1.3 函数的极限 - 副本.pptx

《1.3 函数的极限 - 副本.pptx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

一、自变量趋于有限值时函数的极限二、自变量趋于无穷大时函数的极限第三节函数的极限 自变量变化过程的六种形式:根据自变量的这种变化过程，本节主要研究以下两种情况：二、当自变量x的绝对值无限增大时，f(x)的变化趋势，一、当自变量x无限地接近于x0时，f(x)的变化趋势 一、自变量趋向有限值时函数的极限这个函数虽在x=1处无定义，但从它的图形上可见，当点从1的左侧或右侧无限地接近于1时，f(x)的值无限地接近于4，我们称常数4为f(x)当x→1时f(x)的极限。1xyo4 怎样用数学语言刻划问题无限接近于确定值A？ 1.定义定义1设函数有定义.记作或恒有在点x0某去心邻域内 注①定义习惯上称为极限的ε—δ定义其三个要素：10。正数ε，20。正数δ，30。不等式 ②定义中所以x→x0时，f(x)有无极限与f(x)在x0处的状态并无关系，这是因为我们所关心的是f(x)在x0附近的变化趋势，即x→x0时f(x)变化有无终极目标，而不是f(x)在x0这一孤立点的情况。约定x→x0但x≠x0③δ＞0反映了x充分靠近x0的程度，它依赖于ε，对一固定的ε而言，合乎定义要求的δ并不是唯一的。δ由不等式|f(x)－A|＜ε来选定，一般地，ε越小，δ越小 必存在x0的去心邻域对于此邻域内的x,对应的函数图形位于这一带形区域内.作出带形区域 一般说来,应从不等式出发,推导出应小于怎样的正数,这个正数就是要找的与相对应的这个推导常常是困难的.但是,注意到我们不需要找最大的所以适当放大些,的式子,变成易于解出找到一个需要的找到就证明完毕.可把 证这是证明吗？非常非常严格！例1 例2证明证于是恒有 例3.证明证:故取当时,必有因此 例4证min可用保证 证明证可取有练习 3.左、右极限(单侧极限)例如,两种情况分别讨论! 左极限右极限使得时,或使得时,或或或 注且性质常用于判断分段函数当x趋近于分段点时的极限. (1)左、右极限均存在,且相等；(2)左、右极限均存在,但不相等；(3)左、右极限中至少有一个不存在.找找例题！函数在点x0处的左、右极限可能出现以下三种情况之一： 试证函数证左、右极限不相等,故例5 练习y=f(x)xOy11在x=1处的左、右极限.解 二、自变量趋向无穷大时函数的极限 返回 通过上面演示实验的观察:问题:如何用精确的数学数学语言刻划函数“无限接近”. 2.另两种情形Axfx=-¥®)(lim当时,有当时,有 解显然有可见和虽然都存在,但它们不相等.故不存在.例6讨论极限是否存在? 图形完全落在:的图形的水平渐近线.定义 例7证要使成立.只要有解不等式 练习试证证注意有为了使只要使有 三、函数极限的性质函数极限与数列极限相比,有类似的性质,定理1(极限的唯一性)有极限,若在自变量的某种变化趋势下,则极限值必唯一.定理2(局部有界性)f(x)有极限,则f(x)在上有界;f(x)有极限,且证明方法也类似. 定理3(局部保号性)证(1)设A>0,取正数即有自己证 只要取便可得更强的结论:证(1)也即(2)自己证.定理3(1)的证明中,不论定理 证假设上述论断不成立,那末由(1)就有在该邻域内这与所以类似可证的情形.假设矛盾,若定理3(2)中的条件改为必有不能!如思考是否定理3定理3 定理4(函数极限与数列极限的关系)如果极限存在,为函数的定义域内任一收敛于x0的数列,那么相应的函数值数列且满足:必收敛,且证设则有故对有有即)(lim0xfxx®).(lim)(lim0xfxfxxnn®¥®==¥®)(limnnxfA,)(lim0Axfxx=® 例8证二者不相等, 1.函数极限的或定义;2.函数极限的性质局部保号性;唯一性;局部有界性;函数极限与数列极限的关系;3.函数的左右极限判定极限的存在性.内容小结 函数极限的统一定义(见下表) 过程时刻从此时刻以后过程时刻从此时刻以后 思考题1.设函数且存在,则2.4.试证3. 解（2）(1)a=3 (3)解： (4)试证[提示]仅需在附近讨论问题,如限定即限定在范围内讨论问题.这时 单击此处添加副标题谢谢聆听