四川省兴文第二中学校2023-2024学年高三上学期开学考试文科数学 Word版含解析.docx

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宜宾兴文二中高2021级高三上学期开学考试文科数学试卷第Ⅰ卷选择题(60分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设为虚数单位,复数满足,则的虚部是()A.-1B.iC.-2D.-2i【答案】C【解析】【分析】根据复数的运算法则计算并根据复数的基本概念即可求解.【详解】,∴z的虚部为-2.故选:C.2.已知,则是的()条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要【答案】C【解析】【分析】利用指数函数的性质,结合充分必要条件的判断即可得解.【详解】因为为单调递减函数,所以当时,,即充分性成立;当时,,即必要性成立;所以是的充要条件.故选:C.3.已知袋中有大小、形状完全相同的4个红色、3个白色的乒乓球,从中任取4个,则下列判断错误的是()A.事件“都是红色球”是随机事件B.事件“都是白色球”是不可能事件C.事件“至少有一个白色球”是必然事件 D.事件“有3个红色球和1个白色球”是随机事件【答案】C【解析】【分析】对事件分类,利用随机事件的定义直接判断即可.【详解】因为袋中有大小、形状完全相同的4个红色、3个白色的乒乓球,所以从中任取4个球共有:3白1红,2白2红,1白3红,4红四种情况.故事件“都是红色球”是随机事件,故A正确;事件“都是白色球”是不可能事件,故B正确;事件“至少有一个白色球”是随机事件,故C错误;事件“有3个红色球和1个白色球”是随机事件,故D正确.故选:C4.执行如图所示的程序框图,则输出的的值为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据程序框图的步骤,运行计算即可求解.【详解】第一次执行,由,则,又由,则进入循环;第二次执行,由,则,又由,则进入循环;第三次执行,由,则,又由,则进入循环;第四次执行,由,则,又由,则进入循环;第五次执行,由,则,又由,则输出, 故选:.5.若向量,满足且,则()A.4B.3C.2D.0【答案】D【解析】【分析】先证明,可得,利用数量积运算法则求解即可.【详解】向量满足且,,,,故答案为0.【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算法则以及向量垂直的性质,属于基础题.6.袋中共有10个除了颜色外完全相同球,其中有7个白球,3个红球,从袋中任取2个球,所取的2个球中恰有1个白球,1个红球的概率为()A.1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求出任取2球的基本事件的总数,以及事件“1个白球,1个红球”含有的基本事件的个数,然后可计算出概率.【详解】由题意从10个球中任取2个的方法数是,其中一红一白的事件有,所以所求概率为.故选:C.【点睛】本题考查古典概型,解题关键是求得基本事件的个数.7.一个体积为的正方体的顶点都在球面上,则球的表面积是A.B.C.D.【答案】B【解析】【详解】试题分析:因为正方体的体积为,所以棱长为 ,因为正方体的定点都在球面上,所以正方体的体对角线应该为球的直径,所以球的直径为所以球的半径为,所以球的表面积为考点:本小题主要考查正方体与其外接球的关系和球的表面积的计算,考查学生的运算求解能力.点评:正方体外接于球,则正方体的体对角线为球的直径;如果球内切于正方体,则正方体的棱长等于球的直径.8.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是()A.B.C.D.【答案】B【解析】【详解】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥,如图所示,本题所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和,利用垂直关系和三角形面积公式,可得:,因此该几何体表面积,故选B.【考点定位】本小题主要考查的是三棱锥的三视图问题,一般都是求棱锥或棱柱的体积而这道题是求表面积,因此考查学生计算基本功以及空间想象的能力 9.已知,实数满足对于任意的,都有,若,则实数a的值为()A.B.3C.D.【答案】D【解析】【分析】由题得是的一个极大值点,化简即得解.【详解】解:由题意及正弦函数的图象可知,是的一个极大值点,由,得.故选:D.10.已知函数f(x)=若函数y=f(x)-k有三个不同的零点,则实数k的取值范围是()A.(-2,2)B.(-2,1)C.(0,2)D.(1,3)【答案】C【解析】【分析】利用导数及对数函数的单调性作出函数图像,数形结合判断当函数与直线有三个交点时参数k的取值范围.【详解】当x<0时,f(x)=x3-3x,则f′(x)=3x2-3,令f′(x)=0,解得或1(舍去),故f(x)在(-∞,-1)上单调递增,在(-1,0)上单调递减.又f(x)=ln(x+1)在(0,+∞)上单调递增.则函数f(x)的图象如图所示, f(x)极大值=f(-1)=2,且f(0)=0,数形结合知当k∈(0,2)时,函数与直线有三个交点,即y=f(x)-k有三个不同零点.故选:C【点睛】本题考查根据函数零点个数求参数的取值范围,属于中档题.11.已知抛物线的焦点为F,过点P(2,0)的直线交抛物线于A,B两点,直线AF,BF分别于抛物线交于点C,D.设直线AB,CD的斜率分别为,则()A.B.C.1D.2【答案】B【解析】【分析】根据题意设直线的方程和直线的方程,分别与抛物线方程联立得到,,,然后求即可.【详解】由题意得,设直线的方程为,,,,,联立得,,设直线的方程为,联立得,,同理可得,所以.故选:B. 12.已知关于的不等式在恒成立,则的取值范围是()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】将条件变形为,然后由的单调性可得,然后可得,然后利用导数求出的最小值即可.【详解】由得即,构造,即因为在上单调递增,所以,所以所以,令,则所以在上单调递减,在上单调递增所以,所以,即又,即所以的取值范围是故选:B第Ⅱ卷非选择题(90分)二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.某校1200名学生中,型血有450人,型血有350人,型血有250人,型血有150人,从中抽取容量为48的样本,按照分层抽样的方法抽取样本,则要抽取的型血的人数为_________.【答案】10【解析】【分析】根据分层比可求型血的人数.【详解】因为用分层抽样的方法抽取样本,故要抽取的型血的人数为. 故答案为:.【点睛】本题考查分层抽样,注意按分层比计算所取的人数,本题属于容易题.14.实数满足条件,则的最大值为_______________【答案】【解析】【分析】画出可行域,向下平移基准直线到可行域边界位置,由此求得目标函数的最大值.【详解】画出可行域如下图所示,由图可知,目标函数在点处取得最大值为.【点睛】本小题主要考查线性规划求线性目标函数的最大值,考查数形结合的数学思想方法,属于基础题.15.圆:和圆:交于两点,则直线的方程是____.【答案】【解析】【分析】直接用两个圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程.【详解】由 得故答案为.【点睛】本题考查了与圆与圆的位置关系相关的问题,考查了公共弦所在直线的求法,属于基础题.16.已知、两所大学的专业设置都相同(专业数均不小于),数据显示,大学的各专业的男女生比例均高于大学的相应专业的男女生比例(男女比例是指男生人数与女生人数比).据此,甲同学说:“大学的男女比例一定高于大学的男女生比例”;乙同学说:“大学的男女比例不一定高于大学的男女生比例”;丙同学说:“两所大学的全体学生的男女比例一定高于大学的男女生比例”.其中,说法正确的同学是__________.【答案】乙【解析】【分析】结合特例可得说法正确的为乙.【详解】设A大学有专业1,男女比例为,人数为人,有专业2,男女比例,人数为3人;设B大学有专业1,男女比例为,人数为人,有专业2,男女比例为,人数为人;则上述比例满足题设要求,则大学的男女比例为,而大学的男女比例为,故答案为:乙三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.在世界读书日期间,某地区调查组对居民阅读情况进行了调查,获得了一个容量为200的样本,其中城镇居民140人,农村居民60人.在这些居民中,经常阅读的城镇居民有100人,农村居民有30人.(1)填写下面列联表,并判断能否有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关?城镇居民农村居民合计经常阅读10030不经常阅读 合计200(2)调查组从该样本的城镇居民中按分层抽样抽取出7人,参加一次阅读交流活动,若活动主办方从这7位居民中随机选取2人作交流发言,求被选中的2位居民都是经常阅读居民的概率.附:,其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)见解析,有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关.(2)【解析】【分析】(1)根据题中数据得到列联表,然后计算出,与临界值表中的数据对照后可得结论;(2)由题意得概率为古典概型,根据古典概型概率公式计算可得所求.【详解】(1)由题意可得:城镇居民农村居民合计经常阅读10030130不经常阅读403070合计14060200则,所以有99%的把握认为经常阅读与居民居住地有关.(2)在城镇居民140人中,经常阅读的有100人,不经常阅读的有40人.采取分层抽样抽取7人,则其中经常阅读的有5人,记为、、、、;不经常阅读的有2人,记为、.从这7人中随机选取2人作交流发言,所有可能的情况为,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,共21种, 被选中的位居民都是经常阅读居民的情况有种,所求概率为.【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算,以及独立性检验的应用,利用列举法是解决本题的关键,考查学生的计算能力.对于古典概型,要求事件总数是可数的,满足条件的事件个数可数,使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可,属于中档题.18.设函数().(1)当时,讨论函数的单调性;(2)若对任意及任意,恒有成立,求实数的取值范围.【答案】(1)当时,在上是减函数;当时,在和单调递减,在上单调递增;当时,在和单调递减,在上单调递增;(2).【解析】【分析】(1)求导可得,因为,所以,讨论与的大小,化情况讨论的单调性即可;(2)任意,恒有成立,所以求出在区间上的最值,再求的取值范围即可.【详解】(1),当,即时,在定义域上是减函数;当,即时,令得或令得当,即时,令得或令得 综上,当时,在上是减函数;当时,和单调递减,在上单调递增;当时,在和单调递减,在上单调递增,(2)由(1)知,当时,在上单调递减,是最大值,是最小值;,,而,经整理得,因为时,由对勾函数知单调递减,所以时,单调递增,故得,所以19.如图所示,平面平面是等腰直角三角形,,四边形是直角梯形,,,,分别为的中点.(1)试判断直线与平面的位置关系,并说明理由;(2)求四面体的体积.【答案】(1)平面,理由见解析;(2).【解析】【分析】(1)根据已知条件及三角形的中位线定理,再利用平行的传递性及平行四边形的判定,再结合线面平行的判定即可求解;(2)根据已知条件得出点到平面的距离,进而得到点到平面的距离,再求出面积,结合三棱锥的体积公式即可求解. 【小问1详解】直线与平面平行,理由如下如图所示,取中点为,连接,因为为的中点,为的中点,所以.又,,所以,所以,所以四边形为平行四边形.则.又平面,平面,所以平面.【小问2详解】因为是等腰直角三角形,,为的中点.所以,,,因为平面平面,,平面平面,所以平面,平面,所以,,又,所以平面,所以点到平面的距离为,因为为的中点. 即点到平面的距离为,因为为的中点,所以,又因为四边形是直角梯形,,,,所以,所以四面体ODME的体积为.20.函数.(1)若函数有2个零点,求实数a的取值范围;(2)若在上的值域为,求实数a的值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)利用导数求出函数的单调性和最小值,由最小值小于即可解得结果;(2)根据得到,得到函数在上为减函数,进而求出最小值和最大值,结合已知的值域列式可求出的值.【小问1详解】的定义域为,,当时,,当时,,所以在上为减函数,在上为增函数,所以当时,取得最小值,为,因为当趋近于时,趋近于,当趋近于正无穷时,也趋近于正无穷,所以若函数有2个零点,则,解得.【小问2详解】 由(1)可知,函数在上为减函数,在上为增函数,且的最小值,为,若在上的值域为,则,即,所以,所以函数在上为减函数,所以,,解得符合题意;综上所述:【点睛】关键点点睛:第二问中,利用函数在上的最小值小于等于在上的最小值,求出的范围,这样避免分类讨论是解题关键.21.已知椭圆的左右焦点分别为F1,F2,左顶点为A,且满足,椭圆上的点到焦点距离的最大值为.(1)求椭圆的标准方程;(2)若P是椭圆上的任意一点,求的取值范围;(3)已知直线与椭圆相交于不同的两点M,N(均不是长轴的端点),AH⊥MN,垂足为H且,求证:直线l恒过定点.【答案】(1)(2)(3)证明见解析【解析】【分析】(1)根据题意列方程组,解得参数,即可得到椭圆的标准方程;(2)把条件转化成关于的横坐标的代数式,以抛物线在给定区间求值域的方法解之即可;(3)把条件转化成,极大简化了运算量,是数形结合的的一个范例,得到参数关系后,即可求得直线l所过定点.【小问1详解】由已知,解得,,则, 故椭圆的标准方程为.【小问2详解】设,则,又,.∴.由于在椭圆上,∴.由在区间上单调递增,可知当时,取最小值为0;当时,取最大值为12.故的取值范围是【小问3详解】由消去得:.设,,则,,.由得.,即,可得,则,即化简得.∴或,均适合.当时,直线过,舍去; 当时,直线过定点.故直线l恒过定点.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时,要注意:(1)注意观察应用题设中的每一个条件,明确确定直线、椭圆的条件;(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力,重视根与系数之间的关系、弦长、斜率等问题.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.(选修4-4极坐标与参数方程)22.在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(t为参数),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的直角坐标方程;(2)若直线与曲线交于点A,B,且,求的值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根据直角坐标与极坐标的互化,结合余弦二倍角公式即可求解,(2)联立直线与曲线的方程,由直线参数方程的几何意义即可求解.小问1详解】由得,将代入可得,即【小问2详解】 将曲线的参数方程带入曲线得:,即设A,B两点对应的参数分别为,,则,所以异号,∴(选修4-5不等式选讲)23.已知函数,且不等式的解集为.(1)求实数的值;(2)若正实数满足,证明:.【答案】(1),(2)证明见解析【解析】【分析】(1)根据题意,可得,然后列出方程求解,即可得到结果;(2)根据题意,结合柯西不等式代入计算即可得到证明.【小问1详解】,且,,解得...(i)当时,由,解得(不合题意,舍去);(ii)当时,由,解得,经检验满足题意. 综上所述,.【小问2详解】由(1)得..,

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