甘肃省酒泉市四校2023-2024学年高一上学期期中联考数学 Word版含解析.docx

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2023～2024学年度高一第一学期期中考试数学试卷考生注意：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．2．答题前．考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4．本卷命题范围：必修一第一章、第二章、第三章、第四章第1节．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用交集的定义运算即可.【详解】由题意可知.故选：D2.命题：，的否定是（）A.，B.，C.，D.，【答案】B【解析】【分析】由特称命题的否定判断．【详解】由题意得，的否定是，，故选：B3.函数的定义域为（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用具体函数定义域的求法求解即可.【详解】由题意可得：，解得.故选：D.4.已知、，且，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由不等式的基本性质可判断A选项；取，，可判断BCD选项.【详解】对于A选项，因为，由不等式的基本性质可得，A对；对于B选项，取，，则，B错；对于C选项，取，，则，C错；对于D选项，取，，则，D错.故选：A.5.（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用指数幂的运算法则即可得解.【详解】.故选：A.6.某班共有38人，其中21人喜爱跑步运动，15人喜爱篮球运动，10人对两项运动都不喜爱，则对两项运动都喜爱的人数为（） A.5B.6C.8D.9【答案】C【解析】【分析】设对两项运动都喜爱的人数为，根据已知作出venn图，根据venn图列出关系式，求解即可得出答案.【详解】设对两项运动都喜爱的人数为根据已知作出venn图，根据venn图可得，，解得.故选：C.7.若函数在R上为减函数，则实数a取值范围为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据分段函数的单调性列式求解.【详解】由题意可得，解得，所以实数a的取值范围为.故选：A.8.设，定义运算“”和“”如下：，．若正数m，n，p，q满足，则（） A.B.CD.【答案】D【解析】【分析】由运算“Δ”和“∇”定义，举例可判断选项A、B、C错误；由不等式的性质可证明选项D正确．【详解】由运算“”和“”定义知，表示数较小的数，表示数较大的数，当时，，故选项A、C错误；当时，，故选项B错误；∵，且，∴，∵，，∴，故选项D正确；故选：D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知集合，，若，则的取值可以是（）A.1B.2C.3D.4【答案】AC【解析】【分析】根据并集的概念及运算即可得到结果.【详解】∵集合，，∴，或.故选：AC.10.下列各组函数表示同一个函数的是（）A.，B.，C.，D.， 【答案】BD【解析】【分析】先求出各项两个函数的定义域，若定义域相同，则判断对应关系、解析式是否一致，即可得出答案.【详解】对于A项，函数的定义域为R，的定义域为，两个函数定义域不相同，故A项错误；对于B项，函数的定义域为R，的定义域为R，两个函数定义域相同，且，所以两个函数相同，故B项正确；对于C项，函数的定义域为R，的定义域为R，两个函数定义域相同，但是解析式不相同，故C项错误；对于D项，函数的定义域为R，的定义域为R，两个函数定义域相同，且对应关系也一致，故D项正确.故选：BD.11.二次函数的部分图象如图所示，则下面结论中正确的是（）A.B.C.D.当时，【答案】ABC【解析】【分析】利用二次函数的图像和性质逐个选项判断即可.【详解】根据图像可得，，，A正确； 由对称性和时，，所以时，，即，，当时，，BC正确，D错误.故选：ABC12.若函数满足，，且，，则（）A.在上单调递减B.C.D.若，则或【答案】ABD【解析】【分析】先由题设条件得到在上单调递增，且关于对称，从而得以判断A；利用赋值法可判断B；利用函数的对称性与单调性，计算得自变量与对称轴的距离的大小关系，从而判断CD.【详解】因为，所以在上单调递增，且关于对称，则在上单调递减，故A正确；因为，令，得，故B正确；因为，所以，故C错误；若，则，解得或，故D正确.故选：ABD.第Ⅱ卷非选择题（10小题，共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知函数，则______． 【答案】【解析】【分析】根据已知求出的值，代入即可得出答案.【详解】由已知可得，，，所以，.故答案为：.14.若命题“，”为真命题，则的取值范围为________.【答案】【解析】【分析】根据题意，将问题转化为能成立问题，求其最大值，即可得到结果.【详解】命题“，”为真命题，即，，设，，当时，取得最大值为，所以，即的取值范围为.故答案为：15.已知正实数，满足，则的最小值为________________.【答案】【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可得解．【详解】因为，则，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 故答案为：.16.表示不超过x的最大整数，如，，，已知且满足，则______．【答案】3【解析】【分析】根据已知可推得，进而求得范围，代入，求出整数部分，即可得出答案.【详解】因为，且每一项都是整数，又，所以，，所以有，所以，所以，，所以，.故答案为：3.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知全集，，，求：（1）；（2）. 【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用集合的交集运算求解；（2）利用集合的补集和并集运算求解.【小问1详解】解：因为，，所以.【小问2详解】因为或，所以或.18.设：实数满足，其中，：实数满足.（1）若，且，均成立，求实数的取值范围；（2）若成立的一个充分不必要条件是，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）代入，再根据二次不等式求解即可；（2）根据充分不必要条件的性质，结合区间端点的位置关系求解即可.【小问1详解】当时，由，解得，而由，得，由于，均成立，故，即的取值范围是.【小问2详解】由得，因为，所以，故：， 因为是的充分不必要条件，所以解得.故实数的取值范围是.19.已知幂函数在上是增函数，函数为偶函数，且当时，．（1）求函数的解析式；（2）求当时，函数的解析式．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用幂函数的定义与性质即可得解；（2）利用函数的奇偶性求解即可.【小问1详解】因为是幂函数，所以，解得或，又在上是增函数，则，即，所以，则.小问2详解】因为，所以当时，，当时，，则又因为是上的偶函数，所以，即当时，，20.已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）确定函数的解析式并判断在上的单调性（不必证明）；（2）解不等式．【答案】（1），在上单调递增（2）【解析】【分析】（1）求出，根据奇函数的定义，列出关系式，即可得出.然后根据，即可得出的值；根据函数单调性的定义，即可判断函数的单调性；（2）根据（1）的结论，列出不等式组，求解即可得出答案.【小问1详解】，都有，.因为函数是定义在上的奇函数，所以，，即，所以，.又，即，所以，所以，.，且，则.因为，且，所以，，，所以，所以，，，所以，在上单调递增. 【小问2详解】由（1）知，为上的奇函数，在上单调递增.则由，可得，所以有，解得.所以，不等式的解集为.21.如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知米，米.（1）设的长为米，试用表示矩形的面积；（2）当长度是多少时，矩形花坛的面积最小?并求出最小值.【答案】（1）（2）的长为2米时，矩形花坛的面积最小，最小值为24平方米.【解析】【分析】（1）设的长为米，则米，由得到AM，然后由求解；（2）由，利用基本不等式求解.【小问1详解】解：设的长为米，则米，∵，∴， ∴；【小问2详解】记矩形花坛的面积为，则，当且仅当，即时取等号，故的长为2米时，矩形花坛的面积最小，最小值为24平方米.22.若函数.（1）讨论的解集；（2）若时，总，对，使得恒成立，求实数b的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）或【解析】【分析】（1）分类讨论a的范围，根据二次方程根的分布情况，解不等式即可；（2）令，原题等价于，对使得恒成立，再根据恒成立与有解关系分别转化即可求出实数b的取值范围.【小问1详解】已知，①当时，时，即；②当时，，若，，解得，若，，解得或，若，，解得， 若时，，解得或，综上所述：当时，的解集为；当时，的解集为；当时，的解集为；当时，的解集为；当时，的解集为.【小问2详解】若，则，，令，原题等价于，对使得恒成立，令，是关于的减函数，对，恒成立，即，又，，即，故，解得或.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解综合问题，可按如下规则转化：①若在上恒成立，则；②若在上恒成立，则；③若在上有解，则；