重庆市育才中学校2023-2024学年高一上学期拔尖强基联合定时检测（一）数学 Word版含解析.docx

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高2026届拔尖强基联合定时检测（一）数学试题（满分150分，考试时间120分钟）本试卷为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.注意事项：1.作答前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号填写在试卷的规定位置上.2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效.3.考试结束后，答题卡、试卷、草稿纸一并收回.第I部分（选择题，共60分）一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，集合，则集合（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据集合的补集和并集的运算即可求得.【详解】因为全集，集合，则，又因为，所以.故选：A2.在下列函数中，值域为(0，+∞)的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】逐个对每个函数的值域分析求解，即可得答案【详解】解：对于A，由于，所以此函数的值域为，不合题意；对于B，由于，所以，所以，所以此函数的值域为，符合题意； 对于C，的值域为，不合题意；对于D，由于，所以，所以此函数的值域为，不合题意，故选：B【点睛】此题考查求具体函数的值域，属于基础题3.德国数学家狄利克在1837年时提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，则是的函数，”这个定义较清楚地说明了函数的内涵.只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，有一个确定的和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象，表格或是其它形式.已知函数由下表给出，则的值为（）123A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】【分析】先计算出，进而求出的值.【详解】因为，所以，故.故选：D4.下列说法中，正确的是（）A.，B.“且”是“”的充要条件C.，D.“”是“”的必要不充分条件【答案】D【解析】【分析】AB选项可举出反例；C选项，解方程得到C错误；D选项，解方程得到或2，从而得到D 正确.【详解】A选项，当时，，A错误；B选项，且时，，充分性成立，但时，满足，不满足且，必要性不成立，B错误；C选项，，解得，C错误；D选项，，解得或2，所以不能推出，充分性不成立，但能得到，必要性成立，故“”是“”的必要不充分条件，D正确.故选：D5.若函数在R上是增函数，且，，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】使用函数单调性的定义，列不等式进行求解即可.【详解】∵函数在R上是增函数，且，∴由函数单调性的定义可知，，解得，∴实数的取值范围是．故选：C．6.已知集合，，则能使成立的实数a的范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】 【分析】先求出集合，再根据集合之间的交集运算关系，得到，列出不等式，求解即可.【详解】由，得，∵，∴．又，所以，解得．故选：B.【点睛】本题主要考查了由集合之间的包含关系，求参数范围的问题，属较易题.7.已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据在上的单调递减，可以列出相应的不等式方程组，计算求解即可.【详解】在上单调递减，，解得，故选：C8.已知，且，当取最小值时，的最大值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式得到时，取最小值，此时消元得到，配方得到最大值；【详解】因为，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立，所以，当时，取得最大值，最大值为.故选：D.二.多选题（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.）9.下列各组函数能表示同一个函数的是（）A.，B.与C.，D.与【答案】AD【解析】【分析】根据定义域和解析式是否都相同来判断是否同一函数.【详解】A.，定义域和解析式都相同，是同一函数；B.的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数；C.的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数；D.，的定义域均为，解析式都相同，是同一函数.故选：AD.10.下列说法正确的有（）A.的最小值为2B.已知，则的最小值为 C.实数，满足，的最小值为5D.若正数，为实数，若，则的最小值为3【答案】BD【解析】【分析】A选项，举出反例；B选项，变形后利用基本不等式求出最小值；CD选项，变形后，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值；【详解】选项A，当时，，A错误；选项B，，则，，当且仅当，即时等号成立，B正确；选项C，∵，∴，其中，令，则，，又因为，当且仅当，即时取得最小值，所以的最小值为，所以C不正确.D选项，因为正数，满足，所以，， 当且仅当，即时等号成立，D正确；故选：BD11.下列说法正确的有（）A.若，，，则B.的一个必要不充分条件是C.已知函数的定义域为，则函数的定义域为D.已知，，若，则实数的范围是【答案】CD【解析】【分析】A选项，作差法比较大小；B选项，不能得到，B错误；C选项，先得到的定义域为，进而得到不等式，求出的定义域；D选项，先求出时实数的取值范围，从而得到时的的取值范围.【详解】A选项，若，，，故，因为，，所以，，又，所以，故，所以A错误；B选项，不能得到，所以一个必要不充分条件是不成立，B错误；C选项，函数的定义域为，故，则，所以的定义域为，所以，即函数定义域为，故C正确；D选项，已知，，若，当时，则，当，此时，则需要或，无解， 综上可知，当时，，故时实数的范围是，D正确.故选：CD12.若函数的定义域为，值域也为，则称为的“保值区间”.下列结论正确的是（）A.函数不存保值区间B.函数存在保值区间C.若函数存在保值区间，则D.若函数存在保值区间，则【答案】ACD【解析】【分析】由新定义与函数的性质对选项逐一判断，【详解】对于A，在和上单调递增，令，得，，故不存在保值区间，故A正确，对于B，当时，，当时，，在单调递减，在单调递增，，若存在保值区间，若，令得无解，若，则，作差后化简得或，不合题意，故不存在保值区间，故B错误，对于C，若存在保值区间，而在上单调递增，故，得，故C正确， 对于D，函数在上单调递减，若存在保值区间，则，作差得，得，则原式等价于在上有两解，令，则在上有两解，而在上单调递减，在上单调递增，当时，，故，故D正确，故选：ACD第II部分（非选择题，共90分）三.填空题（每小题5分，共20分.）13.不等式的解集是_______【答案】【解析】【分析】移项通分，再转化为一元二次不等式求解即得.【详解】不等式化为：，即，因此，解得，所以不等式的解集是.故答案为：14.的单调增区间是______.【答案】【解析】【分析】先求函数定义域,再求复合函数中内外函数的单调性,根据同增异减原则,写出结果即可.【详解】解:由题知,由解得或, 故函数的定义域为或,因为对称轴为,开口向上,故在单调递减,在单调递增,因为在定义域内单调递增,根据复合函数单调性的求法可知,的单调增区间为:.故答案为:15.已知，满足，，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】变形得到，从而相加后得到取值范围.【详解】显然有，∵，，∴相加得到.故答案为：16.高斯函数是数学中的一个重要函数，在自然科学、社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影.设,用符号表示不大于x的最大整数，如称函数叫做高斯函数.给出下列关于高斯函数的说法：①②若,则③函数的值域是④函数在上单调递增其中所有正确说法的序号是_____________【答案】①②④【解析】【分析】由高斯函数的定义逐一判断即可. 【详解】对①，由高斯函数的定义，可得，故①正确；对②，若，则，而表示不大于x的最大整数，则，即，故②正确；对③，函数，当时，，故③错误；对④，函数，即函数为分段函数，在上单调递增，故④正确.故选：①②④.四、解答题：本题共6小题，17题10分，其余各题每题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数的定义域为集合，集合（1）求集合；（2）求，【答案】（1）；（2），或.【解析】【分析】（1）利用函数定义域的求法即可求出集合；（2）可求集合，然后进行交集，并集和补集的运算即可.【小问1详解】（1）因为函数的定义域为集合，则【小问2详解】因为或， 所以，又因为或，则或.18.（1）已知为二次函数，且，求函数的解析式；（2）已知，求函数的解析式．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）设二次函数解析式，将分别代入化简计算，再用恒等思想既可计算得出结论；（2）用换元法，令代入计算即可.【详解】（1）设，则有：，所以，所以，所以.（2）令.则，所以，所以的解析式为.19.已知函数,（）.（1）分别计算，的值. （2）由（1）你发现了什么结论?并加以证明.（3）利用（2）中结论计算的值.【答案】（1），.（2）结论，证明见解析.（3）.【解析】【分析】（1）根据函数解析式，代入求值即得答案；（2）根据（1）的结果可得结论，并利用函数解析式进行证明即可；（3）求出，根据（2）的结论，分组求和，可得答案.【小问1详解】由题意得，.【小问2详解】由（1），得结论.证明如下:.【小问3详解】由，可得，故. 20.已知恒成立.（1）求a的取值范围；（2）解关于x的不等式.【答案】（1）；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）根据二次项系数是否为零，结合二次函数的性质分类讨论进行求解即可；（2）根据一元二次方程两根的大小分类讨论进行求解即可.【小问1详解】因为恒成立，①当时，恒成立；②当时，要使恒成立.则且，即，解得：.综上，a的取值范围为：；【小问2详解】由，得.因为：，①当，即时，则；②当，即时，，不等式无解；③当，即时，则.综上所述，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.21.根据市场调查知，某数码产品公司生产某款运动手环的年固定成本为50万元，每生产1万只还需另投入20万元．若该公司一年内共生产该款运动手环x万只并能全部销售完，平均每万只的销售投入为 万元，且当该公司一年内共生产该款运动手环5万只并全部销售完时，年利润为300万元．（1）求出k的值，并写出年利润（万元）关于年产量x（万部）的函数解析式；（2）当年产量为多少万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．【答案】（1），（2）当年产量为30万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大，最大利润为850万元．【解析】【分析】（1）根据利润的定义，结合所给函数的含义即可求解，（2）利用二次函数的性质求解最值，以及基本不等式求解最值，即可比较大小求解.【小问1详解】由题意可得，当时，，所以，解得．所以【小问2详解】当时，，其图象开口向下，对称轴为，所以当时，取得最大值750万元；当时，，当且仅当，即时，等号成立，此时取得最大值850万元，因为，所以当年产量为30万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大，最大利润为850万元．22.已知函数，． （1）若，说明函数在的单调性并证明；（2）若对任意，不等式恒成立，求的最小值．【答案】（1）单调递增，证明见详解.（2）【解析】【分析】（1）按照定义法证明单调性的步骤：取值、作差后通分、因式分解、定号、下结论；（2）先对a进行分类讨论函数的单调性，由恒成立可知，然后可得a的范围，结合最小值对进行放缩，最后由二次函数性质即可求解.【小问1详解】当时，，此时函数在的单调递增.且，则，因为且，所以，所以，即，所以函数在的单调递增.【小问2详解】当时，和在都为增函数，所以在上单调递增；当时，显然在上单调递增；当时，由对勾函数性质可知，在上单调递增，所以在上单调递增；当时，由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增；当时，由对勾函数性质可知，在单调递减，所以在上单调递减.综上，当或时，在上单调，要使不等式恒成立， 必有，即，解得，不满足；当时，，所以，由，解得，所以；当时，，所以，由，解得，所以.综上，因为，所以，所以，由二次函数性质可知，当时，取得最小值.【点睛】难点点睛：本题难点在于分类讨论函数单调性，根据求出a的取值范围，然后利用得，再由二次函数性质可解.