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1、第一章二、自变量趋于有限值时函数的极限第三节一、自变量趋于无穷大时函数的极限下页结束函数的极限三、函数极限的性质四、小结一、自变量趋向无穷大时函数的极限上页下页返回结束一、自变量趋向无穷大时函数的极限上页下页返回结束一、自变量趋向无穷大时函数的极限上页下页返回结束一、自变量趋向无穷大时函数的极限上页下页返回结束一、自变量趋向无穷大时函数的极限上页下页返回结束一、自变量趋向无穷大时函数的极限上页下页返回结束一、自变量趋向无穷大时函数的极限上页下页返回结束一、自变量趋向无穷大时函数的极限上页下页返回结束一、自变量趋向无
2、穷大时函数的极限上页下页返回结束一、自变量趋向无穷大时函数的极限上页下页返回结束上页下页返回结束如何用数学语言刻划函数“无限接近”.定义：上页下页返回结束设函数大于某一正数时有定义,若则称常数时的极限,记作A为函数几何解释:上页下页返回结束例7.证明证:取因此注:就有故欲使即上页下页返回结束补例证上页下页返回结束注:直线y=A仍是曲线y=f(x)的渐近线.两种特殊情况:当时,有当时,有几何意义:例如，都有水平渐近线都有水平渐近线又如，上页下页返回结束二、自变量趋向有限值时函数的极限上页下页返回结束1、定义：上页下页
3、返回结束设函数在点的某去心邻域内有定义,当时,有则称常数A为函数当时的极限,或若记作当时,有2、几何解释:注意：上页下页返回结束使得当定理2(P36函数极限的局部有界性)这表明:如果那么存在常数时，有上页下页返回结束例1证例2证上页下页返回结束例3.证明证:欲使取则当时,必有因此只要上页下页返回结束例4证函数在点x=1处没有定义.上页下页返回结束例5证上页下页返回结束3.单侧极限:例如,上页下页返回结束左极限右极限上页下页返回结束例6.设函数讨论时的极限是否存在.解:利用定理.因为显然所以不存在.上页下页返回结束左
4、右极限存在但不相等,补例证上页下页返回结束三、函数极限的性质2.有界性（前面已讲）1.唯一性上页下页返回结束使得当定理2(P36函数极限的局部有界性)如果那么存在常数时，有函数极限的保号性定理定理3.若且A>0,证:已知即当时,有当A>0时,取正数则在对应的邻域上(<0)则存在(A<0)(P37定理3)上页下页返回结束若取则在对应的邻域上若则存在使当时,有定理3’(P37定理3’)分析:上页下页返回结束推论.若在的某去心邻域内,且则证:用反证法.则由定理3,的某去心邻域,使在该邻域内与已知所以假设不真,(同样可证的
5、情形)思考:若推论中的条件改为是否必有不能!存在如假设A<0,条件矛盾,故上页下页返回结束4.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系)定义定理4上页下页返回结束证上页下页返回结束例如,函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等.上页下页返回结束补例证上页下页返回结束二者不相等,四、小结函数极限的统一定义(见下表)上页下页返回结束过程时刻从此时刻以后过程时刻从此时刻以后上页下页返回结束内容小结1.函数极限的或定义及应用2.函数极限的性质:思考与练习1.若极限存在,2.设函数且存在,
6、则是否一定有？上页下页返回结束上页下页返回结束3.试问函数在处的左、右极限是否存在？当时，的极限是否存在？左极限存在,右极限存在,不存在.
