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1、高等数学教程平面点集n维空间回忆一元函数平面点集n维空间第九章多元函数微分学及其应用9.1多元函数的极限与连续9.1.1n维空间一元函数的定义域可用数轴上的点来表示.这里r,h是两个独立取值的变量,例如,圆柱体的体积而二元函数的定义域需用平面上的点来表示.当r,h取定一对值时,就有确定的V与之对应.实数组(x,y)的全体,即建立了坐标系的平面称为坐标面.坐标面平面点集二元有序n元有序数组n维空间中的每一个元素称为n维空间中两点间的距离定义为记作设n为正整数,的全体称为n维空间,空间中的一个点.邻域:设P0(x0,y0)是xOy平面上的一个点,几何表示：
2、Oxy.P0令有时简记为称为将邻域去掉中心,称为去心邻域.记为我们先讨论平面上的点集.内点:显然,E的内点属于E.边界点:如点P的任一邻域内则称P为E的边界点.设E为一平面点集,若存在则称P为E的内点.E的边界点的全体称为E的边界.既有属于E的点,也有不属于E的点,例如,设点集则P为E的内点;则P为E的边界点.E的边界为集合聚点:如果点P的任何空心邻域都有E中的点,P是E的聚点.则称如果P是E的聚点,P可属于E,也可不属于E.开集:若E的任意一点都是内点,则称E为开集.开集连同其边界,称为闭集.例如,为开集,为闭集,既不是开集也不是闭集.设D是开集,连
3、通的开集称区域或开区域.如果D内任何两点,都可用折线连且该折线上的点都属于D,则称D是连通的.如都是区域.结起来,开区域连同它的边界一起,称为闭区域.有界区域:否则,称为无界区域.都是闭区域.如总可以被包围在一个以原点为中心、半径适当大的圆内的区域,为D的直径.有界闭区域的直径：设D是有界闭区域,称称为有界区域.有关邻域、区域等概念可推广到n维空间.OxyOxyOxyOxy有界开区域有界半开半闭区域有界闭区域无界闭区域都有唯一确定的z与之点集D称为该函数称为该函数的值域.则称z是x,y的二元函数.若对于D中设D是xOy平面上的点集,任意取定一个点P(x
4、,y),对应,记为称x,y为自变量,的定义域,数集z为因变量,多元函数的概念二元及二元以上的函数统称为多元函数.多元函数定义域定义域为符合实际意义的自变量取值的全体.类似地,可定义n元函数实际问题中的函数:自变量取值的全体.纯数学问题的函数:定义域为使运算有意义的例求的定义域．解所求定义域为求下面函数的定义域解Oxy无界闭区域即定义域为练习解Oxy定义域是有界半开半闭区域二元函数的图形这个点集称为二元函数的图形.当x、y取遍D上一切点时,得一个空间点集,对应的函数值为取定的这样,以x为横坐标、y为纵坐标、z为竖坐标设函数的定义域为D,对于任意在空间就确
5、定一点二元函数的图形通常是一张曲面例如,图形如右图.例如,图形是球面.单值分支:定义域先讨论二元函数怎样描述呢?Oxy(1)P(x,y)趋向于P0(x0,y0)的方向有任意多个,路径又是多种多样的.Oxy9.1.2多元函数的极限注:回忆:一元函数的极限(2)动点P(x,y)与定点P0(x0,y0)之间的距离记为总可以用来表示极限过程:不论的过程多复杂,记作定义9.1设二元函数在D有定义,有成立.时的极限.P0(x0,y0)是D的聚点.A为常数,也记作如果说明:(1)二元函数的极限也称二重极限;(2)二元函数的极限运算法则与一元函数类似;称为二次极限;(
6、3)与(4)欲证明极限存在,常用定义或夹逼定理;(5)类似地,可以给出n元函数极限的定义.例求极限解其中由夹逼定理例设函数讨论极限是否存在.解取其值随k的不同而变化,故极限不存在.确定极限不存在的方法则可断言极限不存在;若极限值与k有关,(1)(2)此时也可断言找两种不同趋近方式,但两者不相等,处极限不存在.存在,沿直线定义9.2设n元函数f(P)的定义域为点集D,如果则称n元函数f(P)在点P0处连续.则称P0是函数f(P)P0∈D.如果f(P)在点P0处不连续,的间断点.如果函数f(P)在开区域(闭区域)D内的每一一点连续,则称函数f(P)在D内连
7、续,f(P)是D内的连续函数.9.1.3多元函数的连续性或称函数例讨论函数在点(0,0)处的连续性．解由前例知,故函数在(0,0)处不连续.极限不存在,在单位圆处处是间断点.又：函数多元初等函数:由常数及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数称为多元初等函数.结论:多元初等函数在其定义区域内是连续的.定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域.性质1有界闭区域上的连续函数是有界的；性质2最大值和最小值定理在有界闭区域D上的多元连续函数,在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．性质3介值定理有界闭区域D上的连续函数在
8、D上必取得其介于最大值和最小值之间的一切值.例求解函数定义域为故且例求解求极限解将分母有理化,
