重庆市第八中学校2024届高三上学期适应性月考（二）数学 Word版含解析.docx

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重庆市第八中学2024届高考适应性月考卷（二）数学试题注意事项：1.答题前､考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分150分，考试用时120分钟.一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（）AB.C.D.【答案】C【解析】分析】解不等式得到，从而求出交集.【详解】，或，故.故选：C2.已知复数为虚数单位，则（）A.2B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先利用复数运算法则化简，然后利用复数模的公式计算即可.【详解】因为， 所以.故选：A.3.哈雷彗星是唯一能用裸眼直接看见的短周期彗星，其绕太阳公转周期为76年，曾于1606年回到近日点，奥伯斯彗星的绕太阳公转周期为70年，也曾于1606年回到近日点，则哈雷彗星与奥伯斯彗星下次同年回到近日点的年份为（）A.3916年B.4190年C.4266年D.4570年【答案】C【解析】【分析】哈雷彗星与奥伯斯彗星回到近日点的年份分别成等差数列，首项都是，根据间隔求出公共项即可得到结果.【详解】哈雷彗星回到近日点年份为，奥伯斯彗星回到近日点的年份为，则与公共项构成以1606为首项，70与76的最小公倍数为公差的等差数列，又70与76的最小公倍数为2660，则哈雷彗星与奥伯斯彗星同年回到近日点的年份为.令，则.故选：C.4.从12的正因数中，随机选取2个不同的数，则这两个数的和为素数的概率是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先得到12的正因数有，从而利用列举法，结合组合公式求出答案.【详解】12的正因数有，随机选取2个不同的数，共有种情况，其中这两个数的和为素数的情况有，共6种情况故这两个数的和为素数的概率是.故选：B5.设双曲线的左､右焦点分别为，点在的右支上，且，则 的面积为（）A.2B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由双曲线定义和余弦定理求出，利用三角形面积公式求出答案.【详解】由题意得，由双曲线定义可得，，，由余弦定理得，即，解得，又，解得，故.故选：C6.已知奇函数满足，当时，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先计算出，，结合函数奇偶性得到答案.【详解】因为， 所以，，故，因为为奇函数，所以.故选：B7.在等比数列中，若为一确定的常数，记数列的前项积为.则下列各数为常数的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据已知条件判断出为确定常数，再由此确定正确答案.【详解】设等比数列的公比为，依题意，为确定常数，即为确定常数.不符合题意；不符合题意；不符合题意；为确定常数，符合题意.故选：D8.已知是平面向量，是单位向量.若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先确定向量、的终点所表示的轨迹，一个为射线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.【详解】设，，， 则由与的夹角为得，，得，由得，即，因此，表示圆上的点到射线上的点的距离，故其最小值为圆心到射线的距离减去半径1，即.故选：B.二､多项选择题（本大题共4个小题､每小题5分，共20分，在每个给出的四个选项中，有多项是满足要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.将函数的图像向右平移个单位，再将各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，则（）A.为函数的一条对称轴B.为函数的一条对称轴C.为函数的一个对称中心D.为函数的一个对称中心【答案】BD【解析】 【分析】先求出，再代入相应的值，对四个选项进行判断.【详解】的图像向右平移个单位，得到，故，A选项，，故不是的一条对称轴，A错误；B选项，，故为函数的一条对称轴，B正确；C选项，，故为函数的一条对称轴，C错误；D选项，，故为函数的一个对称中心，D正确.故选：BD10.下列关于复数的叙述，正确的是（）A.若，则B.若，则C.D.【答案】ACD【解析】【分析】根据复数的减法、乘法、模等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，由于，所以，则，A选项正确.B选项，设，则，但，所以B选项错误. C选项，设，，，，所以，所以C选项错误.D选项，设，，，，当且仅当时等号成立，即，D选项正确.故选：ACD11.已知，且，函数，则（）A.曲线与曲线关于轴对称B.曲线与曲线关于轴对称C.当时，函数在上单调递增D.当时，函数在上单调递减【答案】ABD【解析】【分析】根据得到A正确；由得到B正确；CD选项，变形得到 ，令，则，由复合函数单调性判断出答案.【详解】A选项，定义域为R，，所以曲线与曲线关于轴对称，A正确；B选项，因为的定义域为R，，故曲线与曲线关于轴对称，B正确；CD选项，，令，则，当时，在上单调递减，且，又在上单调递增，故当时，函数在上单调递减，C错误；当时，在上单调递增，且，又在上单调递减，故当时，函数在上单调递减，D正确；故选：ABD12.甲､乙､丙､丁四人玩报数游戏：第一轮，甲报数字1，乙报数字2，3，丙报数字4，5，6，丁报数字7，8，9，10；第二轮，甲报数字11，12，13，14，15，依次循环，直到报出数字10000，游戏结束，则（）A.甲在第10轮报了33个数字B.数字2023是丁报的 C.甲共报了37轮D.甲在前四轮所报数字之和为1540【答案】BD【解析】【分析】利用等差数列的性质和求和公式，依次判断每个选项得到答案.【详解】甲乙丙丁第轮的报数个数分别为，前轮共报数个数为，对选项A：甲在第10轮报了个数字，错误；对选项B：当时，；当时，；故在第轮报数中，，故数字2023是丁报的，正确；对选项C：当时，；当时，；故甲报了轮，错误；对选项D：甲在前四轮所报数字之和为：，正确；故选：BD.【点睛】思路点睛：从数列到数阵，尽管数的排列形式发生了变化，但问题的实质仍然是数列问题，只要我们抓住每行首项，找准每行变化规律，从数阵中构造新数列，那么解决问题的思想和方法仍然不变，可谓“形散神不散”.三､填空题（本大题共4小题，每小题5分､共20分）13.已知平面向量，若与平行，则__________.【答案】【解析】【分析】计算出，根据向量平行得到方程，求出.【详解】，由题意得，解得.故答案为：14.在一次男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛（比赛采用3局2胜制），假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，现采用随机模拟方法估计甲获得冠军的概率，先由计算机产生1~5 之间的随机数，指定1，2，3表示一局比赛中甲胜，4，5表示一局比赛中乙胜､经随机模拟产生了如下20组随机数：334221433551454452315142331423212541121451231414312552324115据此估计甲获得冠军的概率为__________.【答案】【解析】【分析】由13组数据表示甲获得冠军，从而估计出概率.【详解】20组数据中，共13组数据表示甲获得冠军，故估计甲获得冠军的概率为.故答案为：15.若，则__________.【答案】##0.8【解析】【分析】先根据同角三角函数关系及诱导公式求出，从而利用余弦二倍角公式求出答案.【详解】由得，，故，又，故，化简得，解得，故.故答案为：16.已知函数的定义域是，记的最大值为，当，变化时，的最小值为__________． 【答案】【解析】【分析】由题意可得，，，再根据绝对值不等式的性质，进而即可求得的最小值．【详解】由函数的定义域是，且的最大值为，则，，，所以所以，即，故的最小值为．故答案为：．四､解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.如图，在斜三棱柱中，平面平面且，点到平面.的距离为. （1）求证：；（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质判定线线垂直；（2）构建空间直角坐标系，先求出两个平面的法向量，再求平面与平面所成角的余弦值.【小问1详解】证明：由平面平面，且为平面与平面的交线，故有平面，而平面，故，又因为，所以.【小问2详解】由（1）的证明可知，平面，故点到平面的距离为，则，又因为，故，即，所以，且为平面与平面的交线，有平面，而，所以可以以为原点，分别以的方向为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，因为平面，故平面的法向量可记为，因为，故，，，设平面的法向量为，则，令，则，所以，设平面与平面的夹角为，则有，故.18.记的内角的对边分别为，且.（1）证明：为等腰直角三角形；（2）已知，直线与相交于点，求的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理及正弦和角公式求出，，从而得到，，得到为等腰直角三角形；（2）由平面向量基本定理得到，求出，，利用向量夹角余弦公式求出答案.【小问1详解】 证明：因为，且，所以，即①，由正弦定理及，得②，由①②得，因为，所以，因为，所以，因为，所以，所以，所以，即为等腰直角三角形.【小问2详解】如图，不妨设，所以，因为，且为中线，则，所以，，，所以，， 所以.19.某校为了弘扬中国诗词文化，现要求全校学生参加诗词大赛，随机抽取了100名学生的测试成绩（单位：分），将数据分成5组：并整理得到如图的频率分布直方图.（1）估计该校学生的测试成绩的中位数及平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）若规定成绩不低于80分的记为“诗词达人”，已知被抽取的男生中的“诗词达人”人数占被抽取男生总数的一半，且本次调查得出“在犯错误的概率不超过5%的前提下认为是否为诗词达人与性别有关”的结论，则被调查的100名学生中男生至少有多少人？附：.0.1000.0500.0250.0102.7063.8415.0246.635【答案】19.，76.520.48人【解析】【分析】（1）根据频率之和为求得，根据中位数、平均数的求法求得中位数和平均数. （2）先填写列联表，然后利用列不等式，从而求得正确答案【小问1详解】由频率分布直方图得：，解得，又设中位数和平均数分别为，又因为前三个矩形的面积和为，前两个矩形的面积和为，故易知，所以，解得：；又.【小问2详解】由题意知，诗词达人总数为，设样本中男生人数为，则列联表如下：诗词达人非诗词达人合计男生女生合计4060100，解得：，又易知为偶数，所以的最小值为48，即被调查的100名学生中男生至少有48人.20.已知正项数列的前项和为，且对一切正整数都成立，记.（1）求数列的通项公式； （2）已知，为正整数.记数列的前项和为，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用以及配凑法求得.（2）先求得，然后利用分组求和法求得.【小问1详解】由，令得，从而.时，有，则两式相减得.整理得，从而，又，所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，所以.【小问2详解】由题意，，从而.21.已知抛物线的顶点为，过点的直线交于两点.（1）判断是否为定值，并说明理由；（2）设直线分别与直线交于点，求的最小值.【答案】（1）为定值，理由见解析 （2）【解析】【分析】（1）考虑直线斜率为0和不为0，设出直线方程，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，求出；（2）求出点和点的横坐标，表达出，换元后求出最小值.【小问1详解】当过点的直线斜率为0时，与抛物线只有1个交点，不合要求，舍去，设直线的方程为，联立得，设，则，所以，所以为定值-4.【小问2详解】直线的方程为，直线的方程为，由，得点的横坐标， 同理：点的横坐标为，于是，令，则，所以，综上所述：当，即时，的最小值为.22.已知函数有两个不同的极值点.（1）求实数的取值范围；（2）已知，且，求的取值范围.【答案】（1）（2） 【解析】【分析】（1）求导，得到有两个不同的零点，再次求导，分与两种情况，得到函数单调性和极值点情况，得到不等式，求出，再利用零点存在性定理得到答案；（2）由，，变形得到，换元后得到恒成立，构造函数，二次求导，分和，结合函数单调性即特殊点的函数值，求出的取值范围.【小问1详解】由题知有两个不同的零点，设，当时，在上单调递减，至多有一个零点，与题意不符；当时，，令得：，且时，时，，则在上单调递减，在上单调递增；由题意，，即，解得：.且此时，当时，，当时，，因此，由零点存在定理知在和各有一个零点，符合题意.综上，.【小问2详解】由（1）可知：①，②，因此不等式等价于.又①-②得：，代入得， 即，设，不等式化为，又恒成立，设，，设.当时，单调递减，即单调递减，而，在上单调递增，而，在上恒成立，符合题意.当时，令得：，且当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增，而，当时，在上单调递减，而，与题意不符.综上所述，.