四川省广安市广安友谊中学2023-2024学年高三上学期10月月考数学文科 Word版含解析.docx

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广安友谊中学高2021级高三上期10月月考文科数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，，则集合（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求出集合，再求并集可得答案.【详解】集合，，则．故选：B．2.下列函数在有意义且单调递增的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据基本初等函数的定义域和单调性即可得出答案.【详解】选项A，的定义域为，且在为减函数，故A错误；选项B，的定义域为，且在为增函数，所以在有意义且单调递增，故B正确；选项C，在有意义，且在是减函数，在是增函数，故C错误；选项D，在有意义，且在为减函数，故D错误.故选：B.3.已知命题，则命题的否定为（）A.B. C.D.【答案】D【解析】【分析】根据存在命题的否定是全称命题进行判断即可.【详解】因为存在命题的否定是全称命题，所以命题的否定为，故选：D4.已知函数则（）A.B.2C.4D.8【答案】C【解析】【分析】由函数解析式，将从内到外以次计算出的函数值即可.【详解】因为，则，所以.故选：C5.航天之父､俄罗斯科学家齐奥科夫斯基（K.E.Tsiolkovsky）于1903年给出火箭最大速度的计算公式.其中，是燃料相对于火箭的喷射速度，是燃料的质量，是火箭（除去燃料）的质量，v是火箭将燃料喷射完之后达到的速度.已知，则当火箭的最大速度可达到时，火箭的总质量（含燃料）至少是火箭（除去燃料）的质量的（）倍.A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】将已知条件，代入中，转化为指数形式，计算 的值即可求解.【详解】由题意可知：，，代入可得，所以，可得，可得，即，所以，所以火箭的总质量（含燃料）的质量是火箭（除去燃料）的质量的倍，故选：A.6.设，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据充分必要条件和集合的包含关系求解即可.【详解】由，解得，所以，又由，解得，所以，因为是的必要不充分条件，所以集合真包含于，所以，解得，经检验，时，，满足题意； 时，，满足题意；所以实数的取值范围是.故选:A.7.若，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由对数函数和指数函数、幂函数的性质判断．【详解】解：∵，∴函数在上单调递减，又∵，∴，∴，即，所以选项A正确，选项B错误，∵幂函数在上单调递增，且，∴，所以选项C错误，∵指数函数在R上单调递减，且，∴，所以选项D错误，故选：A．8.已知，为偶函数，且，则函数的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】 【分析】根据特殊点以及函数的奇偶性确定正确答案.【详解】，BC选项错误.依题意，是偶函数，，所以，所以是奇函数，图象关于原点对称，D选项错误，所以A选项正确.故选：A9.已知，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先根据题目条件，求出的值，然后利用和差公式，即可求得本题答案.【详解】因为，所以，所以，所以.故选：A10.函数在区间内有极值点，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据极值点定义易知在区间内有实根，构造函数 ，利用函数单调性即可求出实数的取值范围.【详解】由可得其定义域为，易知，因为函数在区间内有极值点，所以方程在区间内有实根，即在内有实根；令，则显然在上满足恒成立，所以函数在上单调递增，因此，可得，因为在内有实根，所以，即实数的取值范围为.故选：C11.函数的图象中两个相邻的最高点和最低点的坐标分别为，则函数在区间上的值域为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题意根据相邻两点的坐标可得，结合图象可得周期可计算出，再由三角函数图象性质即可求出函数在区间上的值域.【详解】根据函数解析式以及最低点和最高点坐标，因为，所以，解得；易知最高点和最低点的横坐标之间相差半个周期，即，可得；所以可得，将点代入即可得， 所以，即，又，可得；因此，当时，，由三角函数值域可得；所以可知的取值范围为，即函数在区间上的值域为.故选：A12.已知定义在上的奇函数满足，当时，．若函数在区间上有10个零点，则实数m的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据题意可知和都是周期为2的周期函数，因此可将的零点问题转换为和的交点问题，画出函数图形，找到交点规律即可找出第10个零点坐标，而m的取值范围就在第10个零点和第11个零点之间.【详解】由得是一个周期为2的奇函数，当时，，因此，因为是奇函数，所以，，且的周期为，且，，，，求的零点，即是与的交点，如图： 为与在区间的交点图形，因为与均为周期为2的周期函数，因此交点也呈周期出现，由图可知的零点周期为，若在区间上有10个零点，则第10个零点坐标为，第11个零点坐标为，因此.故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.函数的定义域为___________.【答案】【解析】【详解】试题分析:由题设可得,解之得,故应填答案.考点：函数定义域的求法及运用．14.已知，则______．【答案】【解析】【分析】根据二倍角公式以及同角三角函数之间的基本关系可得，代入计算即可求得结果.【详解】根据题意可知，将代入可得；故答案为： 15.已知中，若面积为为的平分线与边的交点，则的长度是__________.【答案】【解析】【分析】根据三角形面积公式，结合三角形角平分线的性质、余弦定理进行求解即可.【详解】因为的面积为，所以，由余弦定理可知：，因为角平分线，所以，在三角形中，由余弦定理可知：，在三角形中，由余弦定理可知，故答案为：【点睛】关键点睛：本题的关键是利用三角形角平分线的性质.16.已知函数，若，则的最小值为_________．【答案】【解析】【分析】由题干条件得到，从而构造函数，求导得到其单调性，从而得到最小值，求出答案.【详解】的定义域为，根据对数函数的图象和性质可知，当时，， 当时，，所以时，得，，当时，单调递增，又，所以，令，则，由，解得，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以当时，，即的最小值为.故答案为：【点睛】通过构造函数，并利用导数研究函数的最值的方法解决问题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（1）若不等式成立的充分不必要条件是，求实数a的取值范围；（2）已知命题p：“”，命题q：“”．若命题“且”是真命题，求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由解得，再根据题意可得且等号不同时成立，求解即可；（2）由可得；由，使成立可得 ，再根据题意可得，求解即可.【详解】（1）由解得，因为不等式成立的充分不必要条件是，所以且等号不同时成立，解得，故实数a的取值范围为.（2）对于命题恒成立，只需，即；对于命题，使成立，则，解得或.若“且”是真命题，则，解得，故实数a的取值范围为.18.在中，角所对的边为，且．（1）求角；（2）若，求面积的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理，结合两角和的正弦公式进行求解即可；（2）根据余弦定理、三角形面积公式，结合基本不等式进行求解即可.【小问1详解】设该三角形外接圆的半径为，，，．，，，； 【小问2详解】由余弦定理得，，即，，当时等号成立，，的面积，当时，面积的最大值为19.已知函数，.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）试讨论函数的单调性.【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）先求函数的导函数得出斜率，再根据点斜式求出切线方程即可；（2）分和两种情况求导函数，分导数正负讨论函数的单调性.【小问1详解】因为，所以，则，切点为又因为所以，即所以曲线在点处的切线方程是，即.【小问2详解】因为，，所以，当时，，则在上单调递减；当时，令，得， 当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，综上，当时，在上单调递减；当时，上单调递减，在上单调递增20.已知函数，满足______．在：①函数的一个零点为0；②函数图象上相邻两条对称轴的距离为；③函数图象的一个最低点的坐标为，这三个条件中任选两个，补充在上面问题中，并给出问题的解答．（1）求的解析式；（2）把的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，若在区间上的最大值为2，求实数的最小值．【答案】（1）条件选择见解析，（2）【解析】【分析】（1）若选①②：根据求出，函数图象上相邻两条对称轴的距离为求出，从而得到函数的解析式；若选①③：根据求出，函数图象的一个最低点的坐标为求出，可得函数的解析式；若选②③：根据函数图象上相邻两条对称轴的距离为求出，函数图象的一个最低点的坐标为，求出可得函数的解析式；（2）利用图象平移可得的解析式，再由在区间上的最大值为2可得答案.【小问1详解】若选①②：因为函数的一个零点为，所以，所以， 所以，因为，所以．因为函数图象上相邻两条对称轴的距离为，所以．因为，所以，所以函数的解析式为；若选①③：因为函数的一个零点为，所以，所以，所以，因为，所以．因为函数图象的一个最低点的坐标为，所以，所以，所以，即，因为，所以．所以函数的解析式为；若选②③：因为函数图象上相邻两条对称轴的距离为，所以，因为，所以，因为函数图象的一个最低点的坐标为，所以，所以，所以即，因为，所以，所以函数的解析式为；【小问2详解】把的图象向右平移个单位得到，再将向上平移1个单位得到， 即，由得，因为在区间上的最大值为2，所以在区间上的最大值为1，所以，所以，所以最小值为.21.已知函数．（1）若是奇函数，且有三个零点，求的取值范围；（2）若在处有极大值，求当时的值域．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先由函数奇偶性，得到，得出，对其求导，分别讨论和两种情况，根据导数的方法判定函数单调性，结合零点个数，即可求出结果；（2）先对函数求导，根据极大值求出，根据函数单调性，即可求出值域.【详解】（1）∵是定义域为的奇函数，所以，且．∴，∴．当时，，此时在上单调递减，在上只有一个零点，不合题意．当时，，解得，∴在，上单调递减，在上单调递增，∵在上有三个零点，∴且， 即，即，而恒成立，∴．所以实数的取值范围为．（2），由已知可得，且，解得或当，时，，，令，即，解得，令，即，解得或，即函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减；所以是的极小值点，与题意不符．当，时，，．令，即，解得；令，即，解得或，即函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减；所以是的极大值点，符合题意，故，．又∵，∴在上单调递增，在上单调递减．又，，．所以在上的值域为．【点睛】思路点睛：导数的方法求函数零点的一般步骤： 先对函数求导，由导数的方法求出函数的单调性区间，根据函数极值的定义，求出函数的的极值，再根据函数函数的零点个数，确定极值的取值情况，进而可得出结果.22.已知函数.（1）求过原点的切线方程；（2）已知对任意的，都有不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义，求出切线方程，将点代入即可得答案；（2）令，将原不等式恒成立转化为，根据的符号合理分类讨论.【小问1详解】因为，设切点为，所以切线斜率为，切线方程为，将点代入切线方程解得，故切线方程为；【小问2详解】令，则原不等式即为，又，且，若时，则，再令且，因为，，而，故（当且仅当时等号成立），所以在上为增函数，所以，此时不等式恒成立即恒成立.当时，，则，设， 则当时，有即在上单调递增，若，则，有恒成立，故在上单调递减，故，不合题意；若，则存，使得，故，，有恒成立，故在上单调递减，故，不合题意；综合上述，实数的取值范围为.