河北省定兴第三中学2015-2016学年高二数学上学期第二次月考试题 理.doc

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定兴三中2015-2016学年第一学期10月考试高二理科数学试卷（考试时间：120分钟；分值：150分）第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知p：|x|<2；q：x2－x－2<0，则q是p的____条件(　　)A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要2．若在区间[－5,5]内任取一个实数a，则使直线x＋y＋a＝0与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝2有公共点的概率为(　　)A．　　　B．　　　C．　　D．3．已知命题p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：∃x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0，若“p且q”为真命题，则实数a的取值范围是(　　)A．a＝1或a≤－2B．a≤－2或1≤a≤2C．a≥1D．－2≤a≤14．已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为(　　)A．x2＋y2＝2B．x2＋y2＝4C．x2＋y2＝2(x≠±2)D．x2＋y2＝4(x≠±2)5．执行如图所示程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x的个数为(　　)A．1B．2C．3D．46．下列命题错误的是(　　)A．命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实数根”的逆否命题为：“若方程x2＋x－m＝0无实数根，则m≤0”B．“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．对于命题p：∃x∈R，使得x2＋x＋1＜0，则¬p：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥07．为规范学校办学，省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查．抽到的班级一共有52名学生．现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽到一个容量为4的样本，已知7号，33号，46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应是(　　)A．13B．19C．51D．208．已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A、B两点，且|AB|＝3，则C的方程为(　　)-9- A.＋y2＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝19．已知x，y取值如下表：x014568y1.31.85.66.17.49.3从所得散点图中分析可知：y与x线性相关，且＝0.95x＋a，则x＝13时，＝(　　)A．1.45B．13.8C．13D．12.810．设事件A，B，已知P(A)＝，P(B)＝，P(A∪B)＝，则A，B之间的关系一定为(　　)A．互斥事件B．非互斥事件C．两个任意事件D．对立事件11．如图是某位篮球运动员8场比赛得分的茎叶图，其中一个数据染上污渍用x代替，那么这位运动员这8场比赛的得分平均数不小于得分中位数的概率为(　　)A．B．C．D．12．设e是椭圆＋＝1的离心率，且e∈，则实数k的取值范围是(　　)A．(0,3)B.C．(0,3)∪D．(0,2)第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：（本大题共6小题，每题5分，共30分，把最简答案填在答题卡的横线上）13．命题“∃x∈R,2x≤x2”的否定为________．14．一个总体分为A，B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知B层中每个个体被抽到的概率都为，则总体中的个数为________．15．已知命题p：∃x∈R，mx2＋1≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0.若p∨q为假命题，则实数m的取值范围为________．16．从三男三女6名学生中任选2名(每名同学被选中的机会相等)，则2名都是女同学的概率等于________．17．已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是________．18．已知F1、F2是椭圆C的左、右焦点，点P在椭圆上，且满足|PF1|＝2|PF2|，∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为________．三、解答题(本题共5小题，共60分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)-9- 19．(本小题满分12分)已知p：∀x∈R,2x＞m(x2＋1)，q：∃x0∈R，x＋2x0－m－1＝0，且p∧q为真，求实数m的取值范围．20．(本小题满分12分)对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(m/s)的数据如下表：甲273830373531乙332938342836(1)画出茎叶图；(2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度(m/s)数据的平均数、方差，并判断选谁参加比赛更合适？21．(本小题满分12分)已知椭圆C：＋＝1和点P(1,2)，直线l经过点P并与椭圆C交于A、B两点，求当l的倾斜角变化时，弦中点的轨迹方程．22．(本小题满分12分)为了了解某年段1000名学生的百米成绩情况，随机抽取了若干学生的百米成绩，成绩全部介于13秒与18秒之间，将成绩按如下方式分成五组：第一组[13,14)；第二组[14,15)；……；第五组[17,18]．按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前3个组的频率之比为3∶8∶19，且第二组的频数为8.(1)将频率当作概率，请估计该年段学生中百米成绩在[16,17)内的人数；(2)求调查中随机抽取了多少个学生的百米成绩；(3)若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于1秒的概率．-9- 23.(本小题满分12分)椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点A，离心率为，左、右焦点分别为F1，F2.过点F1的直线l交椭圆于A、B两点．(1)求椭圆C的方程；(2)当△F2AB的面积为时，求l的方程．-9- 定兴三中理科数学参考答案1．答案：A解析：由|x|<2得－24时，c＝，由条件知<<1，解得k>；当0x214．答案：120解析：由分层抽样定义知，任何个体被抽到的概率都是一样的，设总体个数为x，则＝，故x＝120.15．答案：m≥2解析：若p∨q为假命题，则p、q均为假命题，则¬p：∀x∈R，mx2＋1>0与¬q：∃x∈R，x2＋mx＋1≤0均为真命题．根据¬p：∀x∈R，mx2＋1>0为真命题可得m≥0，根据¬q：∃x∈R，x2＋mx＋1≤0为真命题可得Δ＝m2－4≥0，解得m≥2或m≤－2.综上，m≥2.16．答案：解析：从6名学生中任选2名共有15种不同的情形，其中2名都是女同学的情形有3种，其概率为P＝＝.17．答案：m>1解析　由题意得解得m>1.18．答案：解析　在△PF1F2中，由正弦定理得sin∠PF2F1＝1，即∠PF2F1＝，设|PF2|＝1，则|PF1|＝2，|F2F1|＝，所以离心率e＝＝.19．解：2x＞m(x2＋1)可化为mx2－2x＋m＜0.若p：∀x∈R,2x＞m(x2＋1)为真，则mx2－2x＋m＜0对任意的x∈R恒成立．……2分当m＝0时，不等式可化为－2x＜0，显然不恒成立；…………………………3分当m≠0时，有∴m＜－1.……………5分若q：∃x0∈R，x＋2x0－m－1＝0为真，则方程x2＋2x－m－1＝0有实根，………7分∴4＋4(m＋1)≥0，∴m≥－2.…………9分又p∧q为真，故p，q均为真命题．……………10分∴－2≤m＜－1.…………12分20．解：(1)画茎叶图如图所示，中间数为数据的十位数．…………5分(2)由茎叶图把甲、乙两名选手的6次成绩按从小到大的顺序依次排列为甲：27,30,31,35,37,38；乙：28,29,33,34,36,38.-9- 所以甲＝×(27＋30＋31＋35＋37＋38)＝33，……………6分乙＝×(28＋29＋33＋34＋36＋38)＝33.…………7分s＝×[(－6)2＋(－3)2＋(－2)2＋22＋42＋52]＝，………9分s＝×[(－5)2＋(－4)2＋0＋12＋32＋52]＝.…………11分因为甲＝乙，s>s，所以乙的成绩更稳定，故乙参加比赛更合适．…………12分21．解：设弦中点为M(x，y)，交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．当M与P不重合时，A、B、M、P四点共线．∴(y2－y1)(x－1)＝(x2－x1)(y－2)，①………………2分由＋＝1，＋＝1两式相减得＋＝0.　　…………4分　　　又x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y，∴＝－，　　②………8分由①②可得：9x2＋16y2－9x－32y＝0，　③……………10分当点M与点P重合时，点M坐标为(1,2)适合方程③，∴弦中点的轨迹方程为：9x2＋16y2－9x－32y＝0.…………12分22．解：(1)百米成绩在[16,17)内的频率为0.32×1＝0.32.∴0.32×1000＝320(人)．∴估计该年段学生中百米成绩在[16,17)内的人数为320人．……………2分(2)设图中从左到右前3个组的频率分别为3x,8x,19x依题意，得3x＋8x＋19x＋0.32×1＋0.08×1＝1，∴x＝0.02.……………4分设调查中随机抽取了n个学生的百米成绩，则8×0.02＝，∴n＝50，∴调查中随机抽取了50个学生的百米成绩．……………6分(3)百米成绩在第一组的学生数有3×0.02×1×50＝3，记他们的成绩为a，b，c，百米成绩在第五组的学生数有0.08×1×50＝4，记他们的成绩为m，n，p，q，则从第一、五组中随机取出两个成绩包含的基本事件有{a，b}，{a，c}，{a，m}，{a，n}，{a，p}，{a，q}，{b，c}，{b，m}，{b，n}，{b，p}，{b，q}，{c，m}，{c，n}，{c，p}，{c，q}，{m，n}，{m，p}，{m，q}，{n，p}，{n，q}，{p，q}，共21个．…………8分记事件A为满足成绩的差的绝对值大于1秒，则事件A所包含的基本事件有{a，m}，{a，-9- n}，{a，p}，{a，q}，{b，m}，{b，n}，{b，p}，{b，q}，{c，m}，{c，n}，{c，p}，{c，q}，共12个，……………10分∴所求的概率P(A)＝＝.…………12分23.解：(1)∵椭圆C：＋＝1过点A，∴＋＝1.①∵离心率为，∴＝.②又∵a2＝b2＋c2，③解①②③得a2＝4，b2＝3，∴椭圆C的方程为＋＝1.……………4分(2)由(1)得F1(－1,0)，①当l的倾斜角是时，l的方程为x＝－1，A，B，此时S△ABF2＝|AB|×|F1F2|＝×3×2＝3≠，不合题意．………6分②当l的倾斜角不是时，设l的斜率为k，则其直线方程为y＝k(x＋1)，由消去y得：(4k2＋3)x2＋8k2x＋4k2－12＝0.…………7分设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，…………8分∴S△F2AB＝S△F1F2B＋S△F1F2A＝|F1F2|(|y1|＋|y2|)＝×2|y1－y2|＝|k(x1＋1)－k(x2＋1)|＝|k|＝|k|＝|k|＝……………10分又已知S△F2AB＝，∴＝⇒17k4＋k2－18＝0⇒(k2－1)(17k2＋18)＝0⇒k2－1＝0，解得k＝±1.-9- 故直线l的方程为y＝±1(x＋1)，即x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.…………12分-9-