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时间:2023-10-30
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南平市2022—2023学年高一第一学期期末质量检测数学试题一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若全集,集合,则图中阴影部分表示的集合是()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据韦恩图所表示的集合为,按照并集和补集的运算求解即可.【详解】集合,则则图中阴影部分表示的集合是.故选:D.2.若幂函数图象过点,则()A.1B.2C.D.【答案】C【解析】【分析】把点代入得到,再结合对数的运算,即可求得本题答案.【详解】因为幂函数图象过点,所以,得,所以.故选:C3.“”是“”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件第18页/共18页学科网(北京)股份有限公司 【答案】A【解析】【分析】由,得;反之不成立.再由充分必要条件的判定判断.【详解】由,得;反之,由,得.∴“”是“”的充分不必要条件.故选:A.4.为了得到函数的图象,可以将函数的图象A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度【答案】D【解析】【详解】,据此可知,为了得到函数的图象,可以将函数的图象向右平移个单位长度.本题选择D选项.5.函数的零点所在的区间是()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先判断函数单调递增,再根据零点存在性定理,即可得出结果.【详解】因为和都是增函数,所以在上显然单调递增,又,,根据零点存在性定理可知的零点所在的区间是,因为函数单调递增,所以有且仅有一个零点.故选:C第18页/共18页学科网(北京)股份有限公司 6.函数在的图象大致为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据函数解析式,结合特殊值,即可判断函数图象.【详解】设,则,故为上的偶函数,故排除B.又,,排除C、D.故选:A.【点睛】本题考查图象识别,注意从函数奇偶性、单调性和特殊点函数值的正负等方面去判断,本题属于中档题.7.若等腰三角形顶角余弦值等于,则这个三角形底角的正弦值为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由结合倍角公式求解即可.第18页/共18页学科网(北京)股份有限公司 【详解】设顶角为,,则为锐角.则这个三角形底角的正弦值为.故选:B8.若,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】借用中间值,可比较它们的大小,即可得到本题答案.【详解】因为,所以,因为,所以,因为,所以,所以.故选:B二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.下列命题正确的有()A.若,则B.若,则C.若,则D.若,则第18页/共18页学科网(北京)股份有限公司 【答案】BD【解析】【分析】利用不等式的性质、特值法和基本不等式逐个选项进行判定即可.【详解】对于A选项,当时,满足,但是,故A不正确;对于B选项,根据不等式的性质可知准确,故B正确;对于C选项,当时,满足,但是,故C不正确;对于D选项,因为,所以,,当且仅当,即时,等号成立,故D正确;故选:BD.10.函数的部分图象如图所示,则下列结论正确的是()A.B.C.函数关于对称D.函数在上是增函数【答案】BC【解析】【分析】由周期得出,由点得出,再由正弦函数的性质逐一判断即可.【详解】因为在同一周期内,函数在时取得最大值,时取得最小值,所以函数的最小正周期T满足,由此可得,解得;得函数表达式为,又因为当时取得最大值2,所以,可得,第18页/共18页学科网(北京)股份有限公司 因为,所以取,得,所以,故A错误;,故B正确;令,所以函数关于对称,故C正确;令,解得,令,则其中一个单调增区间为.故D错误.故选:BC11.若定义在上的奇函数满足,且当时,,则()A.为偶函数B.在上单调递增C.在上单调递增D.最小正周期【答案】ABD【解析】【分析】由可得函数图象关于对称,通过图象的平移判断选项A正确;由函数为奇函数结合,可得函数的周期为,判断选项D正确;由时,,结合函数的奇偶性和对称性,可得函数的单调性,判断出B正确,C错误.【详解】由得函数的图象关于对称,函数的图象是由函数的图象向左平移一个单位长度得到的,所以函数的图像关于y轴对称,所以函数是偶函数,故A正确;由得,所以,的最小正周期为,故D正确;当时,,因为是定义在上的奇函数,所以当时,,且,所以在上单调递增,在上单调递减,因为的最小正周期,所以第18页/共18页学科网(北京)股份有限公司 在上单调递增,在上单调递减,故B正确,C错误.故选:ABD12.已知函数,说法正确的是()A.在区间上单调递增B.方程在的解为,且C.的对称轴是D.若,则【答案】AB【解析】【分析】将函数写成分段函数,即可画出函数图象,再结合函数图象一一分析即可.【详解】因为,即,所以的图象如下所示:,由图可知函数是周期为的周期函数,函数在上单调递增,所以在区间上单调递增,故A正确,第18页/共18页学科网(北京)股份有限公司 由图可知不是函数的对称轴,故C错误;因为,所以与的交点即为所求,如图知有四个交点,且,,所以,故B正确.由图象可知若,所以,,则,,,,所以,,,故D错误.故选:AB三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13._______.【答案】【解析】【分析】根据指数幂与对数的运算性质,准确运算,即可求解.【详解】由指数幂与对数的运算性质,可得:.故答案为:.14.若是第二象限角,,则___________.【答案】【解析】【分析】先确定属于第三象限,求出的值,然后利用公式展开,即可求得本题答案.第18页/共18页学科网(北京)股份有限公司 【详解】因为是第二象限角,且,所以为第三象限角,所以,所以.故答案为:15.中国的5G技术领先世界,5G技术极大地提高了数据传输速率,最大数据传输速率C取决于信道带宽W,经科学研究表明:C与W满足,其中T为信噪比.若不改变带宽W,而将信噪比T从499提升到1999,则C大约增加________.(结果保留一位小数)参考数据:.【答案】22.3【解析】【分析】将与代入,作差后求增长率即可【详解】当时,,当时,则,所以C大约增加了,即C大约增加了.故答案为:22.316.某市以市民需求为导向,对某公园进行升级改造,以提升市民的游园体验.已知公园的形状为如图所示的扇形区域,其半径为2千米,圆心角为,道路的一个顶点C在弧上.现在规划三条商业街道,要求街道与平行,交于点D,街道与垂直(垂足E在上),则街道长度最大值为___________千米.第18页/共18页学科网(北京)股份有限公司 【答案】【解析】【分析】设,利用几何关系得出,由勾股定理得出,再由正弦函数的性质得出长度的最大值.【详解】过点作的垂线,垂足为,设,则,又,所以.在直角三角形中,,其中.因为,所以,又,所以当时,有最小值为,即.综上,街道长度的最大值为千米.第18页/共18页学科网(北京)股份有限公司 故答案为:四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在平面直角坐标系中,角的终边与单位圆交于点,求下列各式的值.(1);(2).【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由三角函数的定义,结合倍角公式计算即可;(2)由诱导公式计算即可.【小问1详解】因为角的终边与单位圆交于点,所以.;【小问2详解】.18.已知集合.(1)求集合;(2)若集合,且,求实数a的取值范围.【答案】(1),,第18页/共18页学科网(北京)股份有限公司 (2)【解析】【分析】(1)解不等式求得集合,再根据并集的运算可求得.(2)根据集合与集合的关系,可得关于a的不等式组,解不等式组即可求得参数a的取值范围.【小问1详解】等价于,解得,故集合.等价于,解得,故集合.所以.【小问2详解】由(1)可得集合,集合,所以.于是,由,且得,解得,即实数a的取值范围是.19.已知函数.(1)求的最小正周期及单调递增区间;(2)求在上最大值和最小值,并求出取得最值时x的值.【答案】(1)最小正周期,单调递增区间是(2)时,取得最小值;时,取得最大值1【解析】【分析】(1)由三角恒等变换化简解析式,进而由正弦函数的性质求解;(2)由,结合正弦函数的性质求解即可.【小问1详解】第18页/共18页学科网(北京)股份有限公司 .所以的最小正周期.令得所以的单调递增区间是.【小问2详解】因为,所以,所以,故,所以当,即时,取得最小值;当,即时,取得最大值1.20.某企业拟购买一批智能机器人生产A型电子元件,以提高生产效率,降低生产成本.已知购买x台机器人的总成本(万元).(1)要使所购买的机器人的平均成本最低,应购买多少台机器人?(2)现将按(1)所求得的数量购买的机器人全部投入生产,并安排m名工人操作这些机器人(每名工人可以同时操作多台机器人).已知每名工人操作水平无差异,但每台机器人每日生产A型电子元件的个数Q与操作工人人数有关,且满足关系式:.问在引进机器人后,需要操作工人的人数m为何值时,机器人日平均生产量达最大值,并求这个最大值.【答案】(1)购买120台机器人;(2)当大于等于20时,机器人日平均生产量达最大值,且最大值为19200个.【解析】【分析】(1)利用基本不等式即可求成本的最小值;(2)根据分段函数讨论函数的最大值即可求解.【小问1详解】第18页/共18页学科网(北京)股份有限公司 由总成本,可得每台机器人的平均成本.因为.当且仅当,即时,等号成立.所以要使所购机器人的平均成本最低,应购买120台机器人.【小问2详解】当时,120台机器人的日平均生产量为,所以当时,120台机器人日平均生产量最大值为19200.当时,120台机器人日平均生产量为.所以120台机器人的日平均产量的最大值为19200个.所以当大于等于20时,机器人日平均生产量达最大值,且最大值为19200个.21.函数定义在上的奇函数.(1)求m的值;(2)判断的单调性,并用定义证明;(3)解关于x的不等式.【答案】(1)(2)在上单调递增,证明见解析(3)答案见解析【解析】【分析】(1)由即可得解;(2)由定义证明单调性即可;(3)根据函数的奇偶性和单调性求解即可.【小问1详解】解法1:因为为定义在上的奇函数,第18页/共18页学科网(北京)股份有限公司 所以,所以,得,即.因为,所以,即.解法2:因为为定义在上的奇函数,所以.当时,,所以【小问2详解】在上单调递增.由(1)得.任取,由于,又,所以,所以在上单调递增.【小问3详解】由(2)得函数在上单调递增,且为奇函数,所以不等式等价于等价于,等价于,等价于所以,当时,原不等式的解集为;当时,原不等式的解集为;当时,原不等式的解集为空集.第18页/共18页学科网(北京)股份有限公司 22.已知函数且.(1)若函数有零点,求a的取值范围;(2)设函数,在(1)的条件下,若,使得,求实数m的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)函数有零点,即方程有解,则函数的图象与直线有交点,再分和两种情况讨论,即可得解;(2),使得成立,即成立,利用基本不等式求出的最小值,分离参数,从而可得出答案.【小问1详解】若函数有零点,即,即方程有解,令,则函数的图象与直线有交点,当时,,故方程无解,当时,,由方程有解可知,所以,综上,a取值范围是;【小问2详解】第18页/共18页学科网(北京)股份有限公司 当时,,由(1)知,当且仅当,即时取等号,所以的最小值是,由题意,,使得成立,即成立,所以对恒成立,设,则对恒成立,设函数,因为函数和函数在上都是减函数,所以函数在上是减函数,所以,所以,即m的取值范围是.第18页/共18页学科网(北京)股份有限公司 第18页/共18页学科网(北京)股份有限公司
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