为故选：A.2.已知正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则直线BN与直线DM所成角的余弦值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用空间向量的线性运算性质，结合空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】设该正面体的棱长为，因为M为BC中点，N为AD中点，所以，因为M为BC中点，N为AD中点，所以有， ，根据异面直线所成角的定义可知直线BN与直线DM所成角的余弦值为，故选：B3.已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点Q坐标为，则的最大值为（）A.3B.5C.D.13【答案】B【解析】【分析】由，结合图形即得.【详解】因为椭圆，所以，，则椭圆的右焦点为，由椭圆的定义得：， 当点P点处，取等号，所以的最大值为5，故选：B.4.圆圆心和半径分别是（）A.，B.，C.，D.，【答案】D【解析】【分析】先化为标准方程，再求圆心半径即可.【详解】先化为标准方程可得，故圆心为，半径为.故选：D.5.在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可.【详解】如图，连接，因为∥，所以或其补角为直线与所成的角，因为平面，所以，又，，所以平面，所以，设正方体棱长2，则， ，所以.故选：D6.已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.【详解】因为，由双曲线的定义可得，所以，；因为,由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故选：A【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键.7.下列条件中，一定使空间四点P､A､B､C共面的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】要使空间中的、、、四点共面，只需满足，且即可.【详解】对于A选项，，，所以点与、、三点不共面；对于B选项，，，所以点与、、三点不共面； 对于C选项，，，所以点与、、三点不共面；对于D选项，，,所以点与、、三点共面.故选：D8.已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求出斜率，再由直线的点斜式方程求解即可.【详解】由题意知：直线的斜率为，则直线的方程为.故选：C.9.已知点在直线上的运动，则的最小值是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】表示点与距离的平方，求出到直线的距离，即可得到答案.【详解】表示点与距离的平方，因为点到直线的距离，所以的最小值为．故选：A10.已知四棱锥，底面为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，，，设，，，则向量用为基底表示为（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由图形可得，根据比例关系可得，，再根据向量减法，代入整理并代换为基底向量．【详解】即故选：D．11.设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且.则的面积为（）A.6B.C.8D.【答案】B【解析】【分析】利用椭圆的几何性质，得到，，进而利用得出，进而可求出【详解】解：由椭圆的方程可得，所以，得且，， 在中，由余弦定理可得，而，所以，，又因为，，所以，所以，故选：B12.设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】设，由，根据两点间的距离公式表示出，分类讨论求出的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．【详解】设，由，因为，，所以，因为，当，即时，，即，符合题意，由可得，即； 当，即时，，即，化简得，，显然该不等式不成立．故选：C．【点睛】本题解题关键是如何求出的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．二、填空题（共五题每题2分共10分）13.在平面内，一只蚂蚁从点出发，爬到轴后又爬到圆上，则它爬到的最短路程是______．【答案】【解析】【分析】求得点关于轴的对称点为，结合圆的性质，即可求解.【详解】由圆，得圆心坐标，半径为，求得点关于轴对称点为，可得.如图所示，可得爬到的最短路程为.故答案为： 14.若圆与圆有3条公切线，则正数a=___________.【答案】3【解析】【分析】根据两圆外切半径之和等于圆心距即可求解.【详解】两圆有三条公切线，则两圆外切，∴∴故答案为：315.已知、分别是双曲线的左、右焦点，也是抛物线的焦点，点是双曲线与抛物线的一个公共点，若，则双曲线的离心率为___________.【答案】##【解析】【分析】过点作抛物线准线的垂线，垂足为点，求出，求出、的余弦值，由题意可知，可得出关于、的齐次等式，结合可解得的值.【详解】过点作抛物线准线的垂线，垂足为点，则， 因为，则，则，因为，则，由余弦定理可得，因为，所以，，所以，，整理可得，即，因为，解得.故答案为：.16.从圆外一点向圆引切线，则此切线的长为______．【答案】2【解析】【分析】作图，利用圆心到定点的距离、半径、切线长满足勾股定理可得.【详解】将圆化为标准方程：，则圆心，半径1，如图，设，，切线长．故答案为：2 17.若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则____________．【答案】【解析】【分析】设直线的方程为，则点，利用直线与圆相切求出的值，求出，利用勾股定理可求得.【详解】设直线的方程为，则点，由于直线与圆相切，且圆心为，半径为，则，解得或，所以，因为，故.故答案为：.三、解答题（四题共42分）18.已知点，________，从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件补充在横线处，并作答．（1）求直线的方程；（2）求直线：关于直线的对称直线的方程．条件①：点关于直线的对称点的坐标为； 条件②：点的坐标为，直线过点且与直线垂直；条件③点的坐标为，直线过点且与直线平行．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）计算直线的斜率，根据直线的平行或垂直关系得到斜率，代入点得到直线方程.（2）计算直线的交点，在直线上取一点，求其关于对称的点，根据交点和对称点得到直线方程.【小问1详解】选择条件：因为点关于直线的对称点的坐标为，所以是线段的垂直平分线．因为，所以直线的斜率为，又线段的中点坐标为，所以直线的方程为，即．选择条件：因为，直线与直线垂直，所以直线的斜率为，又直线过点，所以直线的方程为，即．选择条件，因为，直线与直线平行，所以直线的斜率为，又直线过点，所以直线的方程为，即．【小问2详解】，解得，故，的交点坐标为，因为在直线：上，设关于对称的点为， 则，解得，直线关于直线对称的直线经过点，，代入两点式方程得，即，所以：关于直线的对称直线的方程为．19.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】【分析】（1）要证，可证，由题意可得，，易证，从而平面，即有，从而得证；（2）取中点，根据题意可知，两两垂直，所以以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，再分别求出向量和平面的一个法向量，即可根据线面角的向量公式求出．【详解】（1）在中，，，，由余弦定理可得，所以，．由题意且，平面，而平面，所以，又，所以．（2）由，，而与相交，所以平面，因为，所以，取中点，连接，则两两垂直，以点 为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系,则,又为中点，所以.由（1）得平面，所以平面的一个法向量从而直线与平面所成角的正弦值为．【点睛】本题第一问主要考查线面垂直的相互转化，要证明，可以考虑，题中与有垂直关系的直线较多，易证平面，从而使问题得以解决；第二问思路直接，由第一问的垂直关系可以建立空间直角坐标系，根据线面角的向量公式即可计算得出．20.已知点、，设过点的直线l与的边AB交于点M（其中点M异于A、B两点），与边OB交于N（其中点N异于O、B两点），若设直线l的斜率为k．（1）试用k来表示点M和N的坐标；（2）求的面积S关于直线l的斜率k的函数关系式；（3）当k为何值时，S取得最大值？并求此最大值．【答案】（1）；.（2）（3）当时，，S取得最大值，最大值为.【解析】【分析】（1）联立直线方程组可解得结果； （2）利用两个三角形面积相减可得结果；（3）换元，令，，再根据基本不等式可求出结果.【小问1详解】由已知得直线l斜率存在，设．由，得；又，所以.由，得．【小问2详解】.【小问3详解】设，则．，当且仅当时，等号成立．21.已知圆C经过坐标原点O，圆心在x轴正半轴上，且与直线相切．（1）求圆C的标准方程；（2）直线与圆C交于A，B两点．①求k的取值范围；②证明：直线OA与直线OB的斜率之和为定值．【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）具体见解析.【解析】【分析】（1）设出圆心，进而根据题意得到半径，然后根据圆与直线相切求出圆心，最后得到答案；（2）（ⅰ）联立直线方程和圆的方程并化简，根据判别式大于零即可得到答案；（ⅱ）设出两点坐标，进而通过根与系数的关系与坐标公式进行化简，即可得到答案.【详解】（1）由题意，设圆心为，因为圆C过原点，所以半径r=a， 又圆C与直线相切，所以圆心C到直线的距离（负值舍去），所以圆C的标准方程为：.（2）（ⅰ）将直线l代入圆的方程可得：，因为有两个交点，所以，即k的取值范围是.（ⅱ）设，由根与系数的关系：，