湖南省名校联考联合体2022-2023学年高一下学期入学考试数学（解析版）.docx

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名校联考联合体2023年春季高一入学考试数学试卷时量：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据交集的定义和运算即可求解.【详解】集合，，而，所以.故选：D.2.已知扇形的半径是2，面积是8，则扇形的中心角的弧度数是（）A.1B.4C.2D.【答案】B【解析】【分析】扇形的圆心角的弧度数为,半径为,弧长为,面积为,由面积公式和弧长公式可得到关于和的方程,进而得到答案.【详解】由扇形的面积公式得:,因为扇形的半径长为,面积为，则所以扇形的弧长.设扇形的圆心角的弧度数为,由扇形的弧长公式得:，且即，解得，所以扇形的圆心角的弧度数是4.故选：B.3.函数（且）恒过定点（） A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据对数函数的知识确定正确选项.【详解】当，即时，，所以定点为.故选：C4.已知函数f(x)=-sinx，则f(x)在区间[0，2π]上的零点个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】令，在同一坐标系中，作出的图象，利用数形结合法求解.【详解】令，则，在同一坐标系中，作出，如下图所示：由图知，f(x)在区间[0，2π]上的零点个数为2个.故选：B.【点睛】本题主要考查函数的零点与方程的根，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.5.为了得到函数的图象，只需把余弦曲线上所有的点（） A.横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变B.横坐标缩短到原来的，纵坐标不变C.纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变D.纵坐标缩短到原来的，横坐标不变【答案】A【解析】【分析】根据函数的图象变换规律，横坐标伸缩变换，可得结论．【详解】将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变，得到函数的图象．故选：．6.福州新港江阴港区地处福建最大海湾兴化湾西北岸，全年全日船泊进出港不受航道及潮水的限制，是迄今为止“我国少有、福建最佳”的天然良港.如图，是港区某个泊位一天中6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，据此可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（）A.5B.6C.8D.10【答案】C【解析】【分析】从图象中的最小值入手，求出，进而求出函数的最大值，即为答案.【详解】从图象可以看出，函数最小值为-2，即当时，函数取得最小值，即，解得：，所以，当时，函数取得最大值，，这段时间水深（单位：m）的最大值为8m.故选：C7.已知函数f(x)满足f(2x)＝log2x，则f(16)＝（　　）A﹣1B.1C.2D.4【答案】C【解析】 【分析】根据16＝24，代入求解即可．【详解】∵函数f(x)满足f(2x)＝log2x，且f(16)＝f(24)，∴f(16)＝f(24)＝log24＝2，故选：C．8.已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先求出在上的取值范围，再利用分段函数的值域进行求解．【详解】因为在上单调递增，所以当时，，若函数的值域为R，则，解得．故选：A.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若幂函数在上单调递减，则（）A.B.C.D.【答案】CD【解析】【分析】根据幂函数的定义和性质可得，解之即可.【详解】因为幂函数在上单调递减， 所以，，解得，故，所以，.故选：CD.10.定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)，当x<0时，f(x)>0，则下列说法正确的是（）A.f(0)=0B.f(x)为奇函数C.f(x)在区间[m，n]上有最大值f(n)D.f(x-1)+f(x²-1)>0的解集为{x|-2＜x＜3}【答案】AB【解析】【分析】令可判断A选项；令，可得，得到可判断B选项；任取，，且，则，，根据单调性的定义得到函数在R上的单调性，可判断C选项；由可得，结合函数在R上的单调性可判断D选项.【详解】对于A选项，在中，令，可得，解得，A选项正确；对于B选项，由于函数的定义域为R，在中，令，可得，所以，则函数为奇函数，B选项正确；对于C选项，任取，，且，则，，所以，所以，则函数在R上为减函数，所以在区间上有最小值，C选项错误；对于D选项，由可得，又函数在R上为减函数，则，整理得，解得，D选项错误.故选：AB． 11.关于函数有下列结论，其中正确的是（）A.其图象关于y轴对称B.的最小值是C.当时，是增函数；当时，是减函数D.的增区间是，【答案】ABD【解析】【分析】确定函数奇偶性从而判断A，由单调性求得最小值判断B，根据复合函数的单调性，结合偶函数的性质判断CD即可．【详解】对于A，函数定义域为，又满足，所以函数的图象关于y轴对称，故A正确；对于B，函数，当时，令，原函数变为，，原函数又是偶函数，所以函数的最小值是，故B正确；对于C，函数，当时，令，原函数变为，在上是减函数，在上是增函数，所以在上是减函数，在上是增函数，故C错误；对于D，由C，结合的图象关于y轴对称可得的增区间是，，故D正确.故选：ABD12.我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音.复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为f的基音的同时，其各部分如二分之一、三分之一、四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如2f，3f，4f等.这些音叫谐音，因为其振幅较小，一般不易单独听出来，所以我们听到的声音的函数为.则函数的周期不可能为（） A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】函数的周期性可由，结合选项和诱导公式一一验证即可求解.【详解】由，对A：，故A不可能对B：，故B可能；对C：，故C不可能；对D：，故D不可能；故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.______.【答案】0【解析】【分析】根据指数幂和对数的运算性质直接求解即可.【详解】.故答案为：0.14.如果，且是第四象限的角，那么______.【答案】##【解析】【分析】根据给定条件，利用同角公式及二倍角正弦公式计算作答.【详解】由于，且是第四象限的角，则， 所以.故答案为：15.已知，若，则______.【答案】4042【解析】【分析】由得.【详解】由题意，，故，.故答案为：4042.16.在上定义运算：.已知时，存在x使不等式成立，则实数m取值范围是______.【答案】【解析】【分析】根据题中给出的新定义得到一元二次不等式，根据不等式能成立的含义求解.【详解】由定义知，存在，成立，即，即，即存在，使得成立，因为函数在上单调递增，所以当时有最大值等于，所以，即，解得，故答案为:.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知不等式的解集是集合，函数的定义域是集合. （1）分别求集合；（2）若是成立的必要不充分条件，试求实数的取值范围.【答案】（1）或，或（2）【解析】【分析】（1）解不等式得集合A，令中真数大于零，解得集合B；（2）由条件得集合A，B的包含关系，求出参数值.【小问1详解】由，化简得，即且，解得，或，所以或.由题意知，函数定义域满足，即，解得，或，所以或.【小问2详解】若是成立的必要不充分条件，则有ÜB因此，解得.故所求实数的取值范围是.18.已知幂函数在上单调递增（1）求m值；（2）若，且，求的最小值.【答案】（1）（2）8【解析】【分析】(1)用幂函数的定义可求得的值，又由上单调递增确定.(2)结合第一问的结论，用基本不等式中的乘1法可以解决.【小问1详解】 由幂函数的定义得：，或，当时，在上单调递减，与题设矛盾，舍去；当时，在上单调递增，符合题意；综上可知：.【小问2详解】当且仅当且时，即时，的最小值为8.19.已知函数.（1）用函数单调性的定义证明在区间上单调递增；（2）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）证明见详解；（2）.【解析】【分析】（1）利用函数单调性的定义与作差法即可证明；（2）将转化为，再用换元法将不等式化为，再利用配方法求得右式的最值，进而解决问题.【小问1详解】任取，且，则，，， 所以，所以在区间上单调递增.【小问2详解】不等式在上恒成立，等价于在上恒成立，令，因为，所以，则有在恒成立，令，则，所以，所以，所以实数的取值范围为.20.已知是定义在R上的偶函数.（1）求a的值;（2）若关于x的方程有2个不相等的实数根，求实数m的取值范围.【答案】（1）0（2）【解析】【分析】（1）根据偶函数满足求解即可；（2）数形结合分析的根为2时的情况即可.【小问1详解】有偶函数性质可得，故，即，故.【小问2详解】由（1）可得，且当时，取得最小值，且.故若关于x的方程，即有2个不相等的实数根，则或，即或.故实数m的取值范围为 21.某跨国公司决定将某种智能产品在中国市场投放，已知该产品年固定研发成本30万元，每生产一台需另投入80元，设该公司一年内生产该产品x万台且全部售完，每万台的销售收入为万元，．（1）写出年利润S（万元）关于年产量x（万台）的函数解析式（利润=销售收入－成本）；（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求出最大利润．【答案】（1）；（2）当年产量为30万台时，该公司获得的利润最大，最大利润为2370万元.【解析】【分析】（1）根据利润销售收入成本，即可得解；（2）分和两种情况，分别根据二次函数的性质和基本不等式，求出对应的的最大值，再比较大小，即可得解．【小问1详解】当时，年利润，当时，，∴年利润；【小问2详解】当时，，所以S在上单调递增，所以； 当时，，当且仅当，即时，等号成立，此时，因为，所以，故当年产量为30万台时，该公司获得的利润最大，最大利润为2370万元.22.如图，一质点在以O为圆心，2为半径圆周上逆时针匀速运动，角速度为，初始位置为，，x秒后转动到点.设.（1）求的解析式，并化简为最简形式；（2）如果曲线与直线的两个相邻交点间的距离为，求的值.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根据任意角的三角函数的定义求出，，进一步可得.（2）由已知建立三角方程，可求解.【小问1详解】由题意得，，故 .【小问2详解】由，得，则或，，即或，由，得；由，得.综上，或.