湖南省长沙市周南中学2023-2024学年高二上学期第一次阶段考试数学 Word版含解析.docx

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周南教育集团2023年下学期高二年级第一阶段考试数学试卷一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知,则x的值为()A.2B.4C.6D.8【答案】D【解析】【分析】根据对数的定义运算求解.【详解】∵,则.故选:D.2.某读书会有6名成员,寒假期间他们每个人阅读的书本数分别如下:3,2,5,4,3,1,则这组数据的75%分位数为()A.3B.4C.3.5D.4.5【答案】B【解析】【分析】这组数从小到大排列顺序为:1,2,3,3,4,5,根据,结合百分数的定义,即可求解.【详解】由题意,这组数从小到大排列顺序为:1,2,3,3,4,5,由,可得这组数据的75%分位数为从小到大排列的第5个数为4.故选:B.3.已知直线与直线垂直,垂足为,则的值为()A.-6B.6C.4D.10【答案】A【解析】【分析】由已知条件中两直线垂直可以求出的值,再由垂足在两条直线上可得和的二元一次方程组,求解出和的值,即可求出的值.【详解】因为直线与直线垂直,所以,解得 ,又垂足为,代入两条直线方程可得,解得,,则.故选【点睛】本题考查了两条直线的位置关系,需要掌握两条直线平行或垂直时其直线方程一般式的系数关系,本题较为基础.4.已知圆柱底面半径和母线长均为分别为圆、圆上的点,若,则异面直线所成的角为()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】在圆的投影为,连接,计算,根据余弦定理得到,得到答案.【详解】如图所示:在圆的投影为,连接,易知,在直角中,,在中,根据余弦定理,,,故,故异面直线所成的角为.故选:C. 5.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E是棱AB的中点,则点E到平面ACD1的距离为()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】以D坐标原点,,分别为x轴,y输、z轴正方向建立空间直角坐标系,用向量法求解.【详解】如图,以D为坐标原点,,分别为x轴,y输、z轴正方向建立空间直角坐标系,则.从而.设平面的法向量为,则,即,得,令,则,所以点E到平面的距离为.故选:C6.某高校在2019年新增设的“人工智能”专业,共招收了两个班,其中甲班30人,乙班40人,在2019 届高考中,甲班学生的平均分为665分,方差为131,乙班学生平均分为658分,方差为208.则该专业所有学生在2019年高考中的平均分和方差分别为()A.661.5,169.5B.661,187C.661,175D.660,180【答案】B【解析】【分析】先求出总体均值,再利用分层抽样的方差公式即可得解.【详解】由题意甲的平均值为,方差为,乙的平均值是,方差为,则总体平均值为,方差为.故选:B.7.在中,内角的对边分别为.若的面积为,且,,则外接圆的面积为()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由条件结合面积公式与余弦定理可得,即,再根据正弦定理可得外接圆的半径,从而得到外接圆的面积.【详解】在中,由余弦定理得,既有,又由面积公式,得,又,故,所以.因为,所以,又由正弦定理,其中为外接圆的半径,由及,得,所以外接圆的面积故选:D8.设函数,若对于任意实数,在区间 上至少有2个零点,至多有3个零点,则的取值范围是(  )A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】,只需要研究的根的情况,借助于和的图像,根据交点情况,列不等式组,解出的取值范围.【详解】令,则令,则则问题转化为在区间上至少有两个,至少有三个t,使得,求的取值范围.作出和的图像,观察交点个数,可知使得的最短区间长度为2π,最长长度为,由题意列不等式的:解得:.故选:B【点睛】研究y=Asin(ωx+φ)+B的性质通常用换元法(令),转化为研究的图像和性质较为方便.二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求的.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.9.下列说法正确的是()A.直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2 B.直线在轴上的截距是3C.过两点的直线方程为D.点关于直线的对称点为【答案】AD【解析】【分析】A确定直线在坐标轴上截距,再求面积即可判断;B由直线斜截式即可判断;C根据两点式使用前提判断;D检验对称点的满足条件即可判断.【详解】A:由直线易得,其在x、y轴截距分别为,故该直线与坐标轴所围成三角形面积为,对;B:由直线斜截式可知,轴上的截距是,错;C:仅当时,直线才能表示为,错;D:因为点与点的中点为,代入直线,显然满足;又经过点与点的直线的斜率为,而直线的斜率为,所以这两直线互相垂直;所以点关于直线的对称点为,对.故选:AD10.关于直线,与平面,,以下四个命题中真命题是A.若,且,则B.若,且,则C.若,且,则D.若,且,则【答案】BC【解析】【分析】根据线面垂直的性质定理和线面平行的性质定理,对四个结论逐一进行分析,易得到答案.【详解】解:若,且,则,可能平行也可能异面,也可以相交,故A错误;若,且,则,一定垂直,故B正确; 若,且,则,一定垂直,故C正确;若,且,则,可能相交、平行也可能异面,故D错误故选:BC.【点睛】考查线线平行与垂直的判定,基础题.11.下列命题正确的有().A.B.若,把向右平移2个单位,得到的向量的坐标为C.在中,若点满足,则点是的重心D.在中,若,则点的轨迹经过的内心【答案】ACD【解析】【分析】选项A利用向量的加减法运算判定;选项B利用向量的坐标表示判定;选项C利用三角形重心的向量表示判定;选项D根据条件得点在的角平分线上,从而有点的轨迹经过的内心.【详解】选项A:因为,所以选项A正确;选项B:若,把向右平移2个单位,得到的向量的坐标依然是,故选项B错误;选项C:由三角形的重心的向量表示可知,若点满足,则点是的重心,故选项C正确;选项D:在中,若,则点在的角平分线上,所以点的轨迹经过的内心,故选项D正确;故选:ACD.12.如图,在边长为2的正方形中,E,F分别是的中点,D是EF的中点,将分别沿SE,SF折起,使两点重合于G,下列说法正确的是() A.若把沿着EF继续折起,与G恰好重合B.C.四面体的外接球体积为D.点G在面SEF上的射影为△SEF的重心【答案】ABC【解析】【分析】根据,可说明与G恰好重合,判断A;根据线面垂直的性质定理可判断B;将四面体补成长方体,可求得其外接球半径,进而求得外接球体积,判断C;根据线面垂直证明线线垂直,说明点G在面SEF上的射影为三角形的高的交点,判断D.【详解】对于A,因为,故把沿着继续折起,与恰好重合,正确;对于B,因为,D是EF的中点,故;又,故平面GEF,而平面GEF,故,又平面SGD,所以平面,平面,所以正确;对于,由翻折的性质可知,两两垂直,将其补成相邻三条棱长为1,1,2的长方体,则长方体外接球和四面体外接球相同, 其体对角线长,所以长方体外接球的半径为,故外接球的体积为,故正确;对于D,因为两两互相垂直,故平面GEF,则,设P为点G在平面SEF上的射影,连接EP,SP,则,而平面SGP,故平面SGP,平面SGP,故,同理可证,即点P为三角形高线的交点,所以点在平面上的射影为的垂心,故D错误,综上,正确答案为ABC,故选:ABC三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知,,若,则的最大值为_________【答案】【解析】【分析】利用基本不等式,代入方程中,即可求解.【详解】正数,满足,,即,解得,故,当且仅当时取等号.的最大值为,故答案为:414.已知直线过点,且点到直线的距离为2,则直线的方程为________________. 【答案】或【解析】【分析】分直线斜率存在和不存在两种情况讨论,利用点到直线的距离公式即可得出答案.【详解】当直线l斜率不存在时,可得直线l的方程为,满足题意;当直线斜率存在时,可设直线的方程为,即,因为点到直线l的距离是2,则,解得.所以直线的方程为,综上所述,直线l的方程为或.故答案为:或.15.已知在平行六面体中,若同一顶点为端点的三条棱长都等于1,且彼此的夹角都是60°,则此平行六面体的对角线的长为___________.【答案】【解析】【分析】根据题意首先画出图形,并设,,,然后根据三角形法则,用、、表示,然后根据向量模的计算公式和向量的数量积运算,即可求解.【详解】如图所示,设,,,则,两两向量之间的夹角都为,又,两边同时平方得: ,,即的长为故答案为:.16.若函数的图象上存在两点,关于点对称,则直线的方程是______.【答案】【解析】【分析】首先根据方程形式,设出点的坐标,再根据中点坐标公式,即可求得两点坐标,再计算直线方程.【详解】根据题意,设,,因为线段的中点是,所以,整理得,所以,为方程的根,解得,所以,或,.由两点式得直线的方程为.故答案为:四、解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中,,,,D为BC三等分点(靠近B点).(1)求的值; (2)若点P满足,求的最小值,并求此时的.【答案】(1)(2),此时【解析】【分析】(1)将和分别用,线性表示,再进行数量积运算即可;(2)建立如图所示的坐标系,设,利用向量数量积的坐标表示将所求式子表示为关于的函数,进而求结果.【小问1详解】因为,所以【小问2详解】如图建立直角坐标系,则,,令所以,∴∴当时,,此时18.已知直线,.(1)当时,直线过与的交点,且它在两坐标轴上的截距相反,求直线的方程;(2)若坐标原点到直线的距离为,判断与的位置关系.【答案】(1)或;(2)或 【解析】【详解】试题分析:(1)联立解得与的交点为(-21,-9),当直线过原点时,直线的方程为;当直线不过原点时,设的方程为,将(-21,-9)代入得,解得所求直线方程(2)设原点到直线的距离为,则,解得:或,分情况根据斜率关系判断两直线的位置关系;试题解析:解:(1)联立解得即与的交点为(-21,-9).当直线过原点时,直线的方程为;当直线不过原点时,设的方程为,将(-21,-9)代入得,所以直线的方程为,故满足条件的直线方程为或.(2)设原点到直线的距离为,则,解得:或,当时,直线的方程为,此时;当时,直线的方程为,此时.19.已知函数.(Ⅰ)求函数在区间上的值域.(Ⅱ)在中,角A,B,C,所对的边分别是a,b,c,若角C为锐角,,且,求面积的最大值.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)【解析】【分析】(Ⅰ)利用差角的正弦公式、辅助角公式化简函数,结合正弦函数的性质,可得函数在区间 ,上的值域;(Ⅱ)先求出,再利用余弦定理,结合基本不等式,即可求得面积最大值.【详解】解:(Ⅰ),由,有,所以函数的值域为.(Ⅱ)由,有,为锐角,,.,由余弦定理得:,,.,当,即为正三角形时,的面积有最大值.20.为了普及垃圾分类知识,某校举行了垃圾分类知识考试,试卷中只有两道题目,已知甲同学答对每题的概率都为p,乙同学答对每题的概率都为q(),且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲、乙两人同时答对的概率为,恰有一人答对的概率为.(1)求p和q的值;(2)求甲、乙两人共答对3道题的概率.【答案】(1),(2)【解析】 【分析】(1)利用独立、互斥事件概率公式得到方程组求解;(2)先求出甲、乙答对题目数为0、1、2的概率,再由甲乙总共答对3道题,等价于甲答对2道题乙答对1道题或甲答对1道题乙答对2道题,利用独立、互斥事件概率公式计算求得.【小问1详解】设A:甲同学答对第一题,B:乙同学答对第一题,则,.设C:甲、乙两人均答对第一题,D:甲、乙两人恰有一人答对第一题,则,.∵甲、乙两人答题互不影响,且每人各题答题结果互不影响,∴A与B相互独立,与互斥,∴,.由题意得解得或∵,∴,.【小问2详解】设:甲同学答对了i道题,:乙同学答对了i道题,.由题意得,,,.设E:甲、乙两人共答对3道题,则,∴,∴甲、乙两人共答对3道题的概率为.21.如图,在三棱柱中,侧面为正方形,平面平面,,M,N分别为,AC的中点. (1)求证:平面;(2)若,求直线AB与平面BMN所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】(1)作辅助线,得到线线平行,进而得到线面平行;(2)由面面垂直得到线面垂直,建立空间直角坐标系,利用空间向量进行求解【小问1详解】证明:取AB的中点为K,连接MK,NK,由三棱柱可得四边形为平行四边形,而,,则,而平面,平面,故平面,而,,则,同理可得平面,而,NK,平面MKN,故平面平面,而平面MKN,故平面; 【小问2详解】因为侧面为正方形,故,而平面,平面平面,平面平面,故平面,因为平面,所以,因为,故平面,因为平面,故,又,而,,故平面MNK,而平面MNK,故,所以,故两两垂直,故可建立如所示的空间直角坐标系,则,,,,故,,,设平面BNM的法向量为,则,从而,取,则,设直线AB与平面BNM所成的角为,则.22.已知函数,在区间上有最大值4,最小值1,设 .(1)求的值;(2)不等式在上恒成立,求实数的取值范围;(3)方程有三个不同的实数解,求实数k的取值范围【答案】(1);(2);(3).【解析】【分析】(1)根据题意,结合二次函数的图象与性质,列出方程组,即可求解;(2)由题意得到,根据转化为在上恒成立,结合二次函数的性质,即可求解;(3)化简得到,令,得到,根据题意转化为方程有两个根且,结合二次函数的性质,即可求解.【详解】(1)由题意,函数,可得对称轴为,当时,在上为增函数,可得,即,解得;当时,在上为减函数,可得,即,解得,因为,所以.(2)由(1)可得,所以,方程化为,所以,令,则, 因为,可得,令,当时,可得,所以,即实数的取值范围是.(3)方程,可化为,可得且,令,则方程化为,方程有三个不同的实数解,所以由的图象知,方程有两个根且,记,则或,解得,综上所述,实数的取值范围是.

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