河南省商丘市名校2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学Word版.docx

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2023—2024学年高二上期期中联考数学试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．圆C：的半径为（）A．4B．2C．D．12．已知直线：，：，则，之间的距离为（）A．B．C．D．3．如果直线与直线垂直，那么m的值为（）A．-2B．C．D．24．如图所示，在平行六面体中，，，，M是的中点，N是线段上的点，且，用，，表示向量的结果是（）A．B．C．D．5．圆与圆的位置关系是（）A．相交B．相切C．内含D．以上均有可能6．若圆O：过双曲线的实轴端点，且圆O与直线l：相切，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2学科网（北京）股份有限公司 7．方程有两相异实根，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．8．金刚石是天然存在的最硬的物质，如图1所示是组成金刚石的碳原子在空间排列的结构示意图，组成金刚石的每个碳原子，都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接．从立体几何的角度来看，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的四个顶点处，而中间的那个碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置，如图2所示．这就是说，图2中有，若正四面体ABCD的棱长为2，则下列结论不正确的是（）A．B．C．D．二、选择题（本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．下列说法正确的有（）A．直线的斜率越大，倾斜角越大B．若直线经过第一、二、四象限，则在第二象限C．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为D．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为或10．已知在直角坐标系中，等边的顶点A与原点重合，且AB的斜率为，则BC的斜率可能为（）A．B．C．D．11．在正三棱柱中，点P满足，其中，则（）学科网（北京）股份有限公司 A．B．平面C．D．棱12．已知直线l：交椭圆C：于不同两点A，B，且椭圆C经过点，，则下列结论正确的是（）A．椭圆C离心率为B．椭圆C的焦距是C．的面积是（O是坐标原点）D．椭圆上任意一点到直线l的距离最大值为三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13．向量，的夹角为______．14．若方程表示的曲线为椭圆，则实数t的取值范围是______．15．在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，底面ABCD，且，E为PC的中点，设直线PC与平面BDE所成的角为，则______．16．定义：圆锥曲线C：的两条相互垂直的切线的交点Q的轨迹是以坐标原点为圆心，为半径的圆，这个圆称为蒙日圆．已知椭圆C的方程为，P是直线l：上的一点，过点P作椭圆C的两条切线与椭圆相切于M，N两点，连接OP（O是坐标原点），当为直角时，的值是______．四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（本题满分10分）（1）已知直线l过点，在x轴和y轴上的截距互为相反数，求直线l的方程；（2）已知中，，，，BC边中线所在直线为x轴，求AC边所在直线的方程．18．（本题满分12分）学科网（北京）股份有限公司 已知，，动点C满足，直线l：．（1）求动点C的轨迹方程，并说明该轨迹为何种曲线；（2）若直线l与动点C的轨迹交于P，Q两点，且，求实数m的值．19．（本题满分12分）如图，在四棱锥中，面ABCD，，且，，，M为BC的中点．（1）求证：平面平面PAM；（2）若二面角的大小为30°，求直线PC与平面PDM所成角的正弦值．20．（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的双曲线C过点，且有一条倾斜角为120°的渐近线，直线l：与C相交于A，B两点．（1）求C的标准方程；（2）若直线l与该双曲线的已知渐近线垂直，求AB的长度．21．（本题满分12分）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍薨者，下有袤有广，而上有袤无广，刍，草也，薨，屋盖也”．如图1，E，F，G分别是边长为4的正方形的三边AB，CD，AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB，CG就得到了一个“刍甍”（如图2）．（1）若O是四边形EBCF对角线的交点，求证：平面GCF；（2）若二面角的大小为，求平面OAB与平面ABE夹角的余弦值．22．（本题满分12分）学科网（北京）股份有限公司 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过点的直线l经过原点，交C于不同两点A，B，且，．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线与y轴正半轴交于点G，与曲线C交于点E，点E在x轴的投影为点，过点G的另一直线与曲线C交于P，Q两点，若，求PQ所在直线的方程．2023—2024学年上期期中联考高二数学参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号12345678答案BBCADBAD1．【答案】B【解析】可化为，所以圆半径为，故选B．2．【答案】B【解析】由距离公式．故选B．3．【答案】C【解析】由题知：，解得．故选C．4．【答案】A【解析】由题意可得，∵，，∴．故选A．5．【答案】D【解析】两个圆的圆心分别为，，且圆心在圆方程上，由于圆的半径不确定，所以均有可能．故选D．6．【答案】B学科网（北京）股份有限公司 【解析】圆O：的圆心，半径为，因为圆O：过双曲线的实轴端点，所以，又圆O与直线l：相切，所以，则，所以双曲线的离心率为．故选B．7．【答案】A【解析】作直线与曲线的图象如图，直线m的斜率，直线n的斜率，结合图象可以知道，k的取值范围是．故选A．8．【答案】D【解析】如图所示，O是顶点A在下底面的射影，AM是斜高，AO是四面体的高，OB是下底面的外接圆半径，OM是下底面内切圆的半径，则：，，，，对于A：因为底面BCD，底面BCD，所以，所以，故A正确；对于B：因为，所以，所以，故B正确；对于C：由于，所以，故C正确；对于D：学科网（北京）股份有限公司 ，故D错误．故选D．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）题号9101112答案BDADABBCD9．【答案】BD【解析】对于A，在内，直线的斜率越大，倾斜角就越大；在时，直线的斜率越大，倾斜角也越大；在时，直线的斜率越大，不满足倾斜角也越大，所以选项A错误；对于B，若直线经过第一、二、四象限，则，，所以点在第二象限，选项B正确；对于C，当直线过原点时，由两点式易得，直线方程为，故C错误；对于D，直线可化为，所以直线恒过定点，，，直线与线段相交，所以或，故D正确．故选BD．10．【答案】AD【解析】设AB的倾斜角，BC的倾斜角，如图所示：或则或，，当时，，当时，，故选AD．11．【答案】AB【解析】连接OA，则，又，OP，平面AOP，所以平面AOP，又平面AOP，所以，故A正确．由，得，，学科网（北京）股份有限公司 共面，又三个向量共起点，所以B，P，C，共面，所以平面，故B正确；则，得，得，设BC的中点为O，则，所以，因为，所以，即P在BC的中垂线上，故棱，故D错误；则，又，所以BP，不平行，故C错误；故选AB．12．【答案】BCD【解析】将两点，坐标代入椭圆方程中，得，解得：，，可得，于是，焦距为．从而知A错误，B正确．记，，可设AB的方程为，由，消去x得，解得，，直线l与x轴交于点，则，故C正确．设与l：平行的直线为：，当与椭圆相切时，两平行线间距离即为所求，经分析计算可知D正确．故选BCD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（或45°）【解析】，所以角大小为45°．14．【解析】当曲线表示椭圆时，需，解得或．学科网（北京）股份有限公司 15．【解析】因为底面ABCD，AB，平面ABCD，所以，，因为四边形ABCD为正方形，所以，所以以A为原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，因为E为PC的中点，所以，所以，，，设平面BDE的法向量为，则，令，则，所以P到平面BDE的距离为，又在中易得，所以．16．或0【解析】根据蒙日圆定义，圆O方程为，因为直线l与圆O交于A、B两点，联立，学科网（北京）股份有限公司 可得或，即点、，当点P与点A或B重合时，为直角，此时，，所以直线OP的斜率为或0．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【解析】（1）若直线l经过原点，则其斜率为，故其方程为，即；若直线l不经过原点，设其方程为，又其过点，则，解得，故直线l方程为，整理可得；综上所述，满足题意的直线方程为或．（2）因为，，设BC交x轴于点M，则根据条件可知为等边三角形，则，M为BC中点，则．，故AC直线方程为，即，故AC直线方程为．18．【解析】（1）设，因为动点C满足，所以，整理可得，即，即动点C的轨迹方程为．动点C的轨迹是以为圆心，为半径的圆．（2）设圆心到直线l的距离为d，则，因为，则，学科网（北京）股份有限公司 因为，所以，即，解得．19．【解析】（1）证明：在直角梯形ABCD中，由已知可得，，，，可得，，过A在平面ABCD内作，垂足为E，则，，求得则，∴．∵面ABCD，∴，又，∴平面PAM，∵平面PDM，∴平面平面PAM；（2）由（1）知，，，则为二面角的平面角，即，，则．以A为坐标原点，分别以AE，AB，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，．设平面PDM的法向量为，由，取，得，为平面PDM的一个法向量．∴直线PC与平面PDM所成角的正弦值为．20．【解析】（1）设双曲线C的标准方程为，则其渐近线方程为，学科网（北京）股份有限公司 由题意可得，，且，解得，，则双曲线C的标准方程为；（2）由（1）可知：该双曲线的渐近线方程为，所以直线l的斜率为，又因为直线斜率的绝对值小于渐近线斜率的绝对值，所以直线与双曲线交于左右两支，因此不妨设直线l的斜率为，方程为与双曲线方程联立为：，设，，则有，，．21．【解析】（1）取线段CF中点H，连接OH、GH，由图1可知，四边形EBCF是矩形，且，∴O是线段BF与CE的中点，∴且，在图1中且，且．所以在图2中，且，学科网（北京）股份有限公司 ∴且，∴四边形AOHG是平行四边形，则，由于平面GCF，平面GCF，∴平面GCF．（2）由图1，，，折起后在图2中仍有，，∴即为二面角的平面角．∴，以E为坐标原点，，分别为x轴和y轴正向建立空间直角坐标系如图，设，则、、，∴，，易知平面ABE的一个法向量，设平面OAB的法向量为，由，得，取，则，，于是平面OAB的一个法向量为，∴，∴平面ABE与平面OAB夹角的余弦值为．22．【解析】（1）由题意，过点的直线l经过原点，所以l的方程为，且点A，B关于原点对称．设，将代入，化简得，即，∴．∵，∴．学科网（北京）股份有限公司 根据对称性，，根据椭圆定义得，∴．∴．所以C的方程为．（2）点E在x轴的投影为点，所以，设，则，∴，即，∵，∴，∴，∴，即，设，，则，，∴．①当直线PQ的斜率不存在时，PQ的方程为，此时∴，不符合条件．②当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为，联立得．得，∴，即，解得综上，PQ所在直线的方程为或．学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司