浙江省嘉兴市海盐高级中学2021-2022学年高二下学期返校测试数学Word版含解析.docx

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海盐高级中学2021/2022学年高二第二学期返校测试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在平面直角坐标系中，直线经过点，，则直线的斜率为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由直线的斜率公式可得答案.【详解】直线经过点，，则直线的斜率为.故选：D.2.抛物线准线方程是（　　）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用抛物线的准线方程为即可得出．【详解】由抛物线，可得准线方程，即．故选：C．3.已知公差为的等差数列满足，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据等差数列前n项和，即可得到答案.【详解】∵数列是公差为的等差数列，∴，∴. 故选：C4.已知直线与直线平行，则m的值为（）A.3B.C.3或D.3或4【答案】B【解析】【分析】根据直线平行的判定得即可求m值，注意验证两直线是否平行，而非重合.【详解】由题设，，可得或，当时，、平行，符合题设；当时，、重合，不合题设；∴.故选：B.5.已知函数，在点处的切线方程为，则实数的值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求导，根据导数的几何意义求得参数值.【详解】由，得，又在点处的切线方程为，则，解得，故选：A.6.已知直线与圆相交于两点，当的面积最大时，的值是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用点到直线的距离公式和弦长公式可以求出的面积是关于 的一个式子，即可求出答案.【详解】圆心到直线的距离，弦长为..当，即时，取得最大值.故选：C.7.函数的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】结合导函数研究函数的单调性，通过单调性排除不满足的图像，选出答案.【详解】因为，所以，因为，所以，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减，由此可排除选项，故选：A.8.设椭圆的左、右焦点分别为，，P是椭圆上一点，，，则椭圆的离心率的最小值为（）A.B.C.D. 【答案】A【解析】【分析】利用椭圆的定义和余弦定理可表示出，从而可得，再利用换元法将转化为二次函数的形式，求出二次函数的最小值即可【详解】设，令，则，，所以，所以，在中，，则由余弦定理得，所以，所以，令，由，可得，则，所以当，即时，取得最小值，所以的最小值为故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目y要求.全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.在同一直角坐标系中，直线与圆的位置可能的是（）A.B. C.D.【答案】AC【解析】【分析】根据给定条件求出直线与坐标轴的交点坐标、圆心坐标，再结合图形判断作答.【详解】直线与y轴正半轴交于点，排除选项B；直线与x轴交于点，而圆的圆心为，因此，直线过圆的圆心，排除选项D；当时，圆心在x轴负半轴上，选项A满足；当时，圆心在x轴正半轴上，选项C满足.故选：AC10.有一组样本数据，由这组数据得到新样本数据，其中，为非零常数，则（）A.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位数相同C.两组样本数据的样本方差相同D.两组样本数据的样本极差相同【答案】CD【解析】【分析】A、C利用两组数据的线性关系有、，即可判断正误；根据中位数、极差的定义，结合已知线性关系可判断B、D的正误.【详解】对于A，且，故平均数不相同，故A错误；对于B，若第一组中位数为，则第二组的中位数为，显然不相同，故B错误；对于C，，故方差相同，故C正确；对于D，由极差的定义知：若第一组的极差为，则第二组的极差为，故极差相同，故D正确；故选：CD 11.椭圆的左右焦点分别为为椭圆上一点，满足垂直于轴，且与以为直径的圆相切于点（为坐标原点），则（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】根据椭圆的定义、圆的切线性质，结合勾股定理逐一判断即可.【详解】不妨设点在第一象限，以为直径的圆的圆心为，如图所示：当时，由（负值舍去），所以，因为圆的半径为，是圆的切线，显然是也是圆的切线，因此有，所以选项B正确；在直角中，，由椭圆的定义可知：，显然选项C不正确；由，化简得：，所以，，，，选项AD正确，故选：ABD 【点睛】关键点睛：利用椭圆的定义，结合圆的切线性质是解题的关键.12.已知函数的极大值点为，则（）A.B.C.若，则D.若，则【答案】ABD【解析】【分析】求得导函数，令，或由极大值点为，讨论得出关系，依次判断各选项即可得出结果.【详解】,,令，或,由题意可知，.函数极大值点为，或.即或.所以，A正确，，B正确， ，时，正确，时错误，则C错误，，D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若圆与圆相交，则的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】根据圆心距小于两半径之和，大于两半径之差的绝对值列出不等式解出即可.【详解】圆的圆心为原点，半径为，圆，即的圆心为，半径为，由于两圆相交，故，即，解得，即的取值范围是，故答案为：14.已知数列的前项和为，则数列的通项公式______.【答案】【解析】【分析】利用的关系可求通项公式.【详解】当时，；当时，；显然时也符合上式，所以.故答案为：15.已知点为双曲线的左焦点，过原点的直线l与双曲线C相交于P，Q两点．若，则______．【答案】7 【解析】【分析】先证明四边形是平行四边形，再根据双曲线的定义可求解.【详解】由双曲线的对称性，可知，又，所以四边形是平行四边形，所以，由，可知点在双曲线的左支，如下图所示：由双曲线定义有，又，所以.故答案为：16.已知二次函数的导数为，且.若对于任意实数，有，则的最小值是______.【答案】4【解析】【分析】由，得，由对于任意实数，有，可得，，，然后利用基本不等式可求得结果.【详解】由，得，因为，所以，因为对于任意实数，有，所以，且，所以，， 所以，当且仅当时取等号，所以，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值是4，故答案为：4四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图，已知圆C与y轴相切于点，且被x轴正半轴分成的两段圆弧长之比为1∶2．（1）求圆C的方程；（2）已知点，是否存在弦被点P平分？若存在，求直线方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）.（2）.【解析】【分析】（1）由已知得圆心C在直线上，设圆C与x轴的交点分别为E、F，则有，，圆心C的坐标为(2,1)，由此求得圆C的标准方程；（2）假设存在弦被点P平分，有，由此求得直线AB的斜率可得其方程再检验，直线AB与圆C是否相交即可.【小问1详解】解：因为圆C与y轴相切于点，所以圆心C在直线上，设圆C与x轴的交点分别为E、F，由圆C被x轴分成的两段弧长之比为2∶1，得，所以，圆心C的坐标为(2,1)， 所以圆C的方程为；【小问2详解】解：因为点，有，所以点P在圆C的内部，假设存在弦被点P平分，则，又，所以，所以直线AB的方程为，即，检验，圆心C到直线AB的距离为，所以直线AB与圆C相交，所以存在弦被点P平分，此时直线的方程为.18.浙江省新高考采用“”模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，另外考生根据自己实际需要在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术门科目中自选门参加考试．下面是某校高一名学生在一次检测中的物理、化学、生物三科总分成绩，以组距分成组：，，，，，，，画出频率分布直方图如下图所示．（1）求频率分布直方图中的值；（2）由频率分布直方图，求物理、化学、生物三科总分成绩的第百分位数、众数.【答案】（1）（2）第百分位数为，众数为【解析】【分析】（1）根据小矩形面积之和为1，列出方程，求解即可得出答案； （2）根据频率分布直方图，计算可推得第百分位数位于之间，列出方程，求解即可得出.根据频率分布图中众数的概念，即可得出.【小问1详解】由已知可得，，解得【小问2详解】由频率分布直方图可得，物理、化学、生物三科总分成绩在之间的频率为，在之间的频率为.所以，物理、化学、生物三科总分成绩的第百分位数位于之间.设为，则有，解得.由频率分布直方图，物理、化学、生物三科总分成绩的众数为最高小矩形的中点，即230.19.已知等差数列中，，前5项的和为，数列满足，.（1）求数列，的通项公式；（2）记，求数列的前项和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用等差数列通项公式将用，表示，可得通项公式，利用累加法结合等比数列求和公式求得通项公式；（2）由于，可用分组求和算得的前n项和.【小问1详解】设的公差为，因为，所以，所以. 因为，所以当时，，又当时满足此式，所以.【小问2详解】由（1）得，所以.20.已知函数，．注：是自然对数的底数．（1）求函数的单调区间；（2）记函数的导函数为，求证：．【答案】（1）的单调递增区间为；单调递减区间为；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导后利用导函数的正负研究函数的单调性；（2）二次求导，研究导函数的单调性，进而得到导函数的极值和最值，证明出结论.【小问1详解】，单调递增；，单调递减；所以的单调递增区间为；单调递减区间为；【小问2详解】在上单调递减，在上单调递增又 21.已知等差数列和等比数列满足：（1）求数列和的通项公式;（2）求数列的前项和;（3）已知，求证：.【答案】（1）;（2）（3）证明见详解.【解析】【分析】（1）直接利用等差数列和等比数列的通项公式求得公差和公比的值，进而求解；（2）把，化为，利用裂项相消法即可求解；（3）根据，利用错位相减法求出数列的前和，进一步分析即可证明.【小问1详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由于，故，又根据题意可得：，则，则，.【小问2详解】因为， 所以，所以【小问3详解】由（1）知，则，所以，设①，则②，①②得：，所以，则，原不等式得证.22.已知椭圆的离心率，过椭圆C的焦点且垂直于x轴的直线截椭圆所得到的线段的长度为1． （1）求椭圆C的方程；（2）直线交椭圆C于A、B两点，若y轴上存在点P，使得是以AB为斜边的等腰直角三角形，求的面积的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由条件可得，解出即可；（2）设，，取AB的中点，联立直线与椭圆的方程消元，算出，，然后可算出，然后由可得，然后表示出的面积可得答案.【小问1详解】令，得，所以，解得，，所以椭圆C的方程：．【小问2详解】 设，，取AB的中点，因为为以AB为斜边的等腰直角三角形，所以且，联立得，则．∴．又∵，∴，且，，∴，由得，∴．