湖南省长沙市第一中学2024届高三上学期月考(四)数学 Word版无答案.docx

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长沙市一中2024届高三月考试卷（四）数学试题一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则集合等于（）A.；B.；C.；D.．2.已知平面向量，则与方向相同的单位向量是（）A.B.C.D.3.第19届亚运会正在杭州举行，运动员甲就近选择A餐厅或者B餐厅就餐，第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.7；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.5，运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为（）A.0.75B.0.6C.0.55D.0.454.函数的部分图象如图所示，下列说法不正确的是（）A.函数图象关于点对称B.函数的图象关于直线对称C.函数在单调递减 D.该图象向右平移个单位可得的图象5.若与轴相切的圆与直线也相切，且圆经过点，则圆的半径为（）A.1B.C.或D.1或6.若函数是偶函数，则的最小值为（）A.4B.2C.D.7.已知函数，，，若，图像上分别存在点M，N关于直线对称，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.8.如图，在四棱锥中，底面是正方形，，侧棱底面，是的中点，是内的动点，，则的轨迹长为（）A.B.C.D.二、选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9.“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲早393年发现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（） A.由“在相邻两行中，除1以外的每个数都等于它肩上的两个数字之和”猜想B.由“第行所有数之和为”猜想：C.第20行中，第10个数最大D.第15行中，第7个数与第8个数的比为7：910.设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且，，，则下列结论正确的是（）A.B.C.的最大值为D.的最大值为11.如图，等边三角形的边长为4，为边的中点，于.将沿翻折至的位置，连接.那么在翻折过程中，下列说法当中正确的是（）A.B.四棱锥的体积的最大值是C.存某个位置，使D.在线段上，存在点满足，使为定值12.已知双曲线：，点为双曲线右支上一个动点，过点 分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为，两点，则下列说法正确的是（）A.双曲线的离心率为B.存在点，使得四边形为正方形C.直线，的斜率之积为2D.存在点，使得三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.已知角的终边过点，且，则___________.14.已知圆台上、下底面直径分别为2和4，高为1，则该圆台外接球的表面积为__________.15.设为抛物线的焦点，，，为该抛物线上不同的三点，若，为坐标原点，则___________.16.函数的值域为__________.四、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在平面四边形ABCD中，，，．（1）若的面积为，求AC；（2）若，，求．18.某电视台为了解不同性别的观众对同一档电视节目的评价情况，随机选取了100名观看该档节目的观众对这档电视节目进行评价，已知被选取的观众中“男性”与“女性”的人数之比为，评价结果分为“喜欢”和“不喜欢”，并将部分评价结果整理如下表所示.评价性别喜欢不喜欢合计男性15女性 合计50100（1）根据所给数据，完成上面的列联表；（2）依据的独立性检验，能否认为性别因素与评价结果有关系？（3）电视台计划拓展男性观众市场，现从参与评价的男性中，按比例分层抽样的方法选取3人，进行节目“建言”征集奖励活动，其中评价结果为“不喜欢”的观众“建言”被采用的概率为，评价结果为“喜欢”的观众“建言”被采用的概率为，“建言”被采用奖励100元，“建言”不被采用奖励50元，记3人获得的总奖金为X，求X的分布列及数学期望.附：0.0100.0050.0016.6357.87910.82819.已知等差数列的前项和为，，为整数，且.（1）求的通项公式；（2）设数列满足，且数列前项和为，若对恒成立，求实数的取值范围.20.如图，已知正方体的棱长为2.，分别为与上的点，且，.（1）求证：；（2）求平面与平面的夹角的余弦值. 21.已知经过点的椭圆的上焦点与抛物线焦点重合，过椭圆上一动点作抛物线的两条切线，切点分别为．（1）求和的方程；（2）当在椭圆位于轴下方的曲线上运动时，试求面积的最大值．22.已知函数.（1）若，判断函数单调性，并说明理由；（2）若时，恒成立.（i）求实数的取值范围；