河北省邢台市邢台部分高中2024届高三上学期11月期中数学（解析版）.docx

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数学试卷本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则下图中阴影部分所表示的集合为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】阴影部分表示的集合为，根据补集、交集定义进行即可.【详解】阴影部分表示的集合为，又，所以.故选：D.2.已知，则（）A.10B.2C.D.4【答案】C【解析】【分析】利用复数的除法运算求出再求模长可得答案.【详解】，则.故选：C.第20页/共20页学科网（北京）股份有限公司 3.已知，，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用函数的单调性，对比出、、三者与特殊值0、1的大小关系，运用中间值法解决问题.【详解】解：因为函数为单调递增函数，所以，即；因为为单调递增函数，所以，即；因为单调递减，所以，即，故，故选：A.4.已知向量，，，则实数k的值为（）A.B.C.D.1【答案】B【解析】【分析】根据平面向量数量积的坐标表示计算即可.【详解】由题意可得：，所以.故选：B5.已知函数是幂函数，且在上单调递减，若，且，则的值（）A.恒大于0B.恒小于0第20页/共20页学科网（北京）股份有限公司 C.等于0D.无法判断【答案】B【解析】【分析】由幂函数的定义与性质求得函数解析式，确定其是奇函数，然后利用单调性与奇偶性可判断.【详解】由得或，时，在上是增函数，不合题意，时，，在上是减函数，满足题意，所以，，则，，是奇函数，因此，所以，即，故选：B.6.若命题“对任意的，恒成立”为假命题，则m的取值范围为（    ）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据原命题为真可得，即可得出命题为假命题时m的取值范围．【详解】当原命题为真时，恒成立，即由命题为假命题，则．故选：A.7.函数的大致图像是（）A.B.第20页/共20页学科网（北京）股份有限公司 C.D.【答案】A【解析】【分析】首先由函数的奇偶性判断出B,D错误，再结合当时得出答案．【详解】设，，由，得为奇函数，故B,D错误；由，故A正确，C错误，故选：A．8.将函数的图像向左平移个单位长度后，得到的图像关于轴对称，且函数在上单调递增，则的取值是（    ）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】首先得到平移后的解析式，根据对称性得到，，从而求出的取值集合，再由的取值范围求出，结合正弦函数的单调性，求出的范围，即可得解.【详解】的图像向左平移个单位长度后，得到，因为关于轴对称，所以，，解得，，因为，故当时，，因为函数在上单调递增，所以，解得，故，解得，因为，所以，故.故选：B第20页/共20页学科网（北京）股份有限公司 二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.设等差数列的前项和为，且，则下列结论正确的是（）A.B.是等差数列C.D.对任意，都有【答案】ABD【解析】【分析】设等差数列的公差为，根据可判断选项B；利用，可判断选项C；根据，可判断选项C，根据，可判断选项D．【详解】设等差数列的公差为，则，得，，所以是以为首项，为公差的等差数列，选项B正确；，即，选项C错误；,由于，所以，A正确，因为，，所以当时，取得最大值，故对任意，恒有，选项D正确．故选：ABD10.设是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则（）A.在上单调递增B.C.不等式解集为D.的图象与轴只有3个交点【答案】BCD【解析】【分析】根据给定条件，利用奇函数的性质逐项分析判断作答.第20页/共20页学科网（北京）股份有限公司 【详解】函数是定义在上的奇函数，且在上单调递减，函数在上单调递减，A错误；由，得，则，B正确；当时，，则，当时，，则，因此不等式的解集为，C正确；当时，函数的图象交x轴于点，当时，函数的图象交x轴于点，而，则点是函数的图象与x轴的公共点，所以的图象与轴只有3个交点，D正确.故选：BCD11.已知函数,若关于的方程有四个不等实根、、、，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.的最小值为【答案】AD【解析】【分析】作出图象，计算出、的值，结合图象可判断A选项；解不等式，可判断B选项；由对数的运算性质可得出，求出的取值范围，结合双勾函数的单调性可判断C选项；利用韦达定理结合基本不等式可判断D选项.【详解】作出函数的图象如下图所示：第20页/共20页学科网（北京）股份有限公司 根据图象知：，，因为直线与函数的图象有四个交点，则，A对；对于B选项，由图可知，，由可得，所以，，B错；对于C选项，由图可知，，则，由得，即，所以，，化简得到.由，可得，所以，，由双勾函数的单调性可知在上单调递减，所以，，且，当时取等号，所以，，C错；由可得，所以，、为方程的两根，由根与系数的关系可得，第20页/共20页学科网（北京）股份有限公司 所以，，当且仅当时，即当时等号成立，D对.故选：AD.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.12.如图，在中，，延长到点，使得，以为斜边向外作等腰直角三角形，则（）A.B.C.面积的最大值为D.四边形面积的最大值为【答案】ACD【解析】【分析】A选项：利用余弦定理列等式即可；B选项：由题意得的范围，即可得到的范围；C选项：根据几何的知识得到当时，最大，利用三角形面积公式求面积即可；第20页/共20页学科网（北京）股份有限公司 D选项：将四边形的面积转化成，得到面积，再利用辅助角公式和三角函数的性质求最值即可.【详解】在中，由余弦定理得，A正确；，则，所以，B错误；易得当时，取最大值，C正确；，其中，D正确．故选：ACD.第II卷（非选择题共90分）三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知函数是上的单调递增函数，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】由分段函数两端均为增函数及端点处函数值左小右大可得．【详解】函数是R上的增函数，则在上单调递增，故，在上单调递增，则，且在处，有，所以a的取值范围是.故答案为：.第20页/共20页学科网（北京）股份有限公司 14.已知函数，若，，且，则的最小值为______．【答案】【解析】【分析】由函数奇偶性的定义可得为奇函数，结合单调性可得，然后结合基本不等式即可得到结果.【详解】因为的定义域为，关于对称，且单调递减，且，即函数为奇函数，又因为，所以，即，所以，则，当且仅当时，即，取等号.所以的最小值为.故答案为：15.已知，且，则的最小值是______【答案】36【解析】【分析】应用柯西不等式可得，注意等号成立条件，即可得目标式的最小值.【详解】由，第20页/共20页学科网（北京）股份有限公司 所以，当且仅当，即时取等号．故答案为：3616.已知函数，的定义域均为，为奇函数，为偶函数，，，则________.【答案】2023【解析】【分析】根据题意分析可得，进而可得函数是以4为周期的周期函数，且，进而可得结果.【详解】因为为偶函数，则，又因为，则，，即，可得，因为为奇函数，则，且，可得，即，则，可得，所以函数是以4为周期的周期函数，由，可得，，则，即，所以.故答案为：2023.【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．四､解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）第20页/共20页学科网（北京）股份有限公司 17.已知数列的前n项和为，且.（1）求；（2）若，求数列的前n项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分为，两种情况，结合等差数列前项和公式求解；（2）利用裂项相消法可求.【小问1详解】当时，.当时，，也适合上式.故.【小问2详解】由（1）可得，则.18.已知，且图象过点，又.（1）若成立，求的取值范围；（2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】第20页/共20页学科网（北京）股份有限公司 【分析】（1）由对数函数的性质可得，解不等式即可得出答案.（2）由题意可得对于任意恒成立等价于，利用换元法求出即可得出答案.【小问1详解】因为的图象过点，所以，所以，因为，所以，所以，又因为，而在上单调递减，由可得：所以解得，所以的取值范围为.【小问2详解】因为，所以对于任意恒成立等价于，因为.令，则，所以，第20页/共20页学科网（北京）股份有限公司 当，即，即时，，所以.19.已知向量，，函数（其中），函数的图象的一条对称轴是直线．（1）求的值；（2）若且，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意可得的解析式，由对称轴列式求解即可；（2）由（1）可得，，进而可得，由两角和的正弦公式可得答案．【小问1详解】由题意得，∵函数的图象的一条对称轴是直线，∴，得，∵，∴．【小问2详解】由（1）可得，由得，即，结合，，得，第20页/共20页学科网（北京）股份有限公司 ∴．20.在锐角三角形中，内角对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）若，求面积的取值范围.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）对等式两边同时乘以可得，正弦定理结合两角和的正弦公式化简即可得出答案；（2）由正弦定理求出，表示出面积结合三角函数的性质即可得出答案.【小问1详解】由已知条件得，由正弦定理得.，即.因为在中，，所以.又是锐角，所以.【小问2详解】第20页/共20页学科网（北京）股份有限公司 由正弦定理得，则，所以.由，得，所以，所以，所以.所以面积的取值范围为.21.为了改善湖泊的水质，某市环保部门于2021年年终在该湖泊中投入一些浮萍，这些浮萍在水中的繁殖速度越来越快，2022年2月底测得浮萍覆盖面积为，2022年3月底测得浮萍覆盖面积为，浮萍覆盖面积（单位：）与2022年的月份（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择．（1）分别求出两个函数模型的解析式；（2）若2021年年终测得浮萍覆盖面积为，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，试估算至少到哪一年的几月底浮萍覆盖面积能超过？（参考数据：）【答案】（1），（2）2023年2月【解析】【分析】（1）将分别代入两个函数表达式中即可求解，（2）根据确定选用的函数，即可利用对数的运算求解.【小问1详解】若选择模型，第20页/共20页学科网（北京）股份有限公司 则，解得，，故函数模型为，若选择模型，则，解得，，故函数模型为．【小问2详解】把代入可得，，把代入可得，，∵，∴选择函数模型更合适，令，可得，两边取对数可得，，∴，故浮萍至少要到2023年2月底覆盖面积能超过8100m2．22.已知是等差数列，．（1）求的通项公式和．（2）已知为等比数列，对于任意，若，则，（Ⅰ）当时，求证：；（Ⅱ）求的通项公式及其前项和．【答案】（1），；（2）(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)，前项和为.【解析】【分析】(1)由题意得到关于首项、公差的方程，解方程可得第20页/共20页学科网（北京）股份有限公司 ，据此可求得数列的通项公式，然后确定所给的求和公式里面的首项和项数，结合等差数列前项和公式计算可得.(2)(Ⅰ)利用题中结论分别考查不等式两侧的情况，当时，，取，当时，，取，即可证得题中的不等式；(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论，利用极限思想确定数列的公比，进而可得数列的通项公式，最后由等比数列前项和公式即可计算其前项和.【小问1详解】由题意可得，解得，则数列通项公式为，求和得.【小问2详解】(Ⅰ)由题意可知，当时，，取，则，即，当时，，取，此时，据此可得，综上可得：.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：，则数列的公比满足，当时，，所以，第20页/共20页学科网（北京）股份有限公司 所以，即，当时，，所以，所以数列的通项公式为，其前项和为：.【点睛】本题的核心在考查数列中基本量的计算和数列中的递推关系式，求解数列通项公式和前项和的核心是确定数列的基本量，第二问涉及到递推关系式的灵活应用，先猜后证是数学中常用的方法之一，它对学生探索新知识很有裨益.第20页/共20页学科网（北京）股份有限公司 第20页/共20页学科网（北京）股份有限公司